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纠缠和相关性

纠缠是量子力学中描述量子相关性的基本概念。 当两个或多个量子比特纠缠时，一个量子比特的状态取决于另一个量子比特的状态，即使它们相距甚远。 此量子关联是没有经典对应项的量子系统的独特特征。

本文概述了纠缠、关联，以及如何使用量子门创建纠缠。

什么是纠缠？

假设你有两个量子比特 $A$ 和 $B$。 这两个量子比特彼此独立，这意味着量子比特 $A$ 的状态信息（无论它是什么）都只属于量子比特 $A$。 同样，有关量子比特 $B$ 状态的信息属于量子比特 $B$。 在这种情况下，量子比特不会纠缠，因为它们不共享有关其状态的任何信息。

现在假设你纠缠量子比特。 如果量子比特 A 和 B 纠缠，则有关量子比特 A$\mathrm{状}\mathrm{态}\mathrm{的}\mathrm{信}\mathrm{息}\mathrm{与}\mathrm{量}\mathrm{子}\mathrm{比}\mathrm{特}$$B$ 的状态无关。$$$$ 纠缠时，两个量子比特之间共享信息，并且无法知道量子比特 $A$ 或量子比特 $B$ 的状态。 只能描述全局系统的状态，而不能描述单个量子比特的状态。

纠缠是两个或多个粒子之间的量子关联。 如果两个粒子纠缠，它们不能单独描述，但只能描述为整个系统。

即使它们被大距离分隔，也可以纠缠两个或多个粒子。 此关联比任何经典相关性都强，它是量子信息处理任务（如量子传送、量子加密和量子计算）的关键资源。 若要了解如何使用纠缠传送量子比特，请查看 Azure Quantum 训练路径中的此模块。

备注

纠缠是多量子比特系统的一个属性，而不是单个量子比特。 也就是说，单个量子比特无法纠缠。

在量子系统中定义纠缠

假设两个量子比特 $A$ 和 $B$，使全局系统 $|\varphi ⟩$ 的状态为：

$$|\varphi ⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0_A{0}_B⟩+|1_A{1}_B⟩)$$

备注

在 Dirac 表示法中，$|0_A{0}_B⟩=|0{⟩}_{\text{A|}}0{⟩}_{\text{B}}$。 第一个位置对应于第一个量子比特，第二个位置对应于第二个量子比特。

全局系统 $|\varphi ⟩$ 是状态 $|00⟩$ 和 $|11⟩$ 的叠加。 但是，量子比特 $A$ 的各个状态是什么？ 量子比特 $B$ 的各个状态又是什么？ 如果尝试描述量子比特 $A$ 的状态而不考虑量子比特 $B$ 的状态，则失败。 $\mathrm{子}\mathrm{系}\mathrm{统}A$ 和 $B$ 纠缠在一起，无法单独描述。

如果测量这两个量子比特，则只有两个结果是可能的： $\ket{{00}$\mathrm{每}\mathrm{个}$\ket{{11}$\mathrm{结}\mathrm{果}\mathrm{的}\mathrm{概}\mathrm{率}$\frac{1}{{2}$\mathrm{相}\mathrm{同}。\mathrm{获}\mathrm{取}\mathrm{状}\mathrm{态}$|01\rangle$\mathrm{和}$|10\rangle$ 的概率为零。

但是，如果只测量一个量子比特，会发生什么情况？ 当两个粒子纠缠时，测量结果也相关。 也就是说，无论对纠缠对中某个量子位的状态发生什么操作，也会影响另一个量子比特的状态。

如果只测量量子比特 $A$，并且获得 $|0⟩$ 状态，这表示全局系统折叠到状态 $|00⟩$。 这是唯一可能的结果，因为测量 $|01⟩$ 的概率为零。 因此，如果不测量量子比特 $B$ ，可以确保第二个量子比特也处于 $|0⟩$ 状态。 因为量子比特纠缠在一起，测量结果是关联的。

