Informazioni sugli oraclei quantistici

Un oracolo, $O$, è un'operazione non esposta usata come input per un altro algoritmo. Spesso tali operazioni vengono definite usando una funzione $classicaf:\{0,1{\}}^n\to \{0,1{\}}^m$, che accetta un $inputbinarioan$ bit e produce un $outputbinarioabitm$. A tale scopo, prendere in considerazione un particolare input binario $x=(x_0,x_1,\dots ,x_{n-1})$. È possibile etichettare gli stati qubit come $\ket{\vec{x}}\ket{=x_{\ket{{0}}\otimesx_\otimes{1}}\otimes\ket{\cdotsx_{n-1.}}$

È possibile prima provare a definire $O$ in modo che $O|x|⟩=f(x)⟩$, ma questo metodo presenta un paio di problemi. In primo luogo, $f$ potrebbe avere una dimensione diversa di input e output ($n\ne m$), in modo che l'applicazione $diO$ cambierebbe il numero di qubit nel registro. In secondo luogo, anche se n m, la funzione potrebbe non essere invertibile: se $f(x)f(y)$ = per alcuni $x\ne y$, allora $O|x⟩=O|y⟩$ ma $O^\dagger O x}\ne O\ket{^\dagger O\ket{y.}$$= $Ciòsignificachenonèpossibilecostruire{l}^{\prime }operazione$adiacente O^\dagger$e gli oracle devono avere un adiacente definito per loro.

Definire un oracolo in base al relativo effetto sugli stati di base computazionale

È possibile gestire entrambi questi problemi introducendo un secondo registro di $qubitm$ per contenere la risposta. Definire quindi l'effetto dell'oracolo su tutti gli stati di calcolo: per tutti gli $statix\in \{0,1{\}}^n$ e $y\in \{0,1{\}}^m$,

$$\begin{\begin{align} O(\ket{x}\otimes\ket{y}) =\ket{x}\otimes\ket{y \oplus f(x)}. \end{align} $$

Ora $O^{=}†$ per costruzione e hai risolto entrambi i problemi precedenti.

Suggerimento

Per vedere che $O=O^{†}$, si noti che $O^2=\mathbf{1}$ giacché $a\oplus b\oplus b=a$ per ogni $a,b\in 0,1$. Di conseguenza, $O|x⟩|y\oplus f(x)⟩=|x⟩|y\oplus f(x)\oplus f(x)⟩=|x⟩|y⟩$.

È importante notare che la definizione di un oracolo in questo modo per ogni stato di base computazionale $|x⟩|y⟩$ definisce anche il modo in cui $O$ agisce per qualsiasi altro stato. Questo comportamento segue immediatamente dal fatto che $O$, come tutte le operazioni quantistice, è lineare nello stato su cui agisce. Si consideri l'operazione Hadamard, ad esempio, definita $H|0⟩|=+⟩$ e $H.|1⟩=|-⟩$ Se si desidera sapere in che modo $H$ agisce su $|+⟩$, è possibile usare che $H$ è lineare,

$$\begin{align}H\ket{+}& =\frac{1}{\sqrt{{2}} H(\ket{0} + \ket{{1}) ={2}}\frac{1}{\sqrt{(H\ket{0} + H\ket{1}) \& =\frac{1}{\sqrt{2}} (\ket{+} + \ket{{-}) =\frac12 ({0}\ket{ + + \ket{\ket{{0}{1} -{1}\ket{ ) . =\ket{{0} \end{align} $$

Quando si definisce l'O$oracle$, è possibile usare in modo analogo qualsiasi stato $|\psi ⟩$ in $n+m$ qubit come

$$\begin{\begin{align}\ket{\psi}&Amp; =\sum_{x \in \{0, 1\}^n, y \in \{0, 1\}^m}\alpha(x, y) \ket{x}\ket{y}. \end{align} $$

Qui, $\alpha :\{0,1{\}}^n\times \{0,1{\}}^m\to \mathbb{C}$ rappresenta i coefficienti dello stato $|\psi ⟩$. Pertanto

$$\begin{\begin{align}O \ket{\psi}& = O \sum_{x \in \{0, 1\}^n, y \in \{0, 1\}^m\alpha}(x, y) \ket{x\ket{}y\&}amp; =\sum_{x \in \{0, 1\}^n, y \in \{0, 1\}^m}\alpha(x, y) O \ket{x}\ket{y\&}amp; =\sum_{x \in \{0, 1\}^n, y \in \{0, 1\}^m\alpha}(x, y) \ket{x}\ket{y \oplus f(x)}. \end{align} $$

Oracoli di fase

In alternativa, è possibile codificare $finunoracolo$O$ applicando una fase basata sull'input a $O$$.Adesempio,èpossibiledefinire$O$ in modo che\begin{$$\begin{align} O \ket{x=} (-1)^{f(x)}\ket{x.} \end{align} $$

Se un oracolo di fase agisce inizialmente su un registro in uno stato $|dibasecomputazionalex⟩$, questa fase è una fase globale e quindi non osservabile. Ma tale oracolo può essere una risorsa potente se applicata a una sovrapposizione o come operazione controllata. Si consideri, ad esempio, un oracolo di fase $O_f$ per una funzione a qubit singolo $f$. Quindi, $$\begin{align} O_f \ket{+}& = O_f (\ket{0} +{1}\ket{ ) /\&\sqrt{{2} amp; = ((-1)^{f(0)}\ket{0} + (-1)^{f(1)\ket{1}}) /&\sqrt{2}\ amp; = (-1)^{f(0)} ({0}\ket{ + (-1)^{f(1) - f(0){1}\ket{}) /\{2}&\sqrt{ amp; = (-1)^{f(0)} Z^{f(0) - f(1)}\ket{+.} \end{align} $$

Nota

Si noti che $Z^{-1}=Z^{†}=Z$, pertanto $Z^{f(0)-f(1)}=Z^{f(1)-f(0)}.$

Più in generale, entrambe le visualizzazioni degli oracle possono essere ampliate per rappresentare le funzioni classiche, che restituiscono numeri reali anziché un solo bit.

La scelta del modo migliore per implementare un oracolo dipende principalmente dal modo in cui questo oracolo deve essere usato all'interno di un determinato algoritmo. Ad esempio, l'algoritmo Deutsch-Jozsa si basa sull'oracolo implementato nel primo modo, mentre l'algoritmo di Grover si basa sull'oracolo implementato nel secondo modo.

Per altre informazioni, vedere la discussione in Gilyén 1711.00465.

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