Однокубитные и многокубитные измерения Паули
По мере работы Q#вы обнаружите, что измерения Паули являются общим типом измерения. Измерения Паули обобщают вычислительные базовые измерения для включения измерений в другие базы и четности между разными кубитами. В таких случаях обычно обсуждаются измерения оператора Паули, который является оператором $X,Y, Z$ или $Z\otimes , X\otimes X, X, X\otimes Y$ и т. д. Основы квантового измерения см. в разделе "Кубит " и "Несколько кубитов".
Обсуждение измерения с точки зрения операторов Паули распространено в подполе квантовой коррекции ошибок.
В руководстве Q# применяются аналогичные обозначения; в этой статье объясняется это альтернативное представление измерений.
Совет
В Q#многокубитных операторах Паули обычно представлены массивами типов Pauli[].
Например, для представления $X \otimes Z \otimes Y$ можно использовать массив [PauliX, PauliZ, PauliY].
Прежде чем перейти к подробному рассмотрению вопроса о том, как представить измерение Паули, полезно подумать о том, какое измерение квантового состояния производит один кубит внутри компьютера для квантовых вычислений. Представьте, что есть $n$-кубитное квантовое состояние; затем измерение одного кубита сразу же исключает половину $2^n$ возможностей состояния. Иными словами, измерение проецирует квантовое состояние на одну из двух половин пространства. Вы можете обобщить то, как вы думаете о измерении, чтобы отразить эту интуицию.
Для краткого определения этих подпространств нужен описательный язык. Одним из способов описания двух подпространств является составление описательной матрицы с двумя уникальными собственными значениями, которые по общему правилу выражаются как $\pm 1$. В качестве простого примера описания подпространств таким образом рассмотрим $Z$:
$$\begin{\begin{align} З &; =\begin{bmatrix} 1 &и 0 0 \\ &а; -1 \end{bmatrix}. \end{align} $$
Прочитав элементы матрицы Паули $Z$ по диагонали, можно увидеть, что $Z$ имеет два собственных вектора $\ket{0}$ и $\ket{1}$, с соответствующими собственными значениями $\pm 1$.
Таким образом, если измерение кубита приводит Zero к возникновению (соответствующего состоянию $\ket{0}$), известно, что состояние кубита равно $+1$ эйгенстату $оператора Z$ .
Аналогичным образом, если результат есть One, известно, что состояние кубита является $-1$ собственный $статистический результат Z$.
Этот процесс на языке измерений Паули называется "измерение Паули $Z$", и он полностью эквивалентен измерению на вычислительной базе.
Любая матрица $2\times 2$, которая является унитарным преобразованием $Z$, также удовлетворяет этим критериям. То есть можно также использовать матрицу $A=U^\dagger Z U$, где $U$ — любая другая унитарная матрица, чтобы создать матрицу, определяющую два результата измерения по собственным векторам $\pm 1$. Нотация измерений Паули ссылается на эту унитарную эквивалентность путем определения измерений $X,Y,Z$ в качестве эквивалентных измерений, которые можно выполнить для получения информации из кубита. Эти измерения предоставляются здесь для удобства.
| Измерение Паули | Унитарное преобразование |
|---|---|
| $Z$ | $\mathbf{1}$ |
| $X$ | $H$ |
| $Y$ | $HS^{\dagger}$ |
То есть, используя этот язык, &кворт; measure $Y$" эквивалентен применению $HS^\dagger$ и затем измерению в вычислительной основе, где S встроенная квантовая операция иногда называется &квотом; phase gate,quot&; и можно имитировать с помощью унитарной матрицы
$$\begin{\begin{align}S =1 amp; 0 0 \\ & i \end{bmatrix}.&\begin{bmatrix} \end{align} $$
Это также эквивалентно применению $HS ^\dagger$ к вектору квантового состояния и последующему измерению $Z$, поэтому следующая операция эквивалентна Measure([PauliY], [q]):
operation MeasureY(qubit : Qubit) : Result {
mutable result = Zero;
within {
Adjoint S(q);
H(q);
} apply {
set result = M(q);
}
return result;
}
Затем правильное состояние обнаруживается путем преобразования обратно в вычислительную базу, которая составляет применение $SH$ к вектору квантового состояния; в фрагменте кода преобразование обратно к вычислительной основе обрабатывается автоматически с использованием within … apply блока.
