Share via

Conceitos matriciais avançados em computação quântica

  • Artigo

Este artigo explora os conceitos de autovalores, autovetores e exponenciais. Estes conceitos formam um conjunto fundamental de ferramentas matriciais que são usadas para descrever e implementar algoritmos quânticos. Para os conceitos básicos de vetores e matrizes como eles se aplicam à computação quântica, consulte Álgebra linear para computação quântica e Vetores e matrizes.

Autovalores e autovetores

Seja $M$ uma matriz quadrada e $v$ seja um vetor que não seja o vetor de todos os zeros (por exemplo, o vetor com todas as entradas iguais a $0$).

O vetor $v$ é um vetor próprio de $M$ se $Mv = cv$ para algum número $c$. O inteiro $c é o autovalor correspondente ao vetor $próprio v$.$ Em geral, uma matriz $M$ pode transformar um vetor em qualquer outro vetor. No entanto, um vetor próprio é especial porque é deixado inalterado, exceto por ser multiplicado por um número. Note que, se $v$ é um vetor próprio com autovalor $c$, então $av$ também é um vetor próprio (para qualquer a$$) com o mesmo autovalor.

Por exemplo, para a matriz de identidade, cada vetor v$ é um vetor $próprio com autovalor $1$.

Como outro exemplo, considere uma matriz$diagonal D$, que só tem entradas diferentes de zero na diagonal:

$$\begin{bmatrix}&d_1 amp; 0 amp; 0 \\&0 & d_2 & 0 \\ 0 & 0 amp; d_3 &\end{bmatrix}. $$

Os vetores

$$\begin{bmatrix}\\ 1 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ 0 e}\text{\begin{bmatrix}\end{bmatrix}0 \\ 0 1 \\\end{bmatrix}$$

são autovetores desta matriz com autovalores $d_1$, $d_2$ e $d_3$, respetivamente. Se $d_1$, $d_2$ e $d_3$ são números distintos, então esses vetores (e seus múltiplos) são os únicos autovetores da matriz $D$. Em geral, para uma matriz diagonal é fácil ler os autovalores e autovetores. Os autovalores são todos os números que aparecem na diagonal, e seus respetivos autovetores são os vetores unitários com uma entrada igual a $1$ e as entradas restantes iguais a $0$.

Observe no exemplo acima que os autovetores de $D$ formam uma base para $vetores tridimensionais$. Uma base é um conjunto de vetores tal que qualquer vetor pode ser escrito como uma combinação linear deles. Mais explicitamente, $v_1$, $v_2$ e $v_3$ formam uma base se qualquer vetor $v$ pode ser escrito como $v=a_1 v_1 + a_2 v_2 + a_3 v_3$ para alguns números $a_1$, $a_2$ e $a_3$.

Na computação quântica, existem essencialmente apenas duas matrizes que você encontra: Hermitiana e unitária. Lembre-se que uma matriz Hermitiana (também chamada de auto-adjunta) é uma matriz quadrada complexa igual à sua própria transposição conjugada complexa, enquanto uma matriz unitária é uma matriz quadrada complexa cujo inverso é igual ao seu conjugado complexo transposto.

Há um resultado geral conhecido como teorema espectral, que implica o seguinte: para qualquer matriz $Hermitiana ou unitária M$, existe um U$ unitário $tal que $M=U^\dagger D U$ para alguma matriz $diagonal D.$ Além disso, as entradas diagonais de $D$ serão os autovalores de $M$, e as colunas de $U^\dagger$ serão os autovetores correspondentes. Esta fatoração é conhecida como decomposição espectral ou autodecomposição.

Exponenciais matriciais

Uma matriz exponencial também pode ser definida em analogia exata com a função exponencial. A matriz exponencial de uma matriz $A$ pode ser expressa como

$$ e^A=\mathbf{1} + A + \frac{A^2}{2!}+\frac{A^3}{3!}+\cdots$$

Isto é importante porque a evolução do tempo da mecânica quântica é descrita por uma matriz unitária da forma $e^{iB}$ para a matriz $Hermitiana B$. Por esta razão, a realização de exponenciais matriciais é uma parte fundamental da computação quântica e, como tal Q# , oferece rotinas intrínsecas para descrever essas operações. Existem muitas maneiras na prática de calcular uma matriz exponencial em um computador clássico e, em geral, aproximar numericamente tal exponencial é repleto de perigos. Ver Cleve Moler e Charles Van Loan. &citação; Dezanove maneiras duvidosas de calcular o exponencial de uma matriz.&citação; SIAM review 20.4 (1978): 801-836 para mais informações sobre os desafios envolvidos.

A maneira mais fácil de entender como calcular o exponencial de uma matriz é através dos autovalores e autovetores dessa matriz. Especificamente, o teorema espectral discutido acima diz que para cada matriz $Hermitiana ou unitária A$ existe uma matriz $unitária U$ e uma matriz $diagonal D$ tal que $A=U^\dagger D U$. Devido às propriedades da unitaridade, $A^2 = U^\dagger D^2 U$ e similarmente para qualquer potência $p$$A^p = U^\dagger D^p U$. Se substituirmos isto na definição de operador do operador exponencial:

$$ e^A= U^\dagger\left(\mathbf{1} +D +\frac{D^2}{2!}+\cdots\right)U= U^\dagger\begin{bmatrix}\exp(D_{{11}) & 0 &\cdots& \\ 0 0 & \exp(D_{22})&\cdots& \\ 0 \vdots &\vdots &\ddots&\vdots\\ 0& &0 amp;\cdots&\exp(D_{NN}) \end{bmatrix} U. $$

Em outras palavras, se você se transformar para a autobase da matriz $A$, então calcular a matriz exponencial é equivalente a calcular o exponencial ordinário dos autovalores da matriz. Como muitas operações na computação quântica envolvem a realização de exponenciais matriciais, esse truque de se transformar na base própria de uma matriz para simplificar o desempenho exponencial do operador aparece com frequência. É a base por trás de muitos algoritmos quânticos, como os métodos de simulação quântica no estilo Trotter-Suzuki, discutidos mais adiante neste guia.

Outra propriedade útil vale para matrizes involutórias. Uma matriz involutória B$ é ao mesmo tempo unitária e hermética, isto é, $B=B^{-1}=B^\dagger$.$ Então, uma matriz involutória é uma matriz quadrada igual ao seu próprio inverso, $B^2=\mathbf{1}$. Aplicando esta propriedade à expansão acima da matriz exponencial, agrupando os termos B$ e B, e aplicando o\mathbf{1}$$teorema $de Maclaurin às funções cosseno e seno, a identidade

$$e^{iBx}=\mathbf{1} \cos(x)+ iB\sin(x)$$

vale para qualquer valor $real x$. Este truque é especialmente útil porque permite raciocinar sobre as ações que os exponenciais matriciais têm, mesmo que a dimensão de $B$ seja exponencialmente grande, para o caso especial em $que B$ é involutório.

Próximos passos