一般的にはHDDの交換を行ってもライセンスには影響がありませんが、メーカー製PC(OEM ライセンス)は、PCによってはマザーボードに記録されている情報によって認証される仕組みがあるようです。
詳しいことは分かりませんが、HDDにある認証情報とマザーボードに記録されている認証情報が一致する必要があるかもしれません。
また、メーカー製PCのライセンスは、そのPCだけに認められているもので他のPCには転用できませんから、故障したPCのHDDには故障したPCの認証情報があるとおもうので、これをそのまま他のPCで使うのは問題があるように思います。
行うとしたら、故障したPCのHDDを初期化してから使えば問題ないと思いますが、それでは意味がないということだと思いますし、メーカー所定のリカバリー方法に合わないということも考えられます。
また、同じ型番でも製造時期や製造場所によってシステム構成が異なり、故障したPCのHDDをそのまま使うことができない場合もあると思いますが、仮に使えたとしたら中古PCのプロダクトキーを使ってプロダクトキーの変更を行うということが可能かもしれません。
HDDを接続した段階ではライセンス上の問題があるのかもしれませんし、そのような使い方もライセンス上の問題が残るのかもしれませんが、両方のライセンスがあるということですし、プロダクトキーの変更を行うまでのわずかの時間だけであれば、個人的には許容される範囲という気もします。
もっとも、レアケースでの質問ですし、ここのサイトの参加者はマイクロソフトの部外者ですから、確実なことであればマイクロソフトのサポートに確認した方がいいと思います。
なお、マイクソフトのISOイメージは、パッケージ版かDSP版のプロダクトキーでしかダウンロードできません(OEMのプロダクトキーは使えません)。
また、余計なことかもしれませんがWindows 7 のサポート期間は残り数か月で終わりますので、そこまで苦労して使うこともないかもしれません。
サポート終了後もスタンドアローンで使う予定があれば別ですが・・・・