Operacje pomiaru z pojedynczym i wielokubitowym kubitem Pauli

  • Artykuł

Podczas pracy z usługą Q#stwierdzasz, że pomiary Pauli są typowym typem pomiaru. Pomiary Pauli uogólniają pomiary podstaw obliczeniowych w celu uwzględnienia pomiarów w innych podstawach i parzystości między różnymi kubitami. W takich przypadkach często omawia się pomiar operatora Pauli, który jest operatorem, takim jak X,Y,Z$ lub $Z\otimes, X\otimes X, X\otimes Y$ itd.$ Aby zapoznać się z podstawami pomiaru kwantowego, zobacz Kubit i Wiele kubitów.

Omawianie pomiaru pod względem operatorów Pauli jest powszechne w podpole korekty błędów kwantowych.
Q# przewodnik jest zgodny z podobną konwencją; w tym artykule wyjaśniono ten alternatywny widok pomiarów.

Porada

W systemie Q#operatory z wieloma kubitami Pauli są zwykle reprezentowane przez tablice typu Pauli[]. Na przykład aby reprezentować $X \otimes Z \otimes Y$, można użyć tablicy [PauliX, PauliZ, PauliY].

Przed zagłębienie się w szczegółowe informacje na temat sposobu myślenia o pomiarze Pauli warto zastanowić się nad tym, co mierzy pojedynczy kubit wewnątrz komputera kwantowego do stanu kwantowego. $Wyobraź sobie stan kwantowy n-kubitowy$, a następnie pomiar jednego kubitu natychmiast wyklucza połowę $możliwości 2^n$, w których może znajdować się stan. Innymi słowy, pomiar rzutuje stan kwantowy na jedną z dwóch pół odstępów. Można uogólnić sposób myślenia o pomiarze, aby odzwierciedlić tę intuicję.

Aby zwięźle zidentyfikować te przestrzenie podrzędne, należy użyć języka opisującego je. Jednym ze sposobów opisania dwóch przestrzeni podrzędnych jest określenie ich za pomocą macierzy, która ma tylko dwa unikatowe wartości eigen, przyjęte zgodnie z konwencją jako $\pm 1$. Aby uzyskać prosty przykład opisywania podprzestrzeni w ten sposób, rozważ użycie Z$$:

$$\begin{\begin{align} Z & =\begin{bmatrix} 1 & 0 0 \\& -1 \end{bmatrix}. \end{align} $$

Czytając elementy ukośne macierzy Pauli-Z, można zobaczyć, że $Z$ ma dwa wektory eigenne i $\ket{1}$$\ket{0}$ , z odpowiednimi wartościami eigenvalue \$pm 1$.$$ W związku z tym, jeśli pomiar kubitu daje wynik Zero (odpowiadający stanowi $\ket{0}$), wiadomo, że stan kubitu jest stanem $+1$ eigenstate $operatora Z$ . Podobnie, jeśli wynik to One, wiadomo, że stan kubitu to $-1$ eigenstate Z$$. Ten proces jest określany w języku pomiarów Pauli jako &cudzysłów; pomiar Pauli $Z,quot$&; i jest całkowicie odpowiednikiem wykonywania pomiaru podstaw obliczeniowych.

Każda $macierz 2 2$\times, która jest jednostkową transformacją $Z$, spełnia również te kryteria. Oznacza to, że można również użyć macierzy $A=U^\dagger Z U$, gdzie $U$ jest dowolną inną macierzą jednostkową, aby nadać macierz, która definiuje dwa wyniki pomiaru w wektorach $eigennych \pm 1$ . Notacja pomiarów Pauli odwołuje się do tej jednoczesnej równoważności, identyfikując $pomiary X,Y,Z$ jako równoważne pomiary, które można zrobić, aby uzyskać informacje z kubitu. Te pomiary są podane tutaj dla wygody.

Pomiar Pauli Przekształcanie jednostkowe
$Z$ $\mathbf{1}$
$X$ $H$
$Y$ $HS^{\dagger}$

Oznacza to, używając tego języka, " cudzysłów miary $Y$&; jest odpowiednikiem zastosowania $modułu HS^\dagger$ , a następnie pomiaru w podstawie obliczeniowej, gdzie S jest wewnętrzną operacją kwantową nazywaną czasem cudzysłów &; phase gate,quot&; i można symulować przy użyciu macierzy unitarnej

$$\begin{\begin{align}S =1 amp; 0 0 \\& i \end{bmatrix}.&\begin{bmatrix} \end{align} $$

Jest również odpowiednikiem zastosowania $modułu HS^\dagger$ do wektora stanu kwantowego, a następnie pomiaru $Z$, tak aby następująca operacja była równoważna Measure([PauliY], [q]):

operation MeasureY(qubit : Qubit) : Result {
    mutable result = Zero;
    within {
        Adjoint S(q);
        H(q);
    } apply {
        set result = M(q);
    }
    return result;
}

Następnie można znaleźć prawidłowy stan, przekształcając z powrotem do podstawy obliczeniowej, czyli $stosując sh$ do wektora stanu kwantowego. W fragmencie kodu transformacja z powrotem do podstawy obliczeniowej jest obsługiwana automatycznie przy użyciu within … apply bloku.

W Q#pliku wynik--- jest to, klasyczne informacje wyodrębnione z interakcji ze stanem---is podane przy użyciu Result wartości $j \in \{\texttt{Zero}, One}\}$ wskazujące, \texttt{czy wynik znajduje się w przestrzeni $(-1)^j$ eigenspace operatora Pauli mierzony.

Pomiary wielu kubitów

Pomiary operatorów z wieloma kubitami Pauli są definiowane podobnie, jak pokazano na poniższej podstawie:

$$Z Z\otimes=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0& 0 0\\& amp;-1& 0& 0 0\\& amp; 0&-1& 0 0\\& amp; 0& 0& 1\end{bmatrix}. $$

W ten sposób produkty tensor dwóch operatorów Pauli-Z$$ tworzą macierz składającą $się z dwóch spacji składających się z +1$ i $-1$ eigenvalues. Podobnie jak w przypadku pojedynczego kubitu, obie stanowią pół odstępu, co oznacza, że połowa dostępnej przestrzeni wektorowej należy do $przestrzeni eigennej +1$ , a pozostała połowa $do przestrzeni eigennej -1$ . Ogólnie rzecz biorąc, łatwo jest zobaczyć z definicji produktu tensor, że każdy produkt tensor operatorów Pauli-Z$$ i tożsamość również przestrzega tego. Na przykład

$$\begin{align}Z \otimes\begin{bmatrix}{1}\mathbf{=1 & 0 & 0 & 0 &\\ amp; 1 & 0 & 0 amp; 0 \\ amp; 0 && -1 & 0 \\& 0 & &-1 .\end{bmatrix} \end{align} $$

Tak jak poprzednio, każda unitaryczna transformacja takich macierzy opisuje również dwie pół-spacje oznaczone $\pm 1$ eigenvalues. Na przykład X X H H\otimes(Z\otimes)H\otimes$ H z tożsamości Z $HXH=$.=\otimes$ Podobnie jak w przypadku jednego kubitu, wszystkie dwa kubity Pauli pomiary mogą być zapisywane jako $U^\dagger (Z\otimes 1) U$ dla $4 4\times$ unitary macierzy $U$. Przekształcenia są wyliczane w poniższej tabeli.

Uwaga

W tej tabeli $\operatorname{funkcja SWAP}$ służy do wskazywania macierzy $$\begin{align}\operatorname{SWAP}& =\left(\begin{macierz} 1 & 0 & &0 amp; 0 \\& 0 amp; 0 & 1 & 0 \\& 1 & 0 & 0 \\& 0 & 0 & 1 \end{macierz}\right) \end{align}$$ używane do symulowania operacji SWAPwewnętrznej .

Pomiar Pauli Przekształcanie jednostkowe
$Z\otimes\mathbf{1}$ $\mathbf{1}\otimes \mathbf{1}$
$X\otimes\mathbf{1}$ $ H \otimes\mathbf{1}$
$Y\otimes\mathbf{1}$ $HS^\dagger\otimes\mathbf{1}$
$\mathbf{1}\otimes Z$ $\operatorname{SWAP}$
$\mathbf{1}\otimes X$ $(H\otimes\mathbf{1})\operatorname{WYMIANY}$
$\mathbf{1}\otimes Y$ $(HS^\dagger\otimes\mathbf{1})\operatorname{WYMIANY}$
$Z\otimes Z$ $\operatorname{CNOT}_{10}$
$X\otimes Z$ $\operatorname{CNOT}_{10}(H\otimes\mathbf{1})$
$Y\otimes Z$ $\operatorname{CNOT}_({10}HS^\dagger\otimes\mathbf{1})$
$Z\otimes X$ $\operatorname{CNOT}_{10}(\mathbf{1}\otimes H)$
$X\otimes X$ $\operatorname{CNOT}_{10}(H H\otimes )$
$Y\otimes X$ $\operatorname{CNOT}_({10}HS^\dagger\otimes H)$
$Z\otimes Y$ $\operatorname{CNOT}_{10}(\mathbf{1}\otimes HS^\dagger)$
$X\otimes Y$ $\operatorname{CNOT}_({10}H\otimes HS^\dagger)$
$Y\otimes Y$ $\operatorname{CNOT}_({10}HS^\dagger\otimes HS^\dagger)$

