Поделиться через

Однокубитные и многокубитные измерения Паули

По мере работы с Q# вы обнаружите, что измерения Паули являются распространённым типом измерений. Измерения Паули обобщают измерения в вычислительной базе для учета измерений в других базах и четности между разными кубитами. В таких случаях обычно обсуждаются измерения оператора Паули, который является оператором, таким как $X,Y,Z$ или $Z\otimes Z, X\otimes X, X\otimes Y$и т. д. Основы квантового измерения см. в разделе "Кубит " и "Несколько кубитов".

Обсуждение измерения с точки зрения операторов Паули распространено в подполе квантовой коррекции ошибок.
В руководстве Q# применяются аналогичные обозначения; в этой статье объясняется это альтернативное представление измерений.

Совет

В Q# многокубитных операторах Паули обычно представлены массивами типа Pauli[]. Например, для представления $X \otimes Z \otimes Y$ можно использовать массив [PauliX, PauliZ, PauliY].

Прежде чем углубиться в детали о том, как думать об измерении Паули, полезно подумать о том, что измерение одного кубита внутри квантового компьютера делает с квантовым состоянием. Представьте, что есть $n$-кубитное квантовое состояние; затем измерение одного кубита сразу же исключает половину $2^n$ возможностей состояния. Иными словами, измерение проецирует квантовое состояние на одну из двух половин пространства. Вы можете обобщить то, как вы думаете о измерении, чтобы отразить эту интуицию.

Для краткого определения этих подпространств нужен описательный язык. Одним из способов описания двух подпространств является составление описательной матрицы с двумя уникальными собственными значениями, которые по общему правилу выражаются как $\pm 1$. В качестве простого примера описания подпространств таким образом рассмотрим $Z$:

$$ \begin{ \begin{align} З &и =\begin{bmatrix} 1 &и 0 0 \\&и -1 \end{bmatrix}. \end{align} $$

При чтении диагональных элементов матрицы Паули-$Z$ можно увидеть, что матрица $Z$ имеет два собственных вектора, $\ket{0}$ и $\ket{1}$, с соответствующими собственными значениями $\pm 1$. Таким образом, если измерение кубита приводит к Zero (соответствующему состоянию $\ket{0}$), известно, что состояние кубита является собственным состоянием оператора $Z$ с $+1$. Аналогичным образом, если результат One, известно, что состояние кубита является собственным вектором $-1$ оператора $Z$. Этот процесс на языке измерений Паули называется "измерение Паули &Z$", и он полностью эквивалентен измерению на вычислительной базе.

Любая матрица $2\times 2$, которая является унитарным преобразованием $Z$, также удовлетворяет этим критериям. То есть, можно также использовать матрицу $A=U^\dagger Z U$, где $U$ является любой другой унитарной матрицей, чтобы получить матрицу, которая определяет два результата измерения в ее собственных векторах $\pm 1$. Нотация измерений Паули ссылается на эту унитарную эквивалентность, определив $X,Y,Z$ измерения в качестве эквивалентных измерений, которые можно сделать для получения информации из кубита. Эти измерения предоставляются здесь для удобства.

Измерение Паули Унитарное преобразование
$Z$ $\mathbf{1}$
$X$ $H$
$Y$ $HS^{\dagger}$

То есть, используя этот язык, &«измерение $Y$&» эквивалентно применению $HS^\dagger$ и затем измерению в вычислительной основе, где S это внутренняя квантовая операция, иногда называемая &«фазовый вентиль&», и её можно имитировать с помощью унитарной матрицы.

$$ \begin{ \begin{align} S =\begin{bmatrix} 1 & 0 0 \\amp; i &\end{bmatrix}. \end{align} $$

Это также эквивалентно применению $HS^\dagger$ к вектору квантового состояния, а затем измерению $Z$, таким образом, что следующая операция эквивалентна Measure([PauliY], [q]):

operation MeasureY(qubit : Qubit) : Result {
    mutable result = Zero;
    within {
        Adjoint S(q);
        H(q);
    } apply {
        result = M(q);
    }
    return result;
}

Затем правильное состояние обнаруживается путем преобразования обратно в вычислительную базу, что эквивалентно применению $SH$ к вектору квантового состояния; в фрагменте кода преобразование обратно к вычислительной основе автоматически осуществляется с помощью блока within … apply.

