特定のカテゴリで扱われていない SQL Server の追加機能とトピック
単一データベースの基本的な可用性グループ - SQL Server Always On | Microsoft Learn
こちらに「セカンダリ レプリカに対する読み取りアクセス権はありません。」と書かれていますが、「フェールオーバーでプライマリとセカンダリのロール割り当てが逆になり、セカンダリ レプリカがプライマリ アクティブ データベースになります。」とも書かれているので、普通に読めばフェールオーバーを行うと元のプライマリと同じ機能となるかと思われます。
障害発生時にフェールオーバーした後、新しいプライマリレプリカとなったサーバー上のデータベースが読み取り専用となり、更新処理ができない、という情報を確認しました
とは、どこでどのような情報をご覧になったのでしょう? そのソースを示していただければ、真偽も確認できるかもしれません。
※「セカンダリ レプリカに対する整合性チェックはありません」なので、フェールオーバー後に何の問題も起こらないということはそもそも保証されていませんが。