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Vettori e matrici nel calcolo quantistico

Una certa familiarità con l'algebra lineare è essenziale per comprendere il calcolo quantistico. Questo articolo presenta i concetti di base dell'algebra lineare e come usare vettori e matrici nel calcolo quantistico.

Vettori

Un vettore colonna, o vettore per brevità, $v$ di dimensione (o grandezza) $n$, è una raccolta di $n$ numeri complessi $(v_1, v_2, \ldots, v_n)$ disposti come colonna:

$$v =\begin{bmatrix} v_1\\ v_2\\ \vdots\\ v_n \end{bmatrix}$$

La norma di un vettore $v$ è definita come $\sqrt{\sum_i |v_i|^2}$. Un vettore viene chiamato vettore unitario se la sua norma è $1$.

L'aggiunto di un vettore colonna v è un vettore riga indicato come v^ e si definisce come la trasposizione coniugata di v. Per un vettore $di colonna v$ della dimensione $n$, l'adiacente è un vettore di riga della dimensione $1 \times n$:

$$\begin{bmatrix}v_1 \ \vdots \ v_n \end{bmatrix}^\dagger=\begin{bmatrix}v_1^* & \cdots& v_n^* \end{bmatrix}$$

dove $v_i^*$ indica il complesso coniugato di $v_i$.

Usando l'algebra lineare, lo stato di un qubit $\psi= a \ket{0} + b \ket{1}$ viene descritto come vettore di stato quantico $\begin{bmatrix} a \ b \end{bmatrix}$, dove $|a|^2 + |b|^2 = 1$. Per ulteriori informazioni, vedere il Qubit.

Prodotto scalare

Due vettori possono essere moltiplicati insieme tramite il prodotto scalare, noto anche come prodotto punto o prodotto interno. Come suggerisce il nome, il risultato del prodotto scalare di due vettori è un scalare. Il prodotto scalare fornisce la proiezione di un vettore su un altro e viene usato per esprimere un vettore come somma di altri vettori più semplici. Il prodotto scalare tra due vettori colonna $u$ e $v$ è indicato come $\langle u, v \rangle= u^\dagger v $ ed è definito come

\[\langle u, v \rangle = \begin{bmatrix} u_1^* & \cdots & u_n^* \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_1 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix} = u_1^* v_1 + \cdots + u_n^* v_n.\] $$

Con il prodotto scalare, la norma di un vettore $v$ può essere scritta come $\sqrt{\langlev, v\rangle}$.

È possibile moltiplicare un vettore per un numero $a$ per formare un nuovo vettore i cui elementi sono moltiplicati per $a$. È anche possibile sommare due vettori $u$ e $ v$ per formare un nuovo vettore i cui elementi sono la somma degli elementi di $u$ e $v$. Queste operazioni sono le seguenti:

$$ au+bv =\begin{bmatrix} au_1+bv_1\\ au_2+bv_2\\ \vdots\\ au_n+bv_n \end{bmatrix}$$

Matrici

Una matrice di dimensioni $m \times n$ è una raccolta di $m\cdot n$ numeri complessi disposti in $m$ righe e $n$ colonne, come mostrato di seguito:

$$M =\begin{bmatrix} M_{11} M_{12}\cdots M_{1n}\\ M_{{21} M_{22}\cdots M_{2n}\\\ddots\\ M_{m1} M_{m2}\cdots M_{mn}\\\end{bmatrix}$$

Nota

Si noti che un vettore di dimensione $n$ è semplicemente una matrice di dimensione $n \times 1$.

Le operazioni quantistiche sono rappresentate da matrici quadrate, ovvero il numero di righe e colonne è uguale. Ad esempio, le operazioni su singolo qubit sono rappresentate da matrici 2 × 2, come l'operazione di Pauli $X$.

$$X =\begin{bmatrix} 0 & 1 1 \\& 0 \end{bmatrix}$$

Suggerimento

In Q#, l'operazione Pauli $X$ è rappresentata dall'operazione X.

Come per i vettori, è possibile moltiplicare una matrice con un numero $c$ per ottenere una nuova matrice in cui ogni voce viene moltiplicata con $c$ e due matrici della stessa dimensione possono essere aggiunte per produrre una nuova matrice le cui voci sono la somma delle rispettive voci delle due matrici.

Moltiplicazione di matrici

È anche possibile moltiplicare una matrice $M$ di dimensioni $m \times n$ e una matrice $N$ di dimensioni $n \times p$ per ottenere una nuova matrice $P$ di dimensione $m \times p$ come indicato di seguito:

$$ \begin{ \begin{align} &\begin{bmatrix} M_{{11} M_{12}\cdots M_{1n}\\ M_{{21} M_{22}\cdots M_{2n}\\\ddots\\ M_{m1} M_{m2}\cdots M_{mn}\end{bmatrix}\begin{bmatrix} N_{{11} N_{{12}\cdots N_{1p}\\ N_{{21} N_{22}\cdots N_{2p}\\\ddots\\ N_{n1} N_{n2}\cdots N_{np}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} P_{{11} P_{12}\cdots P_{1p}\\ P_{21} P_{{22}\cdots P_{2p}\\\ddots\\ P_{m1} P_{m2}\cdots P_{mp}\end{bmatrix}\end{align}$$

dove gli elementi di $P$ sono $P_{ik} = \sum_\sum_j M_{ij}N_{jk}$. Ad esempio, la voce $P_{11}$ è il prodotto scalare della prima riga di $M$ con la prima colonna di $N$. Tenere presente che, poiché un vettore è semplicemente un caso speciale di matrice, questa definizione si estende alla moltiplicazione matrice-vettore.

Tipi speciali di matrici

Un tipo particolare di matrice quadrata è la matrice identità, denotata con $\mathbb{I}$, in cui tutti gli elementi diagonali sono uguali a $1$ e gli elementi restanti sono uguali a $0$:

$\mathbb{ \mathbb{I}=\begin{bmatrix} 1 0 \cdots 0\\ 0 1 \cdots 0\\\ddots\\ 0 0 \cdots 1 \end{bmatrix}.$

Per una matrice quadrata \(A\), una matrice \(B\) è la sua inversa se \(AB = BA = I\). Se una matrice $A$ ha un inverso, la matrice inversa è univoca e viene scritta come $A^{-1}$.

Per qualsiasi matrice $M$, la trasposta aggiunta o coniugata di $M$ è una matrice $N$ tale che $N_{ij} = =M_{ji}^*$. L'aggiunto di $M$ è indicato $M^\dagger$.

Una matrice $U$ è unitaria se $U U^\dagger = I$ o, in modo equivalente, $U^{-1} = U^\dagger$. Una proprietà importante delle matrici unitarie è che mantengono la norma di un vettore. Ciò si verifica perché

$\langle v,v \rangle=v^{\dagger} v = v^{\dagger} U^{{-1} U v = v^{\dagger} U^{\dagger} U v =\langle U v, U v\rangle.$

Nota

Le operazioni quantistiche sono rappresentate da matrici unitari, che sono matrici quadrate le cui adiacente sono uguali al relativo inverso.

Una matrice M viene chiamata hermitiana se M = M^†.

Nel calcolo quantistico sono essenzialmente presenti solo due matrici: Hermitian e unitari.

Prodotto tensoriale

Un'altra operazione importante è il prodotto tensore, detto anche prodotto diretto di matrice o prodotto di Kronecker.

Si considerino $i due vettori v=\begin{bmatrix}a \\ b \end{bmatrix}$ e $u =\begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix}$. Il loro prodotto tensoriale è denotato come $v \otimes u$ e il risultato è una matrice a blocchi.

$$ \begin{bmatrix} una \\ b \end{bmatrix}\otimes\begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} una \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix} b \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a c \\ a d \\ b c \\ b d \end{bmatrix}$$

Nota

Si noti che il prodotto tensore è distinto dalla moltiplicazione della matrice, che è un'operazione completamente diversa.

Il prodotto tensore viene usato per rappresentare lo stato combinato di più qubit. La potenza reale del calcolo quantistico deriva dall'uso di più qubit per eseguire calcoli. Per maggiori dettagli, vedere Operazioni su più qubit.

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