В Q# результате, то есть классическая информация, извлеченная из взаимодействия с состоянием, передаются с помощью Result значения $j \in \{\texttt{Zero}, \texttt{One}\}$, указывая, находится ли результат в собственном пространстве оператора Паули, измеренное Паули (-1)^j$.

Многокубитные измерения

Многокубитные измерения операторов Паули определяются аналогично, как показано далее:

$$ Z Z\otimes=\begin{bmatrix}1 &амп;0 &амп;0&амп;0\\ 0&амп;-1&амп;0&амп;0\\ 0&амп;0&амп;-1&амп;0\\ 0&амп;0&амп;0&амп;1\end{bmatrix}. $$

Таким образом, тензорное произведение двух $Z$-операторов Паули образует матрицу, состоящую из двух пространств, образуемых собственными значениями $+1$ и $-1$. Как и в случае с одним кубитом, оба представляют собой полупространство, то есть половина доступного векторного пространства принадлежит $+1$ собственному пространству, а оставшаяся половина - $-1$ собственному пространству. В общем случае, легко увидеть из определения тензорного произведения, что любое тензорное произведение операторов Паули-$Z$ и единичного оператора также подчиняется этому. Например,

$$ \begin{align}Z \otimes\mathbf{{1}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}. \end{align} $$

Как и раньше, любое унитарное преобразование таких матриц также описывает два полупространства, помеченных $как собственные значения \pm 1$. Например, $X\otimes X = H\otimes H(Z\otimes Z)H\otimes H$ по идентификатору $Z=HXH$. Как и в случае с одним кубитом, все двухкубитные Поли-измерения можно записать в виде $U^\dagger (Z\otimes 1) U$ для $4\times 4$ унитарных матриц $U$. Преобразования приведены в следующей таблице.

Примечание.

В этой таблице используется $\operatorname{SWAP}$ для указания матрицы $$\begin{align}\operatorname{SWAP}& и =\left(\begin{матрица} 1 &и 0 &и 0 &и 0 \\ 0 &и 0 &и 1 &и 0 \\ 0 &и 1 &и 0 &и 0 \\ 0 &и 0 &и 0 &и 1 \end{матрица}\right) \end{align}$$ используется для моделирования внутренней операции SWAP.

Измерение Паули Унитарное преобразование
$Z\otimes\mathbf{1}$ $\mathbf{1}\otimes \mathbf{1}$
$X\otimes\mathbf{1}$ $H\otimes\mathbf{1}$
$Y\otimes\mathbf{1}$ $HS^\dagger\otimes\mathbf{1}$
$\mathbf{1} \otimes Z$ $\operatorname{SWAP}$
$\mathbf{1} \otimes X$ $(H\otimes\mathbf{1})\operatorname{SWAP}$
$\mathbf{1} \otimes Y$ $(HS^\dagger\otimes\mathbf{1})\operatorname{SWAP}$
$Z\otimes Z$ $\operatorname{CNOT}_{10}$
$X\otimes Z$ $\operatorname{CNOT}_{10}(H\otimes\mathbf{1})$
$Y\otimes Z$ $\operatorname{CNOT}_{10}(HS^\dagger\otimes\mathbf{1})$
$Z\otimes X$ $\operatorname{CNOT}_{10}(\mathbf{1}\otimes H)$
$X\otimes X$ $\operatorname{CNOT}_{10}(H\otimes H)$
$Y\otimes X$ $\operatorname{CNOT}_{10}(HS^\dagger\otimes H)$
$Z\otimes Y$ $\operatorname{CNOT}_{10}(\mathbf{1}\otimes HS^\dagger)$
$X\otimes Y$ $\operatorname{CNOT}_{10}(H\otimes HS^\dagger)$
$Y\otimes Y$ $\operatorname{CNOT}_{10}(HS^\dagger\otimes HS^\dagger)$

Здесь операция CNOT отображается по следующей причине. Каждое измерение Паули, которое не включает матрицу $\mathbf{1}$, эквивалентно единице $Z\otimes Z$ по более ранним причинам. Собственные значения $Z\otimes Z$ зависят только от четности кубитов, из которых состоит каждый вектор вычислительной базы, а операции контроль-не предназначены для вычисления этой четности и сохранения в первом бите. Затем, после измерения первого бита, можно восстановить тождество результирующего полупространства, что эквивалентно измерению оператора Паули.

