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Vetores e matrizes em computação quântica

Alguma familiaridade com álgebra linear é essencial para entender a computação quântica. Este artigo apresenta os conceitos básicos de álgebra linear e como trabalhar com vetores e matrizes na computação quântica.

Vetores

Um vetor de coluna, ou vetor para abreviar, v de dimensão (ou tamanho) n é uma coleção de n números complexos(v1,v2,,vn) organizados como uma coluna:

v=[v1v2vn]

A norma de um vetor v é definida como i|vi|2. Um vetor é chamado de vetor unitário se sua norma for 1.

O adjunto de um vetor decolunav é um vetor de linha denotado como v e é definido como a transposição conjugada de v. Para um vetor decolunav de dimensão n, o adjunto é um vetor de linha de dimensão 1×n:

[v1vn]=[v1vn]

onde vi denota o conjugado complexo de vi.

Usando álgebra linear, o estado de um qubit =\psia|0+b|1 é descrito como um vetor[deestadoquânticoab], onde |a|2+|b|2=1. Para obter mais informações, consulte O qubit.

Produto escalar

Dois vetores podem ser multiplicados juntos através do produto escalar, também conhecido como produto ponto ou produto interno. Como o nome indica, o resultado do produto escalar de dois vetores é um escalar. O produto escalar dá a projeção de um vetor em outro e é usado para expressar um vetor como uma soma de outros vetores mais simples. O produto escalar entre dois vetores de coluna uevédenotadocomo u,v=uv e é definido como

Missing or unrecognized delimiter for \left

Com o produto escalar, a norma de um vetor v pode ser escrita como v,v.

Você pode multiplicar um vetor por um número a para formar um novo vetor cujas entradas são multiplicadas por a. Você também pode adicionar dois vetores u e v para formar um novo vetor cujas entradas são a soma das entradas de u e v. Estas operações são as seguintes:

Se u=[u1u2un] e v=[v1v2vn], então au+bv=[au1+bv1au2+bv2aun+bvn]

Matrizes

Uma matriz de tamanho m×n é uma coleção de númeroscomplexosmn dispostos em m linhas e n colunas, como mostrado abaixo:

$M =\begin{bmatrix} M_{~~{11} M_{12}\cdots~~~~ M_{1n}\ M_~~{{21} M_\cdots{22}~~{~~ M_{2n}\\ddots\ M_{m1}~~ M_{m2~~\cdots}~~ M_{mn}\\end{bmatrix}$

Nota

Note que um vetor de dimensão n é simplesmente uma matriz de tamanho n×1.

As operações quânticas são representadas por matrizes quadradas, ou seja, o número de linhas e colunas é igual. Por exemplo, operações de qubit único são representadas por 2×2 matrizes, como a operação Pauli X

X=[0110]

Gorjeta

Na Q#, a operação Pauli X é representada pela X operação.

Tal como acontece com os vetores, você pode multiplicar uma matriz com um número c para obter uma nova matriz onde cada entrada é multiplicada por c, e duas matrizes do mesmo tamanho podem ser adicionadas para produzir uma nova matriz cujas entradas são a soma das respetivas entradas das duas matrizes.

Multiplicação matricial

Você também pode multiplicar uma matriz M da dimensão m×n e uma matriz N da dimensão n×p para obter uma nova matriz P da dimensão m×p da seguinte maneira:

$$\begin{\begin{align}&\begin{bmatrix} {{11}~~ M_ M_~~{12}~~\cdots M_{1n}\ M_~~{{21} M_\cdots~~{22}~~{ M_{2n\ddots\}\ M_{m1}~~ M_{m2~~~~\cdots} M_{mn}\end{bmatrix}\begin{bmatrix} N_{11}~~ N_{~~~~\cdots{12} N_{1p}\ N_{21}{~~ N_\cdots{22}~~~~ N_{2p\ddots\}\ N_{n1~~} N_{n2}~~~~\cdots N_{np\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}} P_ P_{{11}~~ {12}~~\cdots~~ P_{1p}\ P_~~{21}{ P_\cdots{22}~~{~~ P_{2p}\\ddots\ P_{m1}~~ P_{m2~~\cdots}~~ P_mp{}\end{bmatrix}\end{align}$$

onde as entradas de P são Pik=jMijNjk. Por exemplo, a entrada P11 é o produto escalar da primeira linha de M com a primeira coluna de N. Note que, uma vez que um vetor é simplesmente um caso especial de uma matriz, esta definição se estende à multiplicação matriz-vetor.

