Примечание.
Для доступа к этой странице требуется авторизация. Вы можете попробовать войти или изменить каталоги.
Для доступа к этой странице требуется авторизация. Вы можете попробовать изменить каталоги.
нотации Dirac — это краткий и мощный способ описания квантовых состояний и операций. Это было названо после физика Пола Дирака, который разработал нотацию в 1930-х годах. Дирак нотация используется в квантовых вычислениях для описания квантовых состояний, квантовых операций и квантовых измерений.
В этой статье описывается нотация Dirac и показано, как использовать ее для описания квантовых состояний и операций.
Векторы в нотации Dirac
Существует два типа векторов в нотации Дирака: вектор бры, соответствующий вектору строки, и вектор кета, соответствующий вектору столбца.
Если $\psi$ является вектором столбцов, его можно написать в нотации Dirac как $\ket{\psi}$, где $\ket{\cdot}$ обозначает, что это вектор кет.
Аналогичным образом, вектор строки $\psi^\dagger$ выражается как $\bra{\psi}$, который является бра-вектором . Другими словами, $\psi^\dagger$ получают применением покомпонентного комплексного сопряжения к элементам транспонированной $\psi$. Нотация бра-кет напрямую подразумевает, что $\braket{\psi|\psi}$ – внутреннее произведение вектора $\psi$ и самого себя, что по определению равно $1$.
В общем случае, если $\psi$ и $\phi$ являются векторами квантового состояния, то их внутреннее произведение равно $\braket{\phi|\psi}$. Это внутреннее произведение подразумевает, что вероятность того, что при измерении состояния $\ket{\psi}$ будет получен результат $\ket{\phi}$, равна $|\braket{\phi|\psi}|^2$.
Вычислительные состояния $0$ и $1$ представлены как $\begin{bmatrix} 1 \ 0 \end{bmatrix}=\ket{{0}$ и $\begin{bmatrix} 0 \ 1 \end{bmatrix}=\ket{1}$соответственно.
Пример. Представление операции Адамара с помощью нотации Дирака
Давайте применим ворота Hadamard $H$ к квантовым состояниям $\ket{0}$ и $\ket{1}$ с помощью нотации Dirac:
$$ \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}=H\ket{{0}=\ket{+}$$
$$ \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}=H\ket{{1}=\ket{-}$$
Полученные состояния соответствуют единичным векторам в направлениях $+x$ и $-x$ на сфере Блоха. С помощью нотации Дирака эти состояния также можно развернуть в виде сумм $\ket{0}$ и $\ket{1}$:
$$ \ket{+}=\frac{{1}{\sqrt{2}}(\ket{0} + \ket{1}) $$
$$ \ket{-} = \frac{1}{\sqrt{ {2}}(\ket{0} - \ket{1}) $$
Векторы вычислительной базы
Каждое квантовое состояние всегда можно выразить как суммы вычислительных векторов, и такие суммы легко выражаются с помощью нотации Dirac. Обратное утверждение также верно в том смысле, что состояния $\ket{+}$ и $\ket{-}$ также образуют базис для квантовых состояний. Это можно увидеть на основе того факта, что
$$ \ket{0} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{+} + \ket{-}) $$
$$ \ket{1} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{+} - \ket{-}) $$
В качестве примера нотации Дирака рассмотрим braket $\braket{0 | 1}$, который является внутренним произведением $0$ и $1$. Это можно записать как
$$ \braket{0 | 1}=\begin{bmatrix} 1 &и 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\\ 1\end{bmatrix}=0. $$
Этот пример говорит о том, что $\ket{{0}$ и $\ket{{1}$ являются ортогональными векторами, т. е. $\braket{0 | 1}=\braket{1 | 0}=0$. Кроме того, по определению $\braket{0 | 0}=\braket{1 | 1}=1$, что означает, что два вектора вычислительной базы также можно назвать ортонормальными.