CNOT W tym miejscu operacja jest wyświetlana z następującej przyczyny. Każda miara Pauli, która nie zawiera $\mathbf{1}$ macierzy, jest równoważna jednostce z $Z$\otimes przez wcześniejsze rozumowanie. Wartości eigen z Z\otimes$ zależą tylko od parzystości kubitów, które składają się na każdy wektor obliczeniowy, a kontrolowane operacje $nie służą do obliczania tej parzystości i przechowywania ich w pierwszym bitzie. Następnie po zmierzeniu pierwszego bitu można odzyskać tożsamość wynikowej półprzestrzeni, która jest równoważna pomiarowi operatora Pauli.

Ponadto, chociaż może być kuszące założenie, że pomiar $Z Z$\otimes jest taki sam jak sekwencyjnie pomiaru $Z\otimes\mathbb{{1}$, a następnie $\mathbb{1}\otimes Z$, to założenie byłoby fałszywe. Przyczyną jest to, że pomiar $stanu kwantowego Z\otimes$ rzutuje stan kwantowy na $stan +1$ lub $-1$ tych operatorów. Pomiar $Z\otimes\mathbb{1}$, a następnie\otimes$\mathbb{1}Z$ projektuje wektor stanu kwantowego najpierw na pół odstępu $Z\mathbb{{1}$\otimes, a następnie na pół odstępu{1}$\mathbb{\otimes od Z.$ Ponieważ istnieją cztery wektory podstaw obliczeniowych, wykonywanie obu pomiarów zmniejsza stan do jednej czwartej przestrzeni, a tym samym zmniejsza je do pojedynczego wektora podstawy obliczeniowej.

Korelacje między kubitami

Innym sposobem mierzenia produktów tensorowych macierzy Pauli, takich jak $X\otimes X$ lub $Z Z\otimes$, jest to, że te pomiary umożliwiają przyjrzenie się informacjom przechowywanym w korelacjach między dwoma kubitami. Pomiar $X\otimes 1$ umożliwia przyjrzenie się informacjom przechowywanym lokalnie w pierwszym kubitie. Chociaż oba typy pomiarów są równie cenne w obliczeniach kwantowych, te pierwsze iluminują możliwości obliczeń kwantowych. Pokazuje, że w obliczeniach kwantowych często informacje, które chcesz nauczyć, nie są przechowywane w żadnym kubitie, ale raczej przechowywane nie lokalnie we wszystkich kubitach jednocześnie, a zatem tylko patrząc na nie za pośrednictwem wspólnej miary (np. $Z Z\otimes$), te informacje stają się manifestem.

Można również zmierzyć dowolne operatory Pauli, takie jak $X\otimes Y \otimes Z \otimes\mathbf{1}$ . Wszystkie takie produkty tensor operatorów Pauli mają tylko dwa eigenvalues $\pm 1$ , a obie przestrzenie eigenspace stanowią pół-spacje całej przestrzeni wektorowej. W związku z tym zbiegają się one z określonymi wcześniej wymaganiami.

W Q#metodzie takie pomiary zwracają $wartość j$ , jeśli pomiar daje wynik w przestrzeni eigenspace znaku $(-1)^j$. Posiadanie pomiarów Pauli jako wbudowanej funkcji jest Q# pomocne, ponieważ pomiar takich operatorów wymaga długich łańcuchów kontrolowanych bram NOT i przekształceń bazowych w celu opisania ukośnej $bramy U$ potrzebnej do wyrażenia operacji jako produktu tensor Z $$ i $1$. Dzięki możliwości określenia, że chcesz wykonać jedną z wstępnie zdefiniowanych miar, nie musisz martwić się o sposób przekształcania podstawy, tak aby pomiar podstaw obliczeniowych zapewniał niezbędne informacje. Q# automatycznie obsługuje wszystkie niezbędne przekształcenia podstaw.

