Share via

Algebra liniowa na potrzeby obliczeń kwantowych

  • Artykuł

Algebra liniowa jest językiem obliczeń kwantowych. Chociaż nie musisz wiedzieć, jak implementować ani pisać programów kwantowych, jest ona powszechnie używana do opisywania stanów kubitów, operacji kwantowych i przewidywania działania komputera kwantowego w odpowiedzi na sekwencję instrukcji.

Podobnie jak znajomość podstawowych pojęć dotyczących fizyki kwantowej może pomóc zrozumieć obliczenia kwantowe, znajomość podstawowej algebry liniowej może pomóc zrozumieć, jak działają algorytmy kwantowe. Warto zapoznać się przynajmniej z wektorami i mnożeniem macierzy. Jeśli chcesz odświeżyć wiedzę o tych pojęciach związanych z algebrą, oto kilka samouczków, które obejmują podstawowe informacje:

Wektory i macierze w obliczeniach kwantowych

Kubit może być w stanie 1 lub 0 albo superpozycji obu. Przy użyciu algebry liniowej stan kubitu jest opisywany jako wektor i jest reprezentowany przez jednokolumnową macierz$\begin{bmatrix} b \end{bmatrix}$\\ . Jest on również znany jako wektor stanu kwantowego i musi spełniać wymagania, że $|^|2 + |b|^2 = 1$.

Elementy macierzy reprezentują prawdopodobieństwo zwijania kubitu w jeden lub drugi sposób, a $|^|2 jest prawdopodobieństwem zwijania się do zera, a $|b|^2$$ jest prawdopodobieństwem zawalenia się do jednego. Następujące macierze reprezentują prawidłowe wektory stanu kwantowego:

$$\begin{bmatrix}1 \\ 0 , \begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix}\\ 1 \end{bmatrix},{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}\frac{{1}{\sqrt{2}}\\\end{bmatrix}\frac{ ,\\\frac{{-1}{\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{\begin{bmatrix}\text{\end{bmatrix}{2}} i{2}}}\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{\frac{\\ -i.$$}{\sqrt{2}}\end{bmatrix} Operacje kwantowe mogą być również reprezentowane przez macierz. Gdy operacja kwantowa jest stosowana do kubitu, dwie macierze reprezentujące je są mnożone i wynikowa odpowiedź reprezentuje nowy stan kubitu po zakończeniu operacji.

Poniżej przedstawiono dwie typowe operacje kwantowe reprezentowane za pomocą mnożenia macierzy.

Operacja X jest reprezentowana przez macierz $Pauli X$,

$$X =0 amp; 1 1 \\& 0 \end{bmatrix},&\begin{bmatrix}$$

i służy do przerzucenia stanu kubitu z 0 do 1 (lub odwrotnie), na przykład

$$\begin{bmatrix}0 & 1 1\\& 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 0\begin{bmatrix}\\\end{bmatrix}=1 .\end{bmatrix}$$

H Operacja jest reprezentowana przez przekształcenie $Hadamard H$,

$$H = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1 & 1 1\\&-1\end{bmatrix},$$

i umieszcza kubit w stanie superpozycji, gdzie ma nawet prawdopodobieństwo zwinięcia w jedną ze stron, jak pokazano poniżej

$$\frac{{1}{\sqrt{{2}}\begin{bmatrix}1 & 1 1\\&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}.$$

Zwróć uwagę, że $|^|2 =|b|^2\frac{1}{2}$= , co oznacza, że prawdopodobieństwo zwijania się do zera i jeden stan jest taki sam.

Macierz, która reprezentuje operację kwantową ma jedno wymaganie — musi być macierzą unitarną. Macierz jest unitarna, jeśli odwrócenie macierzy jest równe transponowaniu sprzężonemu macierzy.

Reprezentacja stanów dwóch kubitów

W powyższych przykładach opisano stan jednego kubitu przy użyciu macierzy $\begin{bmatrix}\\ pojedynczej kolumny b \end{bmatrix}$i zastosowanie do niej operacji przez pomnożenie dwóch macierzy. Jednak komputery kwantowe używają więcej niż jednego kubitu, więc w jaki sposób można opisać połączony stan dwóch kubitów?

Uwaga

Rzeczywiste możliwości obliczeń kwantowych wynikają z korzystania z wielu kubitów do wykonywania obliczeń. Aby dowiedzieć się więcej na ten temat, zobacz Operacje na wielu kubitach.

Należy pamiętać, że każdy kubit jest przestrzenią wektorową, więc nie można ich tylko przemnożyć. Zamiast tego należy użyć produktu tensor, który jest operacją powiązaną, która tworzy nową przestrzeń wektorową z poszczególnych przestrzeni wektorowych i jest reprezentowana przez $\otimes$ symbol. Na przykład jest obliczany produkt tensorowy dwóch kubitów \\$\begin{bmatrix} b \end{bmatrix}$ i $\begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix}$

$$\begin{bmatrix}a \\ b \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\otimesc \\ d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix}\\ b c \\\begin{bmatrix}c d=\end{bmatrix}\end{bmatrix}\begin{bmatrix} ac \\ ad \\ bc \\ bd .\end{bmatrix} $$

Wynikiem jest czterowymiarowa macierz, której każdy element reprezentuje prawdopodobieństwo. Na przykład $ac$ jest prawdopodobieństwo, że dwa kubity zwijają się do 0 i 0, $reklama$ jest prawdopodobieństwem 0 i 1 itd.

Tak jak pojedynczy stan kubitu b musi spełniać wymaganie, że $|^|2 + b^2 = 1$ w celu reprezentowania stanu kwantowego, dwubitowy stan $\begin{bmatrix} ad \\ bc \\ bd \end{bmatrix}$|musi spełniać wymaganie, że $|ac|^2 + ||ad\\|^2 + bc^2+ bd|^2+ ||bd|^2 = 1.$\end{bmatrix}$\\$\begin{bmatrix}

Podsumowanie

Algebra liniowa jest standardowym językiem do opisywania obliczeń kwantowych i fizyki kwantowej. Mimo że biblioteka standardowa dołączona do firmy Microsoft Quantum Development Kit ułatwia uruchamianie zaawansowanych algorytmów kwantowych bez przechodzenia do podstawowej matematyki, zrozumienie podstaw ułatwia szybkie rozpoczęcie pracy i zapewnienie solidnej podstawy do budowy.

Następne kroki