В Q#результатах---that является классические сведения, извлеченные из взаимодействия с состоянием---is, заданные с использованием Result значения $j \in \{\texttt{Zero}, \texttt{One}\}$ с указанием, является ли результат в $измеренном операторе Паули (-1)^j$ eigenspace оператора Pauli.
Многокубитные измерения
Многокубитные измерения операторов Паули определяются аналогично, как показано далее:
$$ Z Z\otimes =\begin{bmatrix}1 & 0 &амп; 0&амп; 0\\ 0&-1& 0&амп; 0\\ 0&ам; 0&-1& 0\\ 0&ам; 0&амп; 0&амп; 1\end{bmatrix}. $$
Таким образом, тензорное произведение двух $Z$-операторов Паули образует матрицу, состоящую из двух пространств, образуемых собственными значениями $+1$ и $-1$. Как и в однокубитном варианте, оба оператора образуют полупространство, т.е. половина доступного векторного пространства относится к собственному пространству $+1$, а другая половина – собственному пространству $-1$. В целом из определения тензорного произведения легко понять, что любое тензорное произведение $Z$-операторов Паули и идентификаторов также подчиняется этому правилу. Например,
$$\begin{align}Z \otimes=\begin{bmatrix}\mathbf{{1}1 & 0 &&а; 0 а; 0 0 &\\ и 1 &\\ &&&а; 0 а; 0 а; 0 а; 0 а; &\\ -1 &и 0 а; 0 а; 0 а; 0 &&а; -1 .\end{bmatrix} \end{align} $$
Как и раньше, любое унитарное преобразование таких матриц также описывает два полупространства, $помеченных как \pm 1$ собственных значений. Например, $X\otimes X = H\otimes H(Z\otimes Z)H\otimes H$ по идентификатору $Z=HXH$. Как и в случае с одним кубитом, все два кубита Паули-измерения могут быть записаны как $U^\dagger (Z\otimes 1) U$ для $4 4\times$ уунитарных матриц $U$. Преобразования приведены в следующей таблице.
Примечание.
В этой таблице используется swap, $\operatorname{чтобы указать матрицу\operatorname{\begin{align}$$ SWAP}&}$ amp; =\left(матрица 1 а; 0 &&&\\ &&&\\ а; 0 а; 0 а; 0 а; 1 а; 0 0 а; 1 &а; &&\\ 0 а; 0 а; 0 а; 0 а; 0 &&а; 1 \end{матрица}\right) \end{align}$$ используется для имитации внутренней операции.SWAP&}\begin{
| Измерение Паули | Унитарное преобразование |
|---|---|
| $Z\otimes\mathbf{1}$ | $\mathbf{1}\otimes \mathbf{1}$ |
| $X\otimes\mathbf{1}$ | $H\otimes\mathbf{1}$ |
| $Y\otimes\mathbf{1}$ | $HS^\dagger\otimes\mathbf{1}$ |
| $\mathbf{1}\otimes Z$ | $\operatorname{SWAP}$ |
| $\mathbf{1}\otimes X$ | $(H\otimes\mathbf{1})\operatorname{SWAP}$ |
| $\mathbf{1}\otimes Y$ | $(HS^\dagger\otimes\mathbf{1})\operatorname{SWAP}$ |
| $Z\otimes Z$ | $\operatorname{CNOT}_{10}$ |
| $X\otimes Z$ | $\operatorname{CNOT}_{10}(H\otimes\mathbf{1})$ |
| $Y\otimes Z$ | $\operatorname{CNOT}_{10}(HS^\dagger\otimes\mathbf{1})$ |
| $Z\otimes X$ | $\operatorname{CNOT}_{10}(\mathbf{1}\otimes H)$ |
| $X\otimes X$ | $\operatorname{CNOT}_{10}(H\otimes H)$ |
| $Y\otimes X$ | $\operatorname{CNOT}_{10}(HS^\dagger\otimes H)$ |
| $Z\otimes Y$ | $\operatorname{CNOT}_{10}(\mathbf{1}\otimes HS^\dagger)$ |
| $X\otimes Y$ | $\operatorname{CNOT}_{10}(H\otimes HS^\dagger)$ |
| $Y\otimes Y$ | $\operatorname{CNOT}_{10}(HS^\dagger\otimes HS^\dagger)$ |
Здесь операция CNOT отображается по следующей причине.
