Запутанность и корреляции

Запутанность — это фундаментальная концепция квантовой механики, описывающая квантовую корреляцию между квантовыми системами. Когда два или более кубитов запутаны, состояние одного кубита зависит от состояния другого кубита, даже если они далеко друг от друга. Эта квантовая корреляция является уникальной особенностью квантовых систем, которые не имеют классического аналога.

В этой статье представлен обзор запутанности, корреляции и объясняется, как создать запутанность с помощью квантовых шлюзов.

Что такое запутанность?

Представьте, что у вас есть два кубита, $А$ и $Б$. Кубиты не зависят друг от друга, что означает, что информация о состоянии кубита $А$, что бы это ни было, принадлежит только кубитаМ $А$. Аналогичным образом, информация о состоянии кубита $B$ принадлежит кубите $B$. В этом случае кубиты не запутаны, так как они не обмениваются информацией о своих состояниях.

Теперь представьте, что вы запутываете кубиты. Если кубиты $A$ и $B$ запутаны, сведения о состоянии кубита $А$ не зависят от состояния кубита $B$. При запутанности информация передается между обоими кубитами, и невозможно определить состояние кубита $A$ или кубита $B$. Вы можете описать только состояние глобальной системы, а не состояние отдельных кубитов.

Запутанность — это квантовая корреляция между двумя или более частицами. Если две частицы перепутаны, они не могут быть описаны независимо, а только в единой системе.

Два или более частиц могут быть запутаны даже в том случае, если они разделены большими расстояниями. Эта корреляция сильнее, чем любая классическая корреляция, и это ключевой ресурс для задач квантовой обработки информации, таких как квантовые телепортации, квантовые криптографии и квантовые вычисления. Если вы хотите узнать, как телепортировать кубит с помощью запутанности, ознакомьтесь с этим модулем учебного пути Azure Quantum.

Примечание.

Запутанность — это свойство многокубитных систем, а не отдельных кубитов. То есть один кубит не может быть запутан.

Определение запутанности в квантовых системах

Представьте себе два кубита $A$ и $B$ так что состояние глобальной системы $\ket{\phi}$ :

$$\ket{\phi}=\frac1{\sqrt2}(\ket{0_A 0_B+ }1_A 1_B\ket{})$$

Примечание.

В нотации Дирака$\ket{0_A 0_B}=|0\rangle_\text{A}|0\rangle_\text{B}$. Первая позиция соответствует первому кубиту, а вторая позиция соответствует второму кубиту.

Глобальная система $\ket{\phi}$ находится в суперпозиции государств $|00\rangle$ и $|11\rangle$. Но что такое индивидуальное состояние кубита $А$? А что насчет кубита $Б$? Если вы пытаетесь описать состояние кубита $A$, не учитывая состояние кубита $B$, у вас ничего не получится. Подсистемы $A$ и $B$ запутаны и не могут быть описаны независимо.

При измерении обоих кубитов возможны только два результата: $\ket{{00}$ и $\ket{{11}$, каждый из которых имеет одинаковую вероятность $\frac{1}{{2}$. Вероятность получения состояний $|01 и \rangle$10$|\rangle$ равна нулю.

Но что произойдет, если вы измеряете только один кубит? Если две частицы запутаны, результаты измерения также взаимосвязаны. То есть, что бы ни произошло с состоянием одного кубита в запутанной паре, также влияет на состояние другого кубита.

Если вы измеряете только кубит $A$ и получаете $|состояние 0\rangle$, это означает, что глобальная система коллапсирует в состояние $\ket{00}$. Это единственный возможный результат, так как вероятность измерения $|01\rangle$ равна нулю. Таким образом, без измерения кубита $B$ вы можете быть уверены, что второй кубит также находится в $|состоянии 0\rangle$ . Результаты измерения коррелируются, так как кубиты запутаны.