Эти ортонормальные свойства используются в следующем примере. Если у вас есть состояние $\ket{\psi}={\frac{3}{5}}\ket{{1} + {\frac{{4}{5}}\ket{0}$, то так как $\braket{1 | 0}=0$ вероятность измерения $1$ составляет
$$ \big|\braket{1 |\psi}\big|^2=\left|\frac{{3}{5}\braket{1 | 1} +\frac{{4}{5}\braket{1 | 0}\right|^2=\frac{{9}{{25}. $$
Нотация тензорного произведения
Нотация дирака полезна для выражения тензорного продукта. Продукт Tensor важен в квантовых вычислениях, так как вектор состояния, описанный двумя некоррелируемыми квантовыми регистрами, является тензорными продуктами двух векторов состояния.
Тензорный продукт $\psi\otimes\phi$ для любых двух векторов квантового состояния $\phi$ и $\psi$ написан в нотации Dirac как $\ket{\psi}\otimes\ket{\phi}$. По соглашению можно также написать тензорный продукт как $\ket{\psi}\ket{\phi}=\ket{\psi\phi}$.
Например, состояние с двумя кубитами, инициализированными в нулевое состояние, $\ket{{0}\otimes\ket{0}=\ket{0}\ket{0}=\ket{00}$.
Пример: описание суперпозиции с помощью нотации Дирака
В качестве другого примера того, как можно использовать нотацию Dirac для описания квантового состояния, рассмотрим следующие эквивалентные способы написания квантового состояния, являющегося равной суперпозицией по каждой возможной битовой строке длины $n.$
$$ H^{\otimes n}\ket{0}=\frac{1}{2^{n/2}}\sum_{j=0}^{2^n-1}\ket{j}=\ket{+}^{\otimes n}. $$
Здесь может возникнуть вопрос, почему сумма меняется с $0$ на $2^{n}-1$ для $n$ бит. Во-первых, существуют $2^{n}$ различные конфигурации, которые может принять $n$ битов. Эту конфигурацию можно увидеть, отметив, что один бит может принимать $2$ значения, но два бита могут принимать $4$ значения (и т. д.). Как правило, это означает, что существует $2^n$ различных возможных строк битов, но наибольшее значение, закодированное в любой из них, $1\cdots 1=2^n-1$, и, следовательно, это является верхним пределом для суммы. Кроме того, в этом примере вы не использовали $\ket{+}^{\otimes n}=\ket{+}$ в аналогии с $\ket{{0}^{\otimes n}=\ket{{0}$. Это условное обозначение зарезервировано для вычислительного базисного состояния, где каждый кубит инициализирован в ноль.
Выражение линейности с помощью нотации Дирака
Еще одной особенностью нотации Дирака является ее линейность. Например, для двух комплексных чисел $\alpha$ и $\beta$ можно записать
$$ \ket{\psi} \otimes ( \alpha\ket{\phi} + \beta\ket{\chi})=\alpha\ket{\psi}\ket{\phi} + \beta\ket{\psi}\ket{\chi}.$$
Вы можете записать произведение тензоров в нотации Дирака таким образом, что операция тензорного произведения между векторами состояния выглядит как обычное умножение.
Векторы bra следуют аналогичной конвенции, как и векторы ket. Например, вектор $\bra{\psi}\bra{\phi}$ эквивалентен вектору состояния $\psi^\dagger\otimes\phi^\dagger=(\psi\otimes\phi)^\dagger$. Если вектор ket $\ket{\psi}$ — $\alpha\ket{0} + \beta\ket{1}$, тогда версия вектора bra будет $\bra{\psi}=\ket{\psi}^\dagger= (\bra{{0}\alpha^* +\bra{1}\beta^*)$.