Кроме того, хотя это может быть заманчиво предположить, что измерение $Z\otimes Z$ совпадает с последовательным измерением $Z\otimes\mathbb{{1}$, а затем $\mathbb{1}\otimes Z$, это предположение будет ложным. Причина в том, что измерение $Z\otimes Z$ предполагает проецирование квантового состояния на собственное состояние $+1$ или $-1$ этих операторов. Последовательное измерение $Z\otimes\mathbb{1}$ и $\mathbb{1}\otimes Z$ предполагает проецирование вектора квантового состояния сначала на полупространство $Z\otimes\mathbb{{1}$, а затем на полупространство $\mathbb{{1}\otimes Z$. При наличии четырех векторов вычислительной базы выполнение обоих измерений приводит к сокращению состояния до четверти пространства и, следовательно, до одного вектора вычислительной базы.

Корреляции между кубитами

Другой способ измерения тензорных продуктов матриц Паули, например $X\otimes X$ или $Z\otimes Z$, заключается в том, что эти измерения позволяют исследовать информацию, хранящуюся в корреляциях между двумя кубитами. Измерение $X\otimes 1$ позволяет просмотреть сведения, которые локально хранятся в первом кубите. Несмотря на то, что оба типа измерений одинаково важны для квантовых вычислений, первый демонстрирует возможности квантовых вычислений. Он показывает, что в квантовых вычислениях информация, которую вы хотите узнать, часто не хранится в одном кубите, а хранится нелокально во всех кубитах одновременно, и, следовательно, только при совместном измерении (например, $Z\otimes Z$) эта информация становится явной.

Произвольные операторы Паули, такие как $X\otimes Y \otimes Z \otimes\mathbf{1}$ , также можно измерять. Все такие тензорные произведения операторов Паули имеют только два собственных значения $\pm 1$, и оба собственные значения составляют полупространства всего векторного пространства. Таким образом, они совпадают с требованиями, указанными ранее.

В Q# подобные измерения возвращают $j$, если измерение дает результат в собственном пространстве знака $(-1)^j$. Наличие измерений Паули в Q# качестве встроенной функции полезно, так как для измерения таких операторов требуется длинная цепочка контролируемых НЕ-гейтов и преобразования основ для описания диагонализирующего гейта $U$, необходимого для выражения операции в виде тензорного произведения из $Z$ и $1$. Благодаря возможности указать на выполнение одного из предварительно заданных измерений, можно не беспокоиться о том, как преобразовать базис таким образом, чтобы измерение вычислительной базы позволяло получить необходимую информацию. Q# автоматически выполняет все необходимые преобразования базиса.

Теорема о запрете клонирования

Квантовая информация открывает большие возможности. Это позволяет выполнять удивительные вещи, такие как разложение чисел на множители экспоненциально быстрее, чем самые лучшие классические алгоритмы, или эффективно моделировать коррелированные электронные системы, которые в классическом понимании требуют экспоненциальных затрат для точного моделирования. Однако квантовые вычисления имеют свои ограничения. Одно из таких ограничений описано в теореме о запрете клонирования.

Теорема о запрете клонирования получила удачное название. Она отвергает возможность клонирования общих квантовых состояний с помощью компьютера для квантовых вычислений. Теорема подтверждается удивительно просто. Хотя полное доказательство теоремы о невозможности клонирования слишком техническое для этой статьи, доказательство в случае отсутствия дополнительных вспомогательных кубитов находится в рамках данной статьи.

Для такого квантового компьютера операция клонирования должна быть описана с помощью унитарной матрицы. Квантовые измерения запрещены, поскольку они могут привести к повреждению клