Operações de medição de Pauli de um e vários qubits

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Ao trabalhar com Q#o , você descobre que as medidas pauli são um tipo comum de medida. As medidas pauli generalizam as medidas de base computacional para incluir medidas em outras bases e de paridade entre qubits diferentes. Nesses casos, é comum discutir a medição de um operador Pauli, que é um operador como X,Y,Z$ ou $Z\otimes Z, X\otimes X, X\otimes Y$ e assim por diante.$ Para obter os conceitos básicos da medida quântica, consulte O qubit e Vários qubits.

Discutir a medida em termos de operadores Pauli é comum no subcampo da correção de erros quânticos.
O guia Q# segue uma convenção semelhante; este artigo explica essa exibição alternativa de medidas.

Dica

Em Q#, os operadores de Pauli de vários qubits geralmente são representados por matrizes do tipo Pauli[]. Por exemplo, para representar $X \otimes Z \otimes Y$, você pode usar a matriz [PauliX, PauliZ, PauliY].

Antes de se aprofundar nos detalhes de como pensar em uma medição de Pauli, é útil pensar no que a medição de um só qubit dentro de um computador quantum faz com o estado quantum. Imagine que tenhamos um estado quântico de $n$ qubits; então, medir um qubit imediatamente descarta metade das possibilidades de $2^n$ em que o estado poderia estar. Em outras palavras, a medição projeta o estado quantum em um dos dois espaços. Você pode generalizar a maneira como pensa sobre a medida para refletir essa intuição.

Para identificar esses subespaços de modo conciso, precisamos de uma linguagem para descrevê-los. Uma forma de descrever os dois subespaços é especificá-los por meio de uma matriz que tem apenas dois eigenvalues exclusivos, tomados pela convenção como sendo $\pm 1$. Para obter um exemplo simples de descrição de subespaços dessa forma, considere $Z$:

$$\begin{\begin{align} Z & =\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}. \end{align} $$

Lendo os elementos diagonais da matriz de Pauli $Z$, podemos ver que $Z$ tem dois autovetores, $\ket{0}$ e $\ket{1}$, com autovalores $\pm 1$ correspondentes. Portanto, se uma medida do qubit resultar em Zero (correspondente ao estado $\ket{0}$), é conhecido que o estado do qubit é um $eigenstate +1$ do $operador Z$ . Da mesma forma, se o resultado for One, é conhecido que o estado do qubit é um $-1$ eigenstate de $Z$. Esse processo é mencionado na linguagem de medidas Pauli como "medição de Pauli $Z$," e é totalmente equivalente a executar uma medida de base computacional.

Qualquer matriz $2\times 2$ que seja uma transformação unitária de $Z$ também atende a esses critérios. Ou seja, também poderíamos usar uma matriz $A=U^\dagger Z U$, em que $U$ é qualquer outra matriz unitária, para gerar uma matriz que define os dois resultados de uma medida em seus autovetores $\pm 1$. A notação de medições de Pauli faz referência a essa equivalência unitária identificando as medidas $X,Y,Z$ como medidas equivalentes que poderiam ser feitas para obter informações de um qubit. Essas medidas são fornecidas aqui para conveniência.

Medições de Pauli Transformação unitária
$Z$ $\mathbf{1}$
$X$ $H$
$S$ $HS^{\dagger}$

Ou seja, usando esse idioma, &aspas; measure $Y$" é equivalente à aplicação de $HS^\dagger$ e, em seguida, medição na base computacional, em S que é uma operação quântica intrínseca às vezes chamada de &aspa; phase gate,quot&; e pode ser simulado usando a matriz unitária

$$\begin{\begin{align}S =1 amp; 0 \\ 0 & i \end{bmatrix}.&\begin{bmatrix} \end{align} $$

Também é equivalente a aplicar $HS^\dagger$ ao vetor de estado quantum e, depois, medir $Z$, de modo que a seguinte operação seja equivalente a Measure([PauliY], [q]):

operation MeasureY(qubit : Qubit) : Result {
    mutable result = Zero;
    within {
        Adjoint S(q);
        H(q);
    } apply {
        set result = M(q);
    }
    return result;
}

O estado correto é então encontrado transformando de volta para a base computacional, o que equivale à aplicação $de SH$ ao vetor de estado quântico; no snippet de código, a transformação de volta para a base computacional é tratada automaticamente com o uso do within … apply bloco.

Em Q#, o resultado--- isto é, as informações clássicas extraídas da interação com o estado---is fornecidas usando um Result valor $j \in \{\texttt{Zero}, \texttt{One}\}$ indicando se o resultado está no $(-1)^j$ eigenspace do operador Pauli medido.

Medições de vários qubits

As medições de operadores de Pauli de vários qubits são definidas da mesma forma, como visto em:

$$ Z\otimes Z =\begin{bmatrix}1 & 0 & 0& 0\\ 0&-1& 0& 0\\ 0& 0&-1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{bmatrix}. $$

Assim, os produtos tensores de dois operadores $Z$ de Pauli formam uma matriz composta por dois espaços que consistem em $+1$ e $-1$ eigenvalues. Assim como no caso de qubit único, ambos constituem um meio espaço, o que significa que metade do espaço do vetor acessível pertence ao eigenspace $+1$ e a metade restante, ao eigenspace $-1$. Em geral, é fácil ver a definição do produto tensor que qualquer produto tensor de operadores $Z$ de Pauli e a identidade também obedece a isso. Por exemplo,

$$\begin{align}Z \otimes\begin{bmatrix}{1}=\mathbf{1 & 0 & 0 & 0 &\\ amp; 1 & 0 amp; 0 & 0 &\\ amp; 0 & -1 & 0 \\ amp; 0 & 0 & 0 & -1 .\end{bmatrix} \end{align} $$

Como antes, qualquer transformação unitária dessas matrizes também descreve dois meio-espaços rotulados com $\pm 1$ eigenvalues. Por exemplo, $X\otimes X = H\otimes H(Z\otimes Z)H\otimes H$ da identidade que $Z=HXH$. Semelhante ao caso de um qubit, todas as medidas Pauli de dois qubits podem ser gravadas como $U^\dagger (Z\otimes 1) U$ para $4 4$\times matrizes unitárias $U$. As transformações são enumeradas na tabela a seguir.

Observação

Nesta tabela, $\operatorname{SWAP}$ é usado para indicar a matriz\operatorname{$$\begin{align} SWAP&}amp; =\left(\begin{matriz} 1 & 0 & 0 & 0 \\ amp; 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\& 0 amp; 0 & 0 & 1 \end{matriz}\right) \end{align}$$ usado para simular a operação SWAPintrínseca .

Medições de Pauli Transformação unitária
$Z\otimes\mathbf{1}$ $\mathbf{1}\otimes \mathbf{1}$
$X\otimes\mathbf{1}$ $H\otimes\mathbf{1}$
$Y\otimes\mathbf{1}$ $HS^\dagger\otimes\mathbf{1}$
$\mathbf{1}\otimes Z$ $\operatorname{SWAP}$
$\mathbf{1}\otimes X$ $(H\otimes\mathbf{1})\operatorname{SWAP}$
$\mathbf{1}\otimes Y$ $(HS^\dagger\otimes\mathbf{1})\operatorname{SWAP}$
$Z\otimes Z$ $\operatorname{CNOT}_{10}$
$X\otimes Z$ $\operatorname{CNOT}_{10}(H\otimes\mathbf{1})$
$Y\otimes Z$ $\operatorname{CNOT}_{10}(HS^\dagger\otimes\mathbf{1})$
$Z\otimes X$ $\operatorname{CNOT}_{10}(\mathbf{1}\otimes H)$
$X\otimes X$ $\operatorname{CNOT}_{10}(H\otimes H)$
$Y\otimes X$ $\operatorname{CNOT}_{10}(HS^\dagger\otimes H)$
$Z\otimes Y$ $\operatorname{CNOT}_{10}(\mathbf{1}\otimes HS^\dagger)$
$X\otimes Y$ $\operatorname{CNOT}_{10}(H\otimes HS^\dagger)$
$Y\otimes Y$ $\operatorname{CNOT}_{10}(HS^\dagger\otimes HS^\dagger)$

Aqui, a operação CNOT é exibida pelo motivo a seguir. Cada medida pauli que não inclui a $\mathbf{1}$ matriz é equivalente a um unitário a $Z\otimes Z$ pelo raciocínio anterior. O eigenvalues de $Z\otimes Z$ dependem apenas da paridade do qubits que compõem cada vetor base computacional, e as operações controladas não servem para computar essa paridade e armazená-las no primeiro bit. Depois que o primeiro bit é medido, podemos recuperar a identidade do meio espaço resultante, que é equivalente a medir o operador de Pauli.

Além disso, embora possa ser tentador assumir que medir Z Z é o mesmo que medir $sequencialmente Z{1}$\otimes\mathbb{ e, em seguida$\mathbb{1}\otimes, Z$, essa suposição seria falsa.$\otimes$ O motivo é que medir $Z\otimes Z$ projeta o estado quantum no eigenstate $+1$ ou $-1$ desses operadores. Medir $Z\otimes\mathbb{1}$ e depois $\mathbb{1}\otimes Z$ projeta o vetor de estado quântico primeiro em um meio espaço de $Z\otimes\mathbb{{1}$ e depois em um meio espaço $\mathbb{{1}\otimes Z$. Como há quatro vetores de base computacional, a execução de ambas as medidas reduz o estado para um quarto de espaço e, portanto, a reduz para um só vetor de base computacional.

Correlações entre qubits

Outra maneira de observar a medição de produtos tensor de matrizes de Pauli como $X\otimes X$ ou $Z\otimes Z$ é que essas medidas permitem que você examine as informações armazenadas nas correlações entre os dois qubits. Medir $o X\otimes 1$ permite que você examine as informações armazenadas localmente no primeiro qubit. Embora os dois tipos de medidas sejam igualmente valiosos na computação quântica, o primeiro ilumina o poder da computação quântica. Ele revela que, na computação quântica, geralmente as informações que você deseja aprender não são armazenadas em qualquer qubit único, mas, em vez disso, armazenadas não localmente em todos os qubits de uma vez, portanto, apenas olhar para elas por meio de uma medição conjunta (por exemplo, $Z\otimes Z$) faz essas informações se tornam manifestas.

Operadores Pauli arbitrários, como $X\otimes Y \otimes Z \otimes\mathbf{1}$, também podem ser medidos. Todos esses produtos tensores de operadores de Pauli têm apenas dois eigenvalues $\pm 1$ e ambos eigenspaces constituem metades do espaço de vetor inteiro. Assim, coincidem com os requisitos declarados anteriormente.

Em Q#, essas medidas retornam $j$ se a medida produz um resultado no eigenspace de sinal $(-1)^j$. Ter medidas Pauli como um recurso interno no Q# é útil porque medir esses operadores requer cadeias longas de portões não controlados e transformações de base para descrever o portão U$ diagonalizador $necessário para expressar a operação como um produto tensor de $Z$ e $1$. Ao ser capaz de especificar que você deseja realizar uma dessas medidas predefinidas, você não precisa se preocupar em como transformar sua base de modo que uma medida de base computacional forneça as informações necessárias. Q# manipula todas as transformações de base necessárias automaticamente para você.

O teorema Sem Clonagem

As informações quantum são poderosas. Ele permite que você faça coisas incríveis, como números de fator exponencialmente mais rápidos do que os algoritmos clássicos mais conhecidos, ou simule com eficiência sistemas de elétrons correlacionados que exigem custo exponencial para simular com precisão. No entanto, há limitações ao poder da computação quântica. Uma delas é fornecida pelo teorema Sem Clonagem.

O teorema Sem Clonagem tem um nome inadequado. Ele não permite a clonagem de estados quantum genéricos por um computador quantum. A prova do teorema é bastante simples. Embora uma prova completa do teorema sem clonagem seja muito técnica para este artigo, a prova no caso de nenhum qubit auxiliar adicional está dentro do escopo.

Para esse computador quântico, a operação de clonagem deve ser descrita com uma matriz unitária. A medição quântica não é permitida, pois corromperia o estado quântico a ser clonado. Para simular a operação de clonagem, é necessário que a matriz unitária usada tenha a propriedade de $$ U \ket{\psi}\ket{{0}=\ket{\psi}\ket{\psi}$$ para qualquer estado $\ket{\psi}$. Em seguida, a propriedade linear da multiplicação de matriz implica que, para qualquer segundo estado quantum $\ket{\phi}$,

$$\begin{\begin{align}U \left[ \frac{{1}{\sqrt{{2}}\left(\ket{\phi}+\ket{\psi}\right) \right] \ket{{0}& =\frac{1}{\sqrt{2}} U\ket{\phi}\ket{{0} + \frac{1}{\sqrt{{2}} U\ket{\psi}\ket{0}\\& =\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \ket{\phi}\ket{\phi} + \ket{\psi}\ket{\psi}\right) \\& \ne\left( \frac{{2}}\left{1}{\sqrt{(\ket{\phi}+\ket{\psi}\right) \right) \otimes\left( \frac{1}{\sqrt{{2}}\left(\ket{\phi}+\ket{\psi}\right) \right). \end{align} $$

Isso fornece a intuição fundamental por trás do teorema Sem Clonagem: qualquer dispositivo que copia um estado quantum desconhecido deve induzir erros em pelo menos alguns dos estados que ele copia. Embora a principal suposição de que o clonador atue linearmente no estado de entrada possa ser violada por meio da adição e da medição do qubits auxiliar, essas interações também vazam informações sobre o sistema por meio de estatísticas de medição e impedem a clonagem exata nesses casos.

O teorema Sem clonagem é importante para uma compreensão qualitativa da computação quântica porque, se você puder clonar os estados quantum de modo não dispendioso, terá uma capacidade quase mágica de aprender com os estados quantum. Na verdade, você poderia violar o louvado princípio de incerteza de Heisenberg. Como alternativa, você pode usar um clonador ideal para pegar uma amostra de uma distribuição do quantum complexa e aprender tudo o que puder sobre essa distribuição de apenas uma amostra. Isso seria como você jogando uma moeda e observando cabeças e, em seguida, ao contar a um amigo sobre o resultado tê-los responder &aspas; Ah a distribuição dessa moeda deve ser Bernoulli com $p=0,512643\ldots$!&Quot; Tal instrução seria sem sentido porque um bit de informação (o resultado da cabeça) simplesmente não pode fornecer os muitos bits de informações necessários para codificar a distribuição sem informações anteriores substanciais. Da mesma forma, sem informações anteriores, não podemos clonar perfeitamente um estado quantum, da mesma forma que não podemos preparar um conjunto dessas moedas sem saber $p$.

As informações não são gratuitas na computação quântica. Cada qubit medido fornece um bit de informação e o teorema Sem Clonagem teorema mostra que não há nenhuma backdoor que possa ser explorada para contornar os prós e contras fundamentais entre as informações obtidas sobre o sistema e o distúrbio invocado sobre ele.

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