糾纏是量子力學的基本概念，描述量子系統之間的量子相互關聯。 當兩個或多個量子位糾纏時，一個量子位的狀態會相依於另一個量子位的狀態，即使它們相距甚遠。 此量子關聯是量子系統的一個獨特特徵，在古典物理中沒有對應物。
本文提供糾纏、相互關聯的概觀，並說明如何使用量子閘建立糾纏。
什麼是糾纏？
假設您有兩個量子位元：$A$ 和 $B$。 量子位元彼此獨立，這表示量子位元 $A$ 的狀態相關資訊僅屬於量子位元 $A$。 同樣地，量子位 B$ 狀態的相關信息屬於量子位 $$B$。 在此情況下，量子位不會糾纏，因為它們不會共用其狀態的任何資訊。
現在假設您糾纏量子位。 如果量子位 A 和 B 糾纏，量子位 $A$ 狀態的相關信息與量子位 $$B$ 的狀態無關。$$$ 糾纏時，資訊會在兩個量子位之間共用，而且無法知道量子位 A$ 或量子位 $$B$ 的狀態。 您只能描述全域系統的狀態，而不是個別量子位元的狀態。
糾纏是兩個或更多粒子之間的量子相互關聯。 如果兩個粒子糾纏，它們就無法獨立描述，而只能描述為整個系統。
即使它們以大距離分隔，兩個或多個粒子也可以糾纏。 此相互關聯比任何傳統相互關聯強，而且它是量子信息處理工作的重要資源，例如量子遠端傳送、量子密碼編譯和量子運算。 如果您想要瞭解如何使用糾纏來傳送量子位，請參閱 Azure Quantum 訓練路徑中的此課程模組。
注意
糾纏是多量子位系統的 屬性，而不是單一量子位。 也就是說，單一量子位元無法糾纏。
在量子系統中定義糾纏
假設有兩個量子位元 $A$ 和 $B$，於是全域系統 $\ket{\phi}$ 的狀態為：
$$\ket{\phi}=\frac1{\sqrt2}(\ket{0_A 0_B}+ \ket{1_A 1_B})$$
注意
在 Dirac 表示法中， $\ket{0_A 0_B}=|0\rangle_\text{A}|0\rangle_\text{B}$。 第一個位置對應到第一個量子位元，而第二個位置對應到第二個量子位元。
全域系統 $\ket{\phi}$ 處於狀態 $|00\rangle$ 和 $|11\rangle$ 的疊加。 但是，量子位元 $A$ 的個別狀態為何？ 而量子位元 $B$ 呢？ 如果您嘗試描述量子位 A$ 的狀態，而不考慮量子位 $$B$ 的狀態，就會失敗。 $子系統 A$ 和 $B$ 糾纏在一起，無法獨立描述。
如果您測量這兩個量子位，則只能有兩個結果： $\ket{{00}$ 和 $\ket{{11}$，每個結果的機率 $\frac{1}{{2}$都相同。 取得狀態 $|01\rangle$ 和 $|10\rangle$ 的機率為零。
但是，如果只測量一個量子位元會發生什麼情況？ 當兩個粒子糾纏時，測量結果也會相互關聯。 也就是說，無論在糾纏配對中的一個量子位上進行何種操作，都會影響到另一個量子位的狀態。
如果您只測量量子位元 $A$ 且取得 $|0\rangle$ 狀態，這表示全域系統會摺疊為狀態 $\ket{00}$。 這是唯一可能的結果，因為測量 $|01\rangle$ 的機率是零。 因此，若未測量量子位 B$，您可以確定第二個量子位$也處於 $|0\rangle$ 狀態。 因為量子位元互相糾纏，所以測量結果會相互關聯。
量子狀態 $\ket{\phi}$ 稱為 Bell 狀態。 有四個 Bell 狀態：
$$\ket{\phi^{+}}=\frac1{\sqrt2}\ket{{00} + \frac1{\sqrt2}\ket{{11}$$$$\ket{\phi^{-}}=\frac1{\sqrt2}\ket{00} - \frac1{\sqrt2}\ket{11}$$$$\ket{\psi^{+}}=\frac1{\sqrt2}\ket{{01} + \frac1{\sqrt2}\ket{{10}$$$$\ket{\psi^{-}}=\frac1{\sqrt2}\ket{01} - \frac1{\sqrt2}\ket{10}$$
注意
此範例使用兩個量子位，但量子糾纏不限於兩個量子位。 一般而言，多量子位系統可能會共享糾纏。
使用量子運算建立糾纏
您可以使用量子運算來建立量子糾纏。 在狀態 $|00\rangle$ 中建立兩個量子位的最常見方式之一是套用 Hadamard 運算 H$ 和受控 NOT 運算 $$CNOT$，將它們轉換成 Bell 狀態 $\ket{\phi^+1}=\frac2{\sqrt（}00|+\rangle|11\rangle）。$
CNOT 操作會採用兩個量子位作為輸入，其中一個是控制量子位，而另一個是目標量子位。 當且僅當控制量子位的狀態為 CNOT1，該操作才會翻轉目標量子位的狀態。
| 輸入 | 輸出 |
|---|---|
| $\ket{00}$ | $\ket{00}$ |
| $\ket{01}$ | $\ket{01}$ |
| $\ket{10}$ | $\ket{11}$ |
| $\ket{11}$ | $\ket{10}$ |
以下說明其運作方式：
取得狀態 $|00\rangle$ 的兩個量子位元。 第一個量子位是控制量子位，第二個量子位是目標量子位。
套用$H$，僅在控制量子位元中建立疊加狀態。
$$H |0_c\rangle=\frac{1}{\sqrt{{2}}(|0_c\rangle+|1_c\rangle)$$
注意
下標 ${}_c$ 和 ${}_t$ 指定控件和目標量子位。
