Office アプリの設定、プロダクト キーの引き換え、ライセンス認証を行うことに関する Microsoft 365 のプロセス。
お使いになっていた Office 2013 は PC に付属していたものでしょうか? それともパッケージ製品を購入されたものでしょうか? PC 付属の場合、Office Premium とそうでない PIPC 版とありますが、どちらでしょう。
PIPC 版の場合は、こちらのページに記載のように PC に付属していたプロダクトキーがないと再インストールはできません。Office Premium であれば「Office Premium 再インストール」に書かれているようにプロダクトキーがなくとも最初にセットアップした時に関連付けた Microsoft アカウントでサインインすれば再インストール可能です。
パッケージ製品の場合も「Office 2013 パッケージ製品 (FPP) インストール」にあるように、プロダクトキーがなくとも最初にセットアップした時に関連付けた Microsoft アカウントでサインインすれば再インストール可能です。
まとめると、プロダクトキーが無いと再インストールできないのは Office Premium でない PIPC 版プレインストール製品だけで、それ以外であれば最初にセットアップした時に関連付けた Microsoft アカウントでサインインすれば再インストール可能です。