量子状态 $|\varphi ⟩$ 称为 Bell 状态。 有四个 Bell 状态：

$$\ket{\phi^{+}}=\frac1{\sqrt2}\ket{{00} + \frac1{\sqrt2}\ket{{11}$$$$\ket{\phi^{-}}=\frac1{\sqrt2}\ket{00} - \frac1{\sqrt2}\ket{11}$$$$\ket{\psi^{+}}=\frac1{\sqrt2}\ket{{01} + \frac1{\sqrt2}\ket{{10}$$$$\ket{\psi^{-}}=\frac1{\sqrt2}\ket{01} - \frac1{\sqrt2}\ket{10}$$

备注

此示例使用两个量子比特，但量子纠缠不限于两个量子比特。 一般情况下，多量子比特系统可能共享纠缠。

使用量子操作创建纠缠

可以使用量子运算来创建量子纠缠。 在状态 00\rangle$\mathrm{中}\mathrm{创}\mathrm{建}\mathrm{两}\mathrm{个}\mathrm{量}\mathrm{子}\mathrm{位}\mathrm{的}\mathrm{最}\mathrm{常}\mathrm{见}\mathrm{方}\mathrm{法}\mathrm{是}\mathrm{应}\mathrm{用}Hadamard\mathrm{运}\mathrm{算}$H$\mathrm{和}\mathrm{受}\mathrm{控}-NOT\mathrm{运}\mathrm{算}$CNOT$\mathrm{将}\mathrm{它}\mathrm{们}\mathrm{转}\mathrm{换}\mathrm{为}\mathrm{贝}\mathrm{尔}\mathrm{状}\mathrm{态}$\ket{\phi^+1{\sqrt2}（|00\rangle+|}=\frac11）。$⟩$|

$CNOT$ 操作采用两个量子比特作为输入，一个充当控制量子比特，另一个是目标量子比特。 如果控制量子比特的状态为 1，并且仅当控制量子比特的状态为 $|1⟩$ 时，该CNOT操作才会翻转目标量子比特的状态。

输入	输出
$|00⟩$	$|00⟩$
$|01⟩$	$|01⟩$
$|10⟩$	$|11⟩$
$|11⟩$	$|10⟩$

以下是其工作原理：

1. 取状态为 $|00⟩$ 的两个量子比特。 第一个量子比特是控制量子比特，第二个量子比特是目标量子比特。

2. 通过应用 $H$ 来仅在控制量子比特中创建叠加状态。

   $$H |0_c\rangle=\frac{1}{\sqrt{{2}}(|0_c\rangle+|1_c\rangle)$$

   备注

   下标 ${}_c$ 并 ${}_t$ 指定控件和目标量子比特。

3. 将 $CNOT$ 运算符应用于处于叠加状态的控制量子比特，将目标量子比特应用于处于状态 $|0_t⟩$。

   $$CNOT\frac{1}{\sqrt{2}}(|0_c⟩+|1_c⟩){|0⟩}_t=CNOT\frac{1}{\sqrt{2}}(|0_c{0}_t⟩+||1_c{0}_t⟩)=$$$$=\frac{{1}{\sqrt2}(CNOT \ket{0_c 0_t} + CNOT \ket{1_c 0_t})=$$$$=\frac{1}{\sqrt2}(\ket{0_c 0_t}+\ket{1_c 1_t})$$

提示

若要了解如何纠缠两个量子比特 Q#，请参阅 快速入门：创建第一个 Q# 程序。

可分离性和量子纠缠

纠缠可以被视为缺乏分离性：当状态不可分离时会纠缠在一起。

如果量子状态可以编写为子系统的产品状态，则量子状态是可分离的。 也就是说，如果状态 $\ket{\phi}{\text{AB 可以编写为子系统的产品状态的组合，即 $\ket{\phi}{\text{AB a}_A \otimes\ket{b}_B$\text{Extra close brace or missing open brace}$}}=\ket{ 是可分离的。

纯状态的纠缠

纯量子状态是单个 ket 向量，例如状态 $\ket{+\frac{{1}{\sqrt{}={2}}（\ket{0}+ \ket{1}） 。$

纯态不能编写为其他量子态的统计混合体（或 凸合）。

在 Bloch 球体上，纯状态由球体表面的点表示，而混合状态由内部点表示。

如果无法将其作为子系统的产品状态的组合（即{$\text{Extra close brace or missing open brace}$），则纯状态{$\ket{\phi}AB}$}=\ket{ 会纠缠。