Каждое измерение Паули, не включающее матрицу$\mathbf{1}$, эквивалентно унитарному $С Z\otimes$ по более ранним причинам.
Собственные значения $Z\otimes Z$ зависят только от четности кубитов, из которых состоит каждый вектор вычислительной базы, а операции контролируемого логического НЕ предназначены для вычисления этой четности и сохранения в первом бите.
После измерения первого бита можно восстановить идентификатор полученного полупространства, что эквивалентно измерению оператора Паули.
Кроме того, хотя это может быть заманчиво предположить, что измерение $Z\otimes$ Z совпадает с последовательным измерением $Z\otimes\mathbb{{1}$, а затем $\mathbb{1}\otimes Z$, это предположение будет ложным. Причина в том, что измерение $Z\otimes Z$ предполагает проецирование квантового состояния на собственное состояние $+1$ или $-1$ этих операторов. Последовательное измерение $Z\otimes \mathbb{1}$ и $\mathbb{1}\otimes Z$ предполагает проецирование вектора квантового состояния сначала на полупространство $Z\otimes\mathbb{{1}$, а затем на полупространство $\mathbb{{1}\otimes Z$. При наличии четырех векторов вычислительной базы выполнение обоих измерений приводит к сокращению состояния до четверти пространства и, следовательно, до одного вектора вычислительной базы.
Корреляции между кубитами
Иной взгляд на измерение тензорных произведений матриц Паули, например $X\otimes X$ или $Z\otimes Z$, заключается в том, что эти измерения позволяют учитывать информацию, хранящуюся в корреляциях между двумя кубитами. Измерение $X\otimes 1$ позволяет просмотреть сведения, которые локально хранятся в первом кубите. Несмотря на то, что оба типа измерений одинаково важны для квантовых вычислений, первый демонстрирует возможности квантовых вычислений. Это означает, что в квантовых вычислениях часто бывает так, что информация, которую необходимо изучить, не хранится в одном кубите, а распределена по всем кубитам, и поэтому только объединенное измерение позволяет получить ее (например, $Z\otimes Z$).
Произвольные операторы Паули, такие как $X\otimes Y \otimes Z \otimes\mathbf{1}$ , также можно измерять. Все такие тензорные произведения операторов Паули имеют только два собственных значения $\pm 1$, и оба собственные значения составляют полупространства всего векторного пространства. Таким образом, они совпадают с требованиями, указанными ранее.
В Q# подобные измерения возвращают $j$, если измерение дает результат в собственном пространстве знака $(-1)^j$. Наличие измерений Паули в Q# качестве встроенной функции полезно, так как для измерения таких операторов требуется длинная цепочка контролируемых не ворот и преобразования основы для описания диагоналиализации $ворот U$ , необходимого для выражения операции в виде тензорного $продукта Z$ и $1$. Благодаря возможности указать на выполнение одного из предварительно заданных измерений, можно не беспокоиться о том, как преобразовать базис таким образом, чтобы измерение вычислительной базы позволяло получить необходимую информацию. Q# автоматически выполняет все необходимые преобразования базиса.