Квантовое состояние $\ket{\phi}$ называется состоянием Bell. Существует четыре состояния Белла:

$$\ket{\phi^{+}}=\frac1{\sqrt2}\ket{{00} + \frac1{\sqrt2}\ket{{11}$$$$\ket{\phi^{-}}=\frac1{\sqrt2}\ket{00} - \frac1{\sqrt2}\ket{11}$$$$\ket{\psi^{+}}=\frac1{\sqrt2}\ket{{01} + \frac1{\sqrt2}\ket{{10}$$$$\ket{\psi^{-}}=\frac1{\sqrt2}\ket{01} - \frac1{\sqrt2}\ket{10}$$

Примечание.

В этом примере используется два кубита, но квантовое запутание не ограничивается двумя кубитами. В общем возможно, что системы из нескольких кубитов могут быть запутанными.

Создание запутанности с помощью квантовых операций

Квантовые операции можно использовать для создания квантовой запутанности. Одним из наиболее распространенных способов создать запутанность двух кубитов в состоянии $|00\rangle$ является применение операции Адамара $H$ и управляемого NOT-операции $CNOT$, чтобы преобразовать их в состояние Белла $\ket{\phi^+}=\frac1{\sqrt2}(|00\rangle+|11\rangle)$.

Операция $CNOT$ принимает два кубита в качестве входных данных, один действует как кубит управления, а другой — целевой кубит. Операция CNOT переворачивает состояние целевого кубита, если и только если состояние управляющего кубита равно $|1\rangle$.

Входные данные	Выходные данные
$\ket{00}$	$\ket{00}$
$\ket{01}$	$\ket{01}$
$\ket{10}$	$\ket{11}$
$\ket{11}$	$\ket{10}$

Вот как это работает:

1. Возьмите два кубита в состоянии $|00\rangle$. Первый кубит — это кубит управления, а второй кубит — целевой кубит.

2. Создайте состояние суперпозиции только в кубите элемента управления, применяя $H$.

   $$H |0_c\rangle=\frac{1}{\sqrt{{2}}(|0_c\rangle+|1_c\rangle)$$

   Примечание.

   Индексы ${}_c$ и ${}_t$ указывают управляющие и целевые кубиты.

3. Примените $оператор CNOT$ к управляющему кубиту, находящемуся в состоянии суперпозиции, и к целевому кубиту, который находится в состоянии $|0_t\rangle$.

   $$CNOT \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{0_c}+\ket{1_c})\ket{0}_t= CNOT \frac{1}{\sqrt2}(\ket{0_c 0_t}+|\ket{1_c 0_t})=$$2(CNOT $$0_c 0_t + CNOT =\frac{1_c 0_t){1}{\sqrt}\ket{2}(\ket{0_c 0_t+}1_c 1_t)=

Совет

Сведения о том, как запутать два кубита с помощью Q#, см. в кратком руководстве: Создание первой Q# программы.

Разделение и квантовое запутание

Запутанность можно рассматривать как отсутствие разделимости: состояние запутано, когда оно не является разделимым.

Квантовое состояние можно разделять, если оно может быть записано как состояние продукта подсистем. То есть состояние $\ket{\phi}$\ket{\phi}{\text{ AB}}=\ket{a}_A\otimes\ket{ b}_B.$

Запутание в чистых состояниях

Чистое квантовое состояние — это один вектор кета, например состояние $\ket{+}=\frac{{1}{\sqrt{{2}}(\ket{0} + \ket{1}).$

Чистые состояния не могут быть записаны как статистическая смесь (или выпуклая комбинация) других квантовых состояний.

На сфере Блоха чистые состояния представлены точкой на поверхности сферы, в то время как смешанные состояния представлены внутренней точкой.

Чистое состояние$\ket{\phi}{AB}$ является запутанным, если его нельзя записать как произведение состояний подсистем, то есть $\ket{\phi}{AB}=\ket{a}_A \otimes\ket{b}_B$.