例如，考虑状态 \ket{\psi}$$_{AB={1}{2}}\frac{ （{00}\ket{+ +{10}\ket{01} \ket{+）\ket{{11}$$

起初，状态 ${|\psi ⟩}_{AB}$ 看起来不像产品状态，但如果我们将状态重写为

$$\ket{\psi}_{AB}\frac{{2}}{1}{\sqrt{= （\ket{0}_A +{1}\ket{_A） \otimes\frac{1}{\sqrt{{2}} （\ket{{0}_B +\ket{{1}_B）=\ket{+}_A \ket{+_B}$$

state ${|\psi ⟩}_{\text{AB}}$ 是产品状态，因此它不会纠缠。

混合状态中的纠缠

混合量子状态是纯状态的统计合奏。 描述混合状态更容易使用其密度矩阵 $\rho$ ，而不是 ket 表示法。

如果混合状态 $\rho$ 可以编写为 子系统的产品状态的凸起组合 ，则可以分离它，例如

$$\rho =\sum _j{p}_j{\rho }_j^A\otimes {\rho }_j^B$$

其中 $，p_j\ge 0、\sum p_j=1$ 和 ${\rho }_j^A\ge 0、{\rho }_j^B\ge 0$。

有关详细信息，请参阅 密度矩阵。

如果混合状态不分离，则混合状态 $\rho$ 会纠缠在一起，也就是说，不能将其编写为产品状态的凸起组合。

备注

• 如果纠缠状态 $\rho$ 是纯的，则它仅包含量子相关性。
• 如果纠缠状态 $\rho$ 是混合的，则它同时包含经典和量子相关性。

了解经典相关性

经典相关性是由于对系统状态缺乏了解。 也就是说，有一些与经典相关性相关的随机性，但它可以通过获取知识来消除。

例如，考虑两个框，每个框包含一个球。 你知道这两个球的颜色相同，蓝色或红色。 如果你打开一个盒子，发现里面的球是蓝色的，那么我们知道另一个球也是蓝色的。 因此，它们是相关的。 然而，打开盒子时的不确定性是由于我们缺乏知识，这不是根本性的。 球在我们打开盒子之前是蓝色的。 因此，这是一种经典相关性，而不是量子相关性。

由两个框 ${\rho }_{box}$ 构成的系统混合量子状态可以编写为

$$\rho_{boxes\frac{}{1}{2}= （\ket{红色红色}_{A\otimes}\ket{红色}\bra{}\bra{}_B） +{1}{2}\frac{ （\ket{蓝色蓝色}\bra{}_A\ket{\otimes蓝色}\bra{}_B）$$

请注意，状态 ${\rho }_{box}$ 是可分离的，其中 $p_1{p}_2==\frac{1}{2}$ 它仅包含经典相关性。 混合可分离状态的另一个示例是

$$\rho =\frac{{1}{2} （\ket{0}\bra{{0}_A \otimes\ket{0}\bra{0}_B） +\frac{1}{2} （\ket{1}\bra{1}_A{1}\otimes\ket{{1}\bra{ _B）$$

现在，请考虑以下状态：

$$\rho ={1}{4}\frac{（\ket{{00}\bra{00}+ \ket{{00}\bra{11} + \ket{11}\bra{00} + \ket{{11}{11}\bra{） =\ket{\phi^+}\bra{\phi^+}$$

在这种情况下，我们对状态的了解是完美的，我们知道系统 $AB$ 处于贝尔状态 $|{\varphi }^{+}⟩$ 和 $\rho$ 是纯状态。 因此，没有经典相关性。 但是，如果我们在子系统 $A$ 上测量可观测值，我们将获得一个随机结果，从而提供有关子系统 $B$ 状态的信息。 这种随机性是基本的，即这些是量子相关性。

包含经典和量子相关性的量子状态的一个示例是

$$\rho ={1}{2}\frac{（\ket{\phi^+}\bra{\phi^+} + \ket{\phi^-}\bra{\phi^-}）$$

备注

可分离状态仅包含经典相关性。

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