Tipos especiais de matrizes

Uma matriz quadrada especial é a matriz de identidade, denotada\mathbb{I}$$\mathbb{ , que tem todos os seus elementos diagonais iguais a 1 e os restantes elementos iguais a 0:

$\mathbb{\mathbb{I}=[  10    001      0  0  01.    ]$

Para uma matriz quadrada A,umamatrizB$ é o seu inverso se AB=BAI=\mathbb{ .SeumamatrizAtemuminverso,amatrizinversaéúnicaeéescritacomoA^{-1}$.

Para qualquer matriz M, a transposição adjunta ou conjugada de M é uma matriz N tal que Nij=Mji. O adjunto de MédenotadoM.

Uma matriz U é unitária se UU=UU=I ou equivalentemente, $U^{{-1}= U^.\dagger$ Uma propriedade importante das matrizes unitárias é que elas preservam a norma de um vetor. Isto acontece porque

v,v=vv=vU1Uv=vUUv=Uv,Uv.

Nota

As operações quânticas são representadas por matrizes unitárias, que são matrizes quadradas cujo adjunto é igual ao seu inverso.

Uma matriz M é chamada Hermitiana se M=M.

Na computação quântica, existem essencialmente apenas duas matrizes que você encontra: Hermitiana e unitária.

Produto tensor

Outra operação importante é o produto tensor, também chamado de produto direto da matriz ou produto Kronecker.

Considere os dois vetores v=[ab] e u=[cd]. Seu produto tensor é denotado como vu e resulta em uma matriz de bloco.

[ab][\otimescd][=a[cd]b[cd][=]acadbcbd]

Nota

Note que o produto tensor é distinguido da multiplicação matricial, que é uma operação totalmente diferente.

O produto tensor é usado para representar o estado combinado de vários qubits. O verdadeiro poder da computação quântica vem da alavancagem de vários qubits para realizar cálculos. Para saber mais, consulte Operações em vários qubits.

O produto tensor de duas matrizes quadradas M e N de tamanho n×n é uma matriz maiorP=MN de tamanho n2×n2. Por exemplo:

[a bc d][\otimese fg h]=[a[e fg h]b[e fg h]c[e fg h]d[e fg h][]=ae af be bfag ah bg bhce cf de dfcg ch dg dh.]

Autovalores e autovetores

Considere uma matriz quadradaM e um vetor v. O vetor v é um vetor próprio de M se Mv=cv para algum número c. O inteiro $c é o autovalor correspondente ao vetor própriov.$

Em geral, uma matriz M pode transformar um vetor em qualquer outro vetor. Um vetor próprio é especial porque não é alterado, exceto por ser multiplicado por um número. Se v é um vetor próprio com autovalor c, então av também é um vetor próprio (para qualquer a)diferentedezero) com o mesmo autovalor. Por exemplo, para a matriz de identidade, cada vetor véumvetorpróprio com autovalor 1.

Como outro exemplo, considere uma matrizdiagonalD, que só tem entradas diferentes de zero na diagonal:

[d1amp;0amp;00d2000amp;d3].

Os vetores

$$[100], \begin{bmatrix}0 \ 1 \ 0 e}\text{[]0 \ 0 1 \\end{bmatrix}$$

são autovetores desta matriz com autovalores d1, d2 e d3, respetivamente. Se d1, d2 e d3 são números distintos, então esses vetores (e seus múltiplos) são os únicos autovetores da matriz D.

Em geral, para uma matriz diagonal é fácil ler os autovalores e autovetores. Os autovalores são todos os números que aparecem na diagonal, e seus respetivos autovetores são os vetores unitários com uma entrada igual a 1 e as entradas restantes iguais a 0.

Observe no exemplo que os autovetores de D formam uma base para vetorestridimensionais. Uma base é um conjunto de vetores tal que qualquer vetor pode ser escrito como uma combinação linear deles. Mais explicitamente, v1, v2 e v3 formam uma base se qualquer vetor v pode ser escrito como v=a1v1+a2v2+a3v3 para alguns números a1, a2 e a3.