เครื่องหมายไดเรคชันและตัวดําเนินการ
ในหน่วยก่อนหน้านี้ คุณได้เรียนรู้วิธีแสดงสถานะการซ้อนทับสําหรับคิวบิตเดียวบนทรงกลม Bloch แต่การประมวลผลควอนตัมต้องการระบบคิวบิตจํานวนมากจึงจะมีประโยชน์ ดังนั้นเราจึงต้องการวิธีที่ดีกว่าในการแสดงสถานะการซ้อนทับในระบบควอนตัมที่ใหญ่ขึ้น ในทางปฏิบัติ ให้ใช้กฎของกลศาสตร์ควอนตัมและภาษาของพีชคณิตเชิงเส้นเพื่ออธิบายสถานะควอนตัมโดยทั่วไป
ในหน่วยนี้ คุณจะได้เรียนรู้วิธีแสดงสถานะควอนตัมในสัญกรณ์ Dirac bra-ket และใช้สัญกรณ์นั้นเพื่อลดความซับซ้อนของการคํานวณพีชคณิตเชิงเส้นที่เป็นรากฐานของกลศาสตร์ควอนตัมและการคํานวณควอนตัม
สัญกรณ์ Dirac bra-ket
สัญกรณ์ Dirac bra-ket หรือเรียกสั้นๆ ว่า สัญกรณ์ Dirac เป็นสัญกรณ์ชวเลขที่ทําให้ง่ายต่อการเขียนสถานะควอนตัมและทําการคํานวณพีชคณิตเชิงเส้น ในสัญกรณ์ Dirac สถานะที่เป็นไปได้ของระบบควอนตัมอธิบายด้วยสัญลักษณ์ที่เรียกว่า kets ซึ่งมีลักษณะดังนี้: $| มุม\r$.
ตัวอย่างเช่น $|0\rangle$ และ $|1 มุม\rแสดงสถานะ 0 และ 1 ของ qubit ตามลําดับ โดยทั่วไป เราแสดงสถานะของคิวบิตเป็น $|\psi\rangle$ โดยที่ $|\psi\rangle$ คือผลรวมถ่วงน้ําหนัก (หรือการรวมกันเชิงเส้น) ของสองสถานะ $|0\rangle$ และ $|1\rangle$:
$|\psi\rมุม = \alpha|0 มุม\r+ \beta|1\rมุม$
คิวบิตในสถานะ $|\psi\rangle = |0\rangle$ หมายความว่า $\alpha = 1$, $\beta = 0$ และมีความน่าจะเป็น 100% ที่คุณสังเกตสถานะ 0 เมื่อคุณวัดคิวบิต ในทํานองเดียวกัน หากคุณวัดคิวบิตในสถานะ $|\psi\rangle =|1\rangle$ คุณจะสังเกตสถานะ 1 เสมอ ค่าอื่นๆ ของ $\alpha$ และ $\beta$ แสดงถึงสถานะการซ้อนทับ ตราบใดที่เงื่อนไขการทําให้เป็นมาตรฐาน $|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1$ เป็นจริง
คิวบิตในสถานะการซ้อนทับเท่ากันสามารถเขียนเป็น $|\psi\rangle = \frac1{\sqrt2} |0\rangle + \frac1{\sqrt2} |1\rangle$ ความน่าจะเป็นของการวัด 0 คือ $\frac12$ และความน่าจะเป็นของการวัด 1 ก็คือ $\frac12$.
ตัวดําเนินการควอนตัม
ในการคํานวณควอนตัม สถานะควอนตัมจะถูกจัดการเมื่อเวลาผ่านไปเพื่อทําการคํานวณ การจัดการเหล่านี้แสดงโดยตัวดําเนินการควอนตัม ซึ่งเป็นฟังก์ชันที่ทําหน้าที่ในสถานะของระบบควอนตัมเพื่อเปลี่ยนระบบเป็นสถานะอื่น ตัวอย่างเช่น ตัว X ดําเนินการแปลงสถานะ $|0\rangle$ เป็นสถานะ $|1\rangle$:
$$X |0 มุม\r= |1 มุม\r$$
Xตัวดําเนินการเรียกอีกอย่างว่าประตู Pauli-X เป็นการดําเนินการควอนตัมพื้นฐานที่พลิกสถานะของ qubit มีประตูเปาลีสามประตู: X, Y, และ Z. แต่ละเกตหรือตัวดําเนินการมีผลเฉพาะต่อสถานะคิวบิต
| ผู้ปฏิบัติการ | มีผลกับ $\ket{0}$ | มีผลกับ $\ket{1}$ |
|---|---|---|
| X | $X \ket{0} = \ket{1}$ | $X\ket{1} = \ket{0}$ |
| Y | $Y\ket{0}=ฉัน\ket{1}$ | $Y\ket{1}=-i\ket{0}$ |
| Z | $Z\ket={0}\ket{0}$ | $Z\ket{1}=-\ket{1}$ |
โน้ต
การดําเนินการควอนตัมมักเรียกว่าเกตในบริบทของการประมวลผลควอนตัม คําว่าประตูควอนตัมเป็นการเปรียบเทียบกับประตูลอจิกในวงจรคอมพิวเตอร์แบบคลาสสิก คํานี้มีรากฐานมาจากยุคแรก ๆ ของการคํานวณควอนตัมเมื่ออัลกอริทึมควอนตัมถูกแสดงเป็นไดอะแกรมที่คล้ายกับแผนภาพวงจรในการคํานวณแบบคลาสสิก
คุณยังสามารถใช้ตัวดําเนินการเพื่อทําให้คิวบิตอยู่ในสถานะการซ้อนทับ ตัวดําเนินการ HHadamard ทําให้คิวบิตอยู่ในสถานะ Hadamard ซึ่งเป็นการซ้อนทับที่เท่ากันของสถานะ $|0\rangle$ และสถานะ $|1\rangle$:
$$ H |0 มุม\r= \frac1{\sqrt2} |0 มุม\r+ \frac1{\sqrt2} |1 มุม\r$$ $$ H |1 มุม\r= \frac1{\sqrt2} |0 มุม\r- \frac1{\sqrt2} |1 มุม\r$$
เมื่อคุณวัดคิวบิตในสถานะ Hadamard คุณมีโอกาส 50% ที่จะสังเกต 0 และ 50% ที่จะสังเกต 1
การวัดผลหมายความว่าอย่างไร?
ในโลกคลาสสิก เราคิดว่าการวัดแยกจากระบบที่เราวัด ตัวอย่างเช่น ลําแสงเรดาร์ที่วัดความเร็วของลูกเบสบอลไม่ส่งผลต่อเบสบอลในทางที่มีความหมายแต่อย่างใด การวัดมีผลต่อระบบที่เราวัด เมื่อเราตีอิเล็กตรอนด้วยโฟตอนเพื่อทําการวัด มันจะมีผลพื้นฐานต่อสถานะของอิเล็กตรอน
ในการประมวลผลควอนตัม การวัดจะทําให้คิวบิตอยู่ในสถานะที่เป็นไปได้อย่างถาวร 0 หรือ 1 ในตัวอย่างสถานะ Hadamard หากเราวัดคิวบิตและพบว่าอยู่ในสถานะ 0 การวัดคิวบิตนั้นทุกครั้งที่ตามมาจะให้ 0 เสมอ
หากต้องการเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับการวัดในบริบทของกลศาสตร์ควอนตัม โปรดดูบทความ Wikipedia เกี่ยวกับปัญหาการวัด