Например, представьте, что требуется вычислить вероятность измерения состояния $\ket{\psi}=\frac{3}{5}\ket{{1} + \frac{4}{5}\ket{0}$ с помощью квантовой программы для измерения состояний как $\ket{+}$ или $\ket{{-}$. Затем вероятность того, что устройство выведет состояние $\ket{-}$, составляет
$$|\braket{- |\psi}|^2=\left|\frac{{1}{\sqrt{{2}}(\bra{0} - \bra{{1})(\frac{3}{5}\ket{{1} + \frac{{4}{5}\ket{0}) \right|^2=\left|-\frac{3}{5\sqrt{{2}} + \frac{{4}{5\sqrt{2}}\right|^2=\frac{{1}{{50}.$$
Тот факт, что отрицательный знак отображается в вычислении вероятности, является проявлением квантовых помех, которые являются одним из механизмов, с помощью которых квантовые вычисления получают преимущества перед классическими вычислениями.
кетбра или внешнее произведение
Последним элементом, заслуживающим внимания в нотации Дирака, является кетбра или внешнее произведение. Внешний продукт представлен в нотации Dirac как $\ket{\psi}\bra{\phi}$. Внешнее произведение определяется матричным умножением как $\ket{\psi}\bra{\phi}=\psi\phi^\dagger$ для векторов квантовых состояний $\psi$ и $\phi$. Простейший и, пожалуй, наиболее распространённый пример этой нотации
$$ \ket{0} \bra{ {0} = \begin{bmatrix}1\\ 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 &0\\ 0 &0\end{bmatrix}\qquad\ket{1}\bra{1}=\begin{bmatrix}0\\ 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 &0\\ 0 &1\end{bmatrix}. $$
Ketbra часто называют проекторами, так как они проецируют квантовое состояние на зафиксированное значение. Так как эти операции не являются унитарными (и даже не сохраняют норму вектора), квантовый компьютер не может детерминированно применить проектор. Однако проекторы выполняют полезную задачу, описывая воздействие, которое оказывает измерение на квантовое состояние. Например, если вы измеряете состояние $\ket{\psi}$ и получаете значение $0$, тогда результирующее преобразование состояния в результате измерения будет
$$\ket{\psi} \rightстрелка \frac{(\ket{{0}\bra{{0})\ket{\psi}}{|\braket{0 |\psi}|}=\ket{{0},$$
как бы вы ожидали, если бы вы измеряли состояние и нашли его $\ket{0}$. Чтобы повторить, такие проекторы нельзя применять к состоянию в квантовом компьютере детерминированно. Зато их можно применять случайным образом, при этом результат $\ket{0}$ будет отображаться с некоторой фиксированной вероятностью. Вероятность успеха такого измерения можно записать как ожидаемое значение квантового проектора в состоянии
$$ \bra{\psi} (\ket{0}\bra{0})\ket{\psi}=|\braket{\psi| 0}|^2, $$
что иллюстрирует тот факт, что проекторы просто открывают новый способ выражения процесса измерения.
Если вместо этого вы рассмотрите измерение первого кубита многокубитного состояния как равное $1$, то также можете описать этот процесс с помощью проекторов и нотации Дирака в более удобной форме:
$$P(\text{первый кубит= 1})=\bra{\psi}\left(\ket{{1}\bra{{1}\otimes \mathbf{\mathbf{1}^{\otimes n-1}\right) . \ket{\psi} $$
Здесь единичную матрицу можно удобно записать в нотации Дирака.
В случае, когда есть два кубита, проектор можно развернуть как
$$ \ket{1} \bra{1} \otimes \mathbb{I}=\ket{{1}\bra{1}\otimes (\ket{0}\bra{0}+\ket{1}\bra{{1})=\ket{10}\bra{{10} + . \ket{{11}\bra{{11} $$
и вы можете заметить, что этот проектор согласуется с обсуждением вероятностей измерения для многоквибитных состояний с использованием векторно-столбцовой нотации:
$$ P(\text{первый кубит = 1})=\psi^\dagger (e_{10}e_{10}^\dagger + e_{{11}e_{{11}^\dagger)\psi=|e_{{10}^\dagger\psi|^2 + |e_{11}^\dagger\psi|^2, $$
который соответствует обсуждению многокубитных измерений. Тем не менее, обобщение этого результата до многокубитного случая слегка проще выразить с помощью нотации Дирака, чем с помощью вектора-столбца, и полностью укладывается в предыдущее изложение.
Операторы плотности
Еще один полезный оператор, который можно выразить с помощью нотации Дирака, — это оператор плотности, иногда также называемый оператором состояния. Как вектор квантового состояния оператор плотности описывает квантовое состояние системы. В то время как квантовые векторы состояний могут представлять только чистые состояния, операторы плотности также могут представлять смешанные состояния.
В общем случае заданная матрица $\rho$ является допустимым оператором плотности, если выполняются указанные ниже условия:
- $\rho$ — это матрица комплексных чисел.
- $\rho = \rho^{\dagger}$ (то есть $\rho$ — эрмитовская).
- Каждое собственное значение $p$$\rho$ неотрицательно
- Сумма всех собственных значений матрицы $\rho$ равна 1.
В совокупности эти условия гарантируют, что матрицу $\rho$ можно рассматривать как ансамбль. Оператор плотности для вектора квантового состояния $\ket{\psi}$ имеет вид $\rho =\sum_i p_i \ket{\psi_i}\bra{\psi_i}$, то есть разложение собственного значения $\rho$. В этом случае $\rho$ описывает ансамбль $\rho ={\ket{\psi_i}\text{ с вероятностью }p_i}$.
Чистые квантовые состояния характеризуются одним кет-вектором или волновой функцией и не могут быть представлены в виде статистической смеси или выпуклой комбинациидругих квантовых состояний. Смешанное квантовое состояние — это статистический ансамбль чистых состояний.
Сфера Блоха представляет чистые состояния точкой на её поверхности, а смешанные состояния — внутренней точкой. Центр сферы представляет смешанное состояние одного кубита по симметрии. Чистота состояния может быть визуализирована как степень, в которой она близка к поверхности сферы.
Эта концепция представления состояния в виде матрицы, а не вектора, часто удобна, так как она дает удобный способ представления вычислений вероятностей. Он также позволяет описать как статистическую неопределенность, так и квантовую неопределенность в рамках одного и того же формализма.
Оператор плотности $\rho$ представляет чистое состояние в том и только в том случае, если выполняются следующие условия:
- $\rho$ можно записать как внешнее произведение вектора состояния $\rho=\ket{\psi}\bra{\psi}$.
- $\rho =\rho^2$
- $tr(\rho^2)=1$
Чтобы узнать, насколько оператор плотности $\rho$ близок к чистому состоянию, вы можете посмотреть на след - сумму диагональных элементов - $\rho^2$. Оператор плотности представляет чистое состояние в том и только в том случае, если $tr(\rho ^{2})=1$.
Q# последовательности ворот, эквивалентные квантовым состояниям
Последний момент, который стоит обсудить касательно квантовой нотации и языка программирования Q#: ранее в этой статье говорилось, что квантовое состояние является основным объектом информации в квантовых вычислениях. Это может быть сюрпризом, что в Q# нет понятия квантового состояния. Вместо этого Q# описывает все состояния только операциями, используемыми для их подготовки. Предыдущий пример является отличной иллюстрацией этого определения. Вместо выражения единообразной суперпозиции каждой квантовой битовой строки в регистре вы можете представить результат как $H^{\otimes n}\ket{0}$. Это экспоненциально короткое описание состояния имеет преимущество в том, что вы можете классически рассуждать об этом. Он также кратко определяет операции, которые необходимо распространить через стек программного обеспечения для реализации алгоритма. По этой причине Q# предназначен для выдачи последовательностей ворот, а не квантовых состояний; однако на теоретическом уровне эти два подхода эквивалентны.