將 $CNOT$ 運算子套用至處於迭加狀態的控件量子位，以及處於狀態 $|0_t\rangle$的目標量子位。
$$ CNOT \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{0_c}+\ket{1_c})\ket{0}_t = CNOT \frac{1}{\sqrt2}(\ket{0_c 0_t}+|\ket{1_c 0_t})=$$$$=\frac{{1}{\sqrt2}(CNOT \ket{0_c 0_t} + CNOT \ket{1_c 0_t})=$$$$=\frac{1}{\sqrt2}(\ket{0_c 0_t}+\ket{1_c 1_t})$$
提示
若要瞭解如何將兩個量子位糾纏在一起 Q#，請參閱 快速入門：建立您的第一個 Q# 程式。
可分隔性和量子糾纏
糾纏可以視為缺乏可分離性：當狀態無法分離時，狀態就會糾纏。
如果量子狀態可以寫入為子系統的產品狀態，則量子狀態是可分隔的。 也就是說，如果狀態 AB 可以寫入為子系統的產品狀態群組，即$\ket{\phi}\ket{}AB\otimes\ket{}$是可分隔的。
純狀態的糾纏
純量子狀態是單一 ket 向量，例如狀態 $\ket{+}=\frac{{1}{\sqrt{{2}}（\ket{0} + \ket{1}）。$
純狀態不能表示為其他量子狀態的統計混合（或凸組合）。
在 Bloch 球體上，純狀態是以球體表面的點表示，而混合狀態則以內部點表示。
如果無法將純狀態 AB 表示為子系統的直積狀態組合，即 a_A b_B，那麼 AB 就是糾纏態。
例如，請考慮狀態 $$\ket{\psi}_{AB}=\frac{{1}{2} （\ket{{00}+ + \ket{{10} +）\ket{01}\ket{{11}$$
起初，狀態 $\ket{\psi}_{AB}$ 看起來不像產品狀態，但如果我們將狀態重寫為
$$ \ket{\psi}_{AB}=\frac{{1}{\sqrt{{2}} (\ket{0}_A +\ket{{1}_A) \otimes\frac{1}{\sqrt{{2}} (\ket{{0}_B +\ket{{1}_B)=\ket{+}_A +\ket{}_B $$
狀態 $\ket{\psi}_{\text{AB}}$ 是產品狀態，因此不會糾纏。
混合狀態中的糾纏
混合量子狀態是由純狀態組成的統計集。 若要描述混合狀態，更容易使用其密度矩陣 $\rho$ ，而不是 ket 表示法。
如果可以撰寫為$，則混合狀態 $\rho 是可分隔的，例如
$$\rho =\sum_j p_j \rho^{A}_j \otimes \rho^{B}_j$$
其中 $p_j \geq 0、 \sum p_j = 1$ 和 $\rho^{A}_j \geq 0、\rho^{B}_j \geq 0$。
如需詳細資訊，請參閱 密度矩陣。
如果混合狀態 $\rho$ 是不可分的，即無法表示為產品狀態的凸組合，那麼它就是糾纏的。
注意
- 如果糾纏狀態 $\rho$ 是純的，則只會包含量子相互關聯。
- 如果糾纏狀態 $\rho$ 是混合的，則它同時包含傳統和量子相互關聯。
瞭解傳統相互關聯
傳統相互關聯是因為缺乏系統狀態的知識。 也就是說，有一些與傳統相互關聯相關聯的隨機性，但可以藉由獲得知識來消除。
例如，請考慮兩個方塊，每個方塊都包含一個球。 你知道這兩個球都是相同的顏色，無論是藍色還是紅色。 如果你打開一個盒子，發現裡面的球是藍色的，那麼我們知道另一個球也是藍色的。 因此，它們相互關聯。 然而，打開盒子時，我們所擁有的不確定性是由於我們缺乏知識，這不是根本的。 球在我們打開盒子之前是藍色的。 因此，這是傳統相互關聯，而不是量子相互關聯。
由兩個方塊 $\rho_{box}$ 所形成之系統的混合量子狀態可以寫入為
$$\rho_{boxes}=\frac{{1}{2} （\ket{red}\bra{_}A{} red\otimes_\ket{B） +}\bra{} （\frac{blue{1}{2}_\ket{A}\bra{} blue\otimes_\ket{B）}\bra{}$$
請注意，狀態
$$\rho =\frac{{1}{2}（\ket{0}\bra{{0}_A \otimes_B） +\frac{1}{2}（\ket{1}\bra{1}_A \otimes\ket{{1}\bra{{1}_B）$$
現在，請考慮下列狀態：
$$\rho =\frac{{1}{4} （\ket{{00}\bra{00} + \ket{{00}\bra{11} + \ket{11}\bra{00} + \ket{{11}\bra{{11}） =\ket{\phi^+}\bra{\phi^+}$$
在此情況下，我們對狀態的知識是完美的，我們知道 $系統 AB$ 處於貝爾狀態 $\ket{\phi^+}$ ， $而 \rho$ 是純狀態。 因此，沒有傳統相互關聯。 但是，如果我們測量子系統 $A$ 上的可觀察值，我們會取得隨機結果，以提供子系統 $B$ 狀態的相關信息。 此隨機性是基本概念，即這些是量子相互關聯。
包含傳統和量子相互關聯之量子狀態的範例為
$$\rho =\frac{{1}{2}（\ket{\phi^+}\bra{\phi^+} + \ket{\phi^-}\bra{\phi^-}）$$
注意
可分隔狀態只包含傳統相互關聯。