Álgebra linear para computação quântica

  • Artigo

A álgebra linear é a linguagem da computação quântica. Embora você não precise conhecê-la para implementar ou escrever programas quânticos, ela é amplamente usada para descrever os estados de qubits e as operações quânticas, além de prever o que um computador quântico faz em resposta a uma sequência de instruções.

Assim como a familiaridade com os conceitos básicos de física quântica pode ajudar você a entender a computação quântica, um conhecimento básico de álgebra linear pode ajudar você a entender como funcionam os algoritmos quânticos. No mínimo, o ideal é estar familiarizado com os vetores e a multiplicação de matrizes. Caso você precise relembrar esses conceitos de álgebra, estes são alguns tutoriais que abordam os princípios básicos:

Vetores e matrizes na computação quântica

Um qubit pode estar em um estado de 1 ou 0, uma sobreposição ou ambos. Usando álgebra linear, o estado de um qubit é descrito como um vetor e é representado por uma única matriz$\begin{bmatrix} de coluna a \\ b \end{bmatrix}$. Ele também é conhecido como um vetor de estado quântico e deve atender ao requisito de que $|a|^2 + |b|^2 = 1$.

Os elementos da matriz representam a probabilidade do qubit entrar em colapso de uma forma ou de outra, com $|a|^2$ sendo a probabilidade de recolher para zero e $|b|^2$ sendo a probabilidade de recolhimento para um. Todas as seguintes matrizes representam vetores de estado quântico válidos:

$$\begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix},{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}\frac{{1}{\sqrt{2}}\\\end{bmatrix}\frac{ ,\\\frac{{-1}{\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{\begin{bmatrix}\text{\end{bmatrix}{2}} e{2}}}\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{\frac{\\ -i.$$}{\sqrt{2}}\end{bmatrix} As operações quânticas também podem ser representadas por uma matriz. Quando uma operação quântica é aplicada a um qubit, as duas matrizes que os representam são multiplicadas e a resposta resultante representa o novo estado do qubit após a operação.

Veja a seguir duas operações quânticas comuns representadas com a multiplicação de matrizes.

A X operação é representada pela matriz $Pauli X$,

$$X =0 amp; 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix},&\begin{bmatrix}$$

e é usada para inverter o estado de um qubit de 0 para 1 (ou vice-versa), por exemplo

$$\begin{bmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}=0 \\ 1 .\end{bmatrix}$$

A H operação é representada pela transformação $H$ do Hadamard,

$$H = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1 & 1\\ 1 &-1\end{bmatrix},$$

e coloca um qubit em um estado de superposição no qual ele tem uma probabilidade igual de colapso para uma das formas, conforme mostrado aqui

$$\frac{{1}{\sqrt{{2}}\begin{bmatrix}1 & 1\\ 1 &-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}.$$

Observe que $|a|^2 =|b|^2 =\frac{1}{2}$, o que significa que a probabilidade de recolhimento para zero e um estado é a mesma.

Uma matriz que representa uma operação quântica tem um requisito: ela precisa ser uma matriz unitária. Uma matriz será unitária se o inverso da matriz for igual ao conjugado transposto da matriz.

Como representar os estados de dois qubits

Nos exemplos acima, o estado de um qubit foi descrito usando uma matriz de coluna $\begin{bmatrix} única a \\ b \end{bmatrix}$e a aplicação de uma operação a ela foi descrita multiplicando as duas matrizes. No entanto, os computadores quânticos usam mais de um qubit, portanto, como você descreve o estado combinado de dois qubits?

Observação

O poder real da computação quântica vem do aproveitamento de vários qubits para executar cálculos. Para obter um aprofundamento sobre este tópico, consulte Operações em vários qubits.

Lembre-se de que cada qubit é um espaço vetorial, portanto, eles não podem apenas ser multiplicados. Em vez disso, você usa um produto tensor, que é uma operação relacionada que cria um novo espaço de vetor de espaços vetoriais individuais e é representado pelo $\otimes$ símbolo. Por exemplo, o produto tensor de dois estados $\begin{bmatrix} qubit a \\ b \end{bmatrix}$ e $\begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix}$ é calculado

$$\begin{bmatrix}a \\ b \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\otimesc \\ d a \begin{bmatrix}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix}\\ b \begin{bmatrix}c d \\ ac \\ ad \\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\end{bmatrix}bc \\ bd .\end{bmatrix} $$

O resultado é uma matriz de quatro dimensões, com cada elemento representando uma probabilidade. Por exemplo, $ac$ é a probabilidade dos dois qubits recolherem para 0 e 0, $ad$ é a probabilidade de 0 e 1 e assim por diante.

Assim como um único estado $\begin{bmatrix} de qubit a \\ b \end{bmatrix}$ deve atender ao requisito de que $|a|^2 + |b|^2 = 1$ para representar um estado quântico, um estado $\begin{bmatrix} de dois qubits ac \\ ad \\ bc \\ bd \end{bmatrix}$ deve atender ao requisito de que $|ac|^2 + ad||^2 + |bc|^2+ |bd|^2 = 1$.

Resumo

A álgebra linear é a linguagem padrão para descrever a computação e a física quântica. Embora a biblioteca padrão incluída com a Microsoft Quantum Development Kit ajude você a executar algoritmos quânticos avançados sem se aprofundar na matemática subjacente, entender as noções básicas ajuda você a começar rapidamente e fornecer uma base sólida para se basear.

Próximas etapas