Webサイト側で表示に指定しているフォントによる制限でしょう。
Webブラウザには何を使用していますか?
sans-serif、serifなどの指定のみであれば、ブラウザ側で定義されている標準フォントを使うが、そうではなく、Webフォントや特定のフォントを指定している場合には、そのフォントで表示可能な漢字しか表示できません。
なお、ChromやIEの場合には、sans-serif、serifなどで指定されたフォントは、ユーザーがある程度指定できるようになっていますが、Edgeの場合には指定できなくなっています。指定できなくとも、MS Gothicと游ゴシックを中心に複数のフォントを組み合わせて漢字コ-ド第1水準~第4水準の範囲は網羅しているので実害はないはずです。
Webサイト側の問題なので、パソコン側ではどうにもなりません。