Alguma familiaridade com álgebra linear é essencial para entender a computação quântica. Este artigo apresenta os conceitos básicos de álgebra linear e como trabalhar com vetores e matrizes na computação quântica.
Vetores
Um vetor de coluna, ou vetor para abreviar, de dimensão (ou tamanho) é uma coleção de números organizados como uma coluna:
A norma de um vetor v é definida como . Um vetor é chamado de vetor unitário se sua norma for .
O adjunto de um vetor é um vetor de linha denotado como e é definido como a transposição conjugada de . Para um vetor de dimensão , o adjunto é um vetor de linha de dimensão :
onde denota o conjugado complexo de .
Usando álgebra linear, o estado de um qubit é descrito como um vetorâ, onde Para obter mais informações, consulte O qubit.
Produto escalar
Dois vetores podem ser multiplicados juntos através do produto escalar, também conhecido como produto ponto ou produto interno. Como o nome indica, o resultado do produto escalar de dois vetores é um escalar. O produto escalar dá a projeção de um vetor em outro e é usado para expressar um vetor como uma soma de outros vetores mais simples. O produto escalar entre dois vetores de coluna uvécomo e é definido como
Missing or unrecognized delimiter for \left
Com o produto escalar, a norma de um vetor pode ser escrita como .
Você pode multiplicar um vetor por um número para formar um novo vetor cujas entradas são multiplicadas por . Você também pode adicionar dois vetores e para formar um novo vetor cujas entradas são a soma das entradas de e . Estas operações são as seguintes:
ã
Matrizes
Uma matriz de tamanho é uma coleção de ú dispostos em linhas e colunas, como mostrado abaixo:
Note que um vetor de dimensão é simplesmente uma matriz de tamanho .
As operações quânticas são representadas por matrizes quadradas, ou seja, o número de linhas e colunas é igual. Por exemplo, operações de qubit único são representadas por matrizes, como a operação Pauli
Gorjeta
Na Q#, a operação Pauli é representada pela X operação.
Tal como acontece com os vetores, você pode multiplicar uma matriz com um número para obter uma nova matriz onde cada entrada é multiplicada por , e duas matrizes do mesmo tamanho podem ser adicionadas para produzir uma nova matriz cujas entradas são a soma das respetivas entradas das duas matrizes.
Multiplicação matricial
Você também pode multiplicar uma matriz da dimensão e uma matriz da dimensão para obter uma nova matriz da dimensão da seguinte maneira:
onde as entradas de são Por exemplo, a entrada é o produto escalar da primeira linha de com a primeira coluna de . Note que, uma vez que um vetor é simplesmente um caso especial de uma matriz, esta definição se estende à multiplicação matriz-vetor.
Tipos especiais de matrizes
Uma matriz quadrada especial é a matriz de identidade, denotada\mathbb{I}$$\mathbb{ , que tem todos os seus elementos diagonais iguais a e os restantes elementos iguais a :
$\mathbb{\mathbb{I}=$
Para uma matriz quadrada AB$ é o seu inverso se =\mathbb{ .AéúéA^{-1}$.
Para qualquer matriz , a transposição adjunta ou conjugada de é uma matriz tal que . O adjunto de Mé.
Uma matriz U é unitária se ou equivalentemente, $U^{{-1}= U^.\dagger$ Uma propriedade importante das matrizes unitárias é que elas preservam a norma de um vetor. Isto acontece porque
Nota
As operações quânticas são representadas por matrizes unitárias, que são matrizes quadradas cujo adjunto é igual ao seu inverso.
Uma matriz é chamada Hermitiana se .
Na computação quântica, existem essencialmente apenas duas matrizes que você encontra: Hermitiana e unitária.
Produto tensor
Outra operação importante é o produto tensor, também chamado de produto direto da matriz ou produto Kronecker.
Considere os dois vetores e . Seu produto tensor é denotado como e resulta em uma matriz de bloco.
Nota
Note que o produto tensor é distinguido da multiplicação matricial, que é uma operação totalmente diferente.
O produto tensor é usado para representar o estado combinado de vários qubits. O verdadeiro poder da computação quântica vem da alavancagem de vários qubits para realizar cálculos. Para saber mais, consulte Operações em vários qubits.
O produto tensor de duas matrizes quadradas M e N de tamanho é uma matriz de tamanho . Por exemplo:
Autovalores e autovetores
Considere uma matriz e um vetor . O vetor é um vetor próprio de se para algum número . O inteiro $c é o autovalor correspondente ao vetor ó.$
Em geral, uma matriz pode transformar um vetor em qualquer outro vetor. Um vetor próprio é especial porque não é alterado, exceto por ser multiplicado por um número. Se é um vetor próprio com autovalor , então também é um vetor próprio (para qualquer a) com o mesmo autovalor. Por exemplo, para a matriz de identidade, cada vetor vépróprio com autovalor .
Como outro exemplo, considere uma matriz, que só tem entradas diferentes de zero na diagonal:
são autovetores desta matriz com autovalores , e , respetivamente. Se , e são números distintos, então esses vetores (e seus múltiplos) são os únicos autovetores da matriz .
Em geral, para uma matriz diagonal é fácil ler os autovalores e autovetores. Os autovalores são todos os números que aparecem na diagonal, e seus respetivos autovetores são os vetores unitários com uma entrada igual a e as entradas restantes iguais a .
Observe no exemplo que os autovetores de formam uma base para . Uma base é um conjunto de vetores tal que qualquer vetor pode ser escrito como uma combinação linear deles. Mais explicitamente, , e formam uma base se qualquer vetor pode ser escrito como para alguns números , e .
Aprenda um dos conceitos fundamentais da computação quântica, superposição, como representar a superposição de qubit usando a esfera de Bloch, e como criar e analisar estados de superposição com Q#.