Twierdzenie No-Cloning

Informacje kwantowe są zaawansowane. Umożliwia to wykonywanie niesamowitych rzeczy, takich jak liczby współczynników wykładniczo szybciej niż najbardziej znane algorytmy klasyczne, lub wydajnie symulowane skorelowane układy elektronowe, które klasycznie wymagają kosztu wykładniczego w celu dokładnego symulowania. Istnieją jednak ograniczenia dotyczące mocy obliczeń kwantowych. Jedno z takich ograniczeń jest podane przez Twierdzenie No-Cloning.

Twierdzenie No-Cloning jest trafnie nazwane. Nie zezwala na klonowanie ogólnych stanów kwantowych przez komputer kwantowy. Dowód twierdzenia jest niezwykle prosty. Chociaż pełny dowód braku klonowania twierdzenie jest zbyt techniczny dla tego artykułu, dowód w przypadku żadnych dodatkowych kubitów pomocniczych nie mieści się w zakresie.

W przypadku takiego komputera kwantowego operację klonowania należy opisać za pomocą macierzy unitarnej. Pomiar kwantowy jest niedozwolony, ponieważ uszkodziłby stan kwantowy do sklonowania. Aby zasymulować operację klonowania, używana macierz jednostkowa musi mieć właściwość U $${0}\ket{\ket{\psi}\ket{\psi}\ket{\psi}=$$ dla dowolnego stanu .$\ket{\psi}$ Właściwość liniowości mnożenia macierzy oznacza następnie, że dla dowolnego drugiego stanu $\ket{\phi}$kwantowego ,

$$\begin{\begin{align}U \left[ \frac{{1}{\sqrt{{2}}\left(\ket{\phi}+\ket{\psi}\right) \right] \ket{{0}& =\frac{1}{\sqrt{2}} U\ket{\phi}\ket{{0} + \frac{1}{\sqrt{{2}} U\ket{\psi}\ket{0}\\& =\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \ket{\phi}\ket{\phi} + \ket{\psi}\ket{\psi}\right) \\& \ne\left( (\ket{\phi}+\ket{\psi}\right) ) \otimes\right\left( \frac{1}{\sqrt{{2}}\left\frac{{2}}\left{1}{\sqrt{(+\ket{\psi}\ket{\phi}\right) ). \right \end{align} $$

Zapewnia to podstawową intuicję No-Cloning Twierdzenie: każde urządzenie, które kopiuje nieznany stan kwantowy, musi wywołać błędy co najmniej w niektórych stanach, które kopiuje. Chociaż kluczowe założenie, że klonator działa liniowo na stanie wejściowym, może zostać naruszone poprzez dodanie i pomiar pomocniczych kubitów, takie interakcje również wyciekają informacje o systemie poprzez statystyki pomiaru i zapobiegają dokładnemu klonowaniu w takich przypadkach.

Twierdzenie No-Cloning jest ważne dla jakościowego zrozumienia obliczeń kwantowych, ponieważ jeśli można sklonować stany kwantowe niedrogi, otrzymasz niemal magiczną zdolność do uczenia się z stanów kwantowych. Rzeczywiście, można naruszyć osławioną zasadę niepewności Heisenberga. Alternatywnie możesz użyć optymalnego klonatora, aby pobrać pojedynczą próbkę ze złożonej dystrybucji kwantowej i poznać wszystko, czego można poznać na podstawie jednej próbki. Byłoby tak, jakbyś przerzucał monetę i obserwując głowy, a następnie mówiąc przyjacielowi o wyniku, który im odpowiada; & Ah rozkład tej monety musi być Bernoulli z $p=0,512643\ldots$!&Quot; Taka instrukcja byłaby bezsensowna, ponieważ jeden bit informacji (wynik head) po prostu nie może dostarczyć wielu bitów informacji potrzebnych do kodowania dystrybucji bez znaczących wcześniejszych informacji. Podobnie, bez wcześniejszych informacji nie można całkowicie sklonowania stanu kwantowego, tak jak nie można przygotować zespołu takich monet bez znajomości $p$.

Informacje nie są bezpłatne w obliczeniach kwantowych. Każdy kubit mierzony daje jeden bit informacji, a No-Cloning Theorem pokazuje, że nie ma backdoor, który można wykorzystać, aby obejść fundamentalny kompromis między informacjami uzyskanymi na temat systemu i zakłóceniami wywołanymi na nim.

Następne kroki