Например, рассмотрим состояние $$\ket{\psi}_{AB}=\frac{{1}{2} (\ket{{00}+ + \ket{{10} +)\ket{01}\ket{{11}$$

Сначала состояние $\ket{\psi}_{AB}$ не выглядит как состояние продукта, но если переписать состояние как

$$ \ket{\psi}_{AB}=\frac{{1}{\sqrt{{2}} (\ket{0}_A +\ket{{1}_A) \otimes\frac{1}{\sqrt{{2}} (\ket{{0}_B +\ket{{1}_B)=\ket{+}_A \ket{+}_B$$

состояние _$\ket{\psi}AB{\text{}}$ — это состояние произведения, поэтому оно не является запутанным.

Запутанность в смешанных состояниях

Смешанные квантовые состояния — это статистический ансамбль чистых состояний. Чтобы описать смешанные состояния, проще использовать их матрицу $плотности \rho$ , а не нотацию кета.

Смешанное состояние $\rho$ является разделимым, если оно может быть записано как выпуклое сочетание состояний продукта подсистем, таких как

$$\rho =\sum_j p_j \rho^A{_j } \rho^\otimes{B}_j$$

где $p_j \geq 0, \sum p_j = 1$ и $\rho^{A}_j \geq 0, \rho^{B}_j \geq 0$.

Дополнительные сведения см. в разделе "Матрицы плотности".

Смешанное состояние $\rho$ запутано, если оно не является разделимым, то есть оно не может быть записано как конвексное сочетание состояний продукта.

Примечание.

• Если запутанное состояние $\rho$ чистое, оно содержит только квантовые корреляции.
• Если запутанное состояние $\rho$ смешанное, оно содержит как классические, так и квантовые корреляции.

Основные сведения о классических корреляциях

Классические корреляции обусловлены отсутствием знаний о состоянии системы. То есть есть есть некоторая случайность, связанная с классической корреляцией, но ее можно устранить, получив знания.

Например, рассмотрим два поля, каждый из которых содержит один мяч. Вы знаете, что оба шара одинаковые цвета, либо синий, либо красный. Если открыть одну коробку и выяснить, что мяч внутри синий, то мы знаем, что другой мяч тоже синий. Поэтому они коррелируются. Однако неопределенность, которую мы имеем при открытии коробки, обусловлена отсутствием знаний, это не является фундаментальным. Мяч был синий, прежде чем мы открыли коробку. Таким образом, это классическая корреляция, а не квантовая корреляция.

Смешанное квантовое состояние системы, сформированное двумя полями $\rho_{boxes}$ , можно записать как

$$\rho_{boxes}=\frac{{1}{2} (красный\ket{красный}\bra{_}A{}\otimesкрасный\ket{красный}\bra{_B) +}\frac{ ({1}{2}синий\ket{синий}\bra{_A}\otimesсиний\ket{синий}\bra{_B)}

Обратите внимание, что состояние $\rho_{boxes}$ является разделимым, где $p_1 p_2 ==\frac{1}{2}$ , то он содержит только классические корреляции. Еще одним примером смешанного сепарабельного состояния является

$$\rho =\frac{{1}{2}(\ket{0}\bra{{0}_A \otimes\ket{0}\bra{0}_B) +\frac{1}{2} (\ket{1}\bra{1}_A \otimes\ket{{1}\bra{{1}_B)$$

Теперь рассмотрим следующее состояние:

$$\rho =\frac{{1}{4} (\ket{{00}\bra{00} + \ket{{00}\bra{11} + \ket{11}\bra{00} + \ket{{11}\bra{{11}) =\ket{\phi^+}\bra{\phi^+}$$

В этом случае наши знания о состоянии идеальны, мы знаем с максимальной уверенностью, что система $AB$ находится в состоянии $\ket{\phiКолокола ^+}$ и $\rho$ является чистым состоянием. Поэтому не существует классических корреляций. Но если мы измеряем наблюдаемую подсистему $A$, мы получаем случайный результат, который дает нам сведения о состоянии подсистемы $B$. Эта случайность является фундаментальной, а именно квантовые корреляции.

Пример квантового состояния, содержащего как классические, так и квантовые корреляции

$$\rho =\frac{{1}{2}(\ket{\phi^+}\bra{\phi^+} + \ket{\phi^-}\bra{\phi^-})$$

Примечание.

Отдельное состояние содержит только классические корреляции.

Связанный контент