Теорема о запрете клонирования
Квантовая информация открывает большие возможности. Это позволяет выполнять удивительные вещи, такие как числа факторов экспоненциально быстрее, чем самые известные классические алгоритмы, или эффективно имитировать сопоставленные электронные системы, которые классически требуют экспоненциальной стоимости для имитации точно. Однако квантовые вычисления имеют свои ограничения. Одно из таких ограничений описано в теореме о запрете клонирования.
Теорема о запрете клонирования получила удачное название. Она отвергает возможность клонирования общих квантовых состояний с помощью компьютера для квантовых вычислений. Теорема подтверждается удивительно просто. Хотя полное доказательство клонирования теоремы слишком техническо для этой статьи, доказательство в случае отсутствия дополнительных вспомогательных кубитов находится в пределах области.
Для такого квантового компьютера операция клонирования должна быть описана с помощью унитарной матрицы. Квантовые измерения запрещены, поскольку они могут привести к повреждению клонируемого квантового состояния. Для симуляции операции клонирования требуется, чтобы в унитарной матрице использовалось свойство, которое удовлетворяет $$\ket{\psi}\ket{{0}=\ket{\psi}\ket{\psi}$$ для любого состояния $\ket{\psi}$. Далее свойство линейности матричного умножения предполагает, что для любого состояния второго квантования $\ket{\phi}$,
$$\begin{\begin{align}U \left[ \frac{{1}{\sqrt{{2}}\left(\ket{\phi}+\ket{\psi}\right) \right] \ket{{0}& =\frac{1}{\sqrt{2}} U + \frac{1}{\sqrt{{2}} U\ket{\psi}\ket{0}{0}&\\\ket{\phi}\ket{ amp; =\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \ket{\phi}\ket{\phi} + \ket{\psi}\ket{\psi}\right) \\& \ne\left(\frac{{1}{\sqrt{{2}}\left+) \right)\left\otimes ( \frac{1}{\sqrt{{2}}\left(\ket{\phi}\ket{\phi}+). \right\ket{\psi}\right\ket{\psi}\right \end{align} $$
Таким образом, в подтверждение теоремы о запрете клонирования мы можем предположить: любое устройство, которое копирует неизвестное квантовое состояние, должно провоцировать ошибки по крайней мере в некоторых скопированных состояниях. Несмотря на то, что основное предположение о том, что клонирующее устройство линейно воздействует на входное состояние, может быть нарушено в результате добавления и измерения вспомогательных кубитов, такое взаимодействие также приводит к потере информации о системе из-за статистики измерений и предотвращает точное клонирование в таких случаях.
Теорема о запрете клонирования важна для качественного понимания квантовых вычислений, так как если можно было бы экономично клонировать квантовые состояния, то у нас появилась бы почти волшебная возможность получения информации о квантовых состояниях. Действительно, можно было бы нарушать принцип неопределенности Гейзенберга. Кроме того, можно было бы использовать оптимальное устройство клонирования для получения одной выборки из сложного квантового распределения и узнавать все возможное об этом распределении с помощью всего одной выборки. Это будет так, как вы перевернули монету и наблюдая головы, а затем, сказав другу о результате, что они отвечают &кво; распределение этой монеты должно быть Бернулли с $p=0,512643\ldots$!" Такая инструкция будет нечувствительным, так как один бит информации (результат головы) просто не может предоставить множество битов информации, необходимой для кодирования распределения без существенной предварительной информации. Так же без предварительной информации невозможно точно клонировать квантовое состояние, так как невозможно подготовить комплект таких монет, не зная $p$.
В квантовых вычислениях нет свободной информации. Каждый измеренный кубит дает один бит информации, а согласно теореме о запрете клонирования, нет никакого черного хода для обхода фундаментального соотношения между полученной информацией о системе и возникающими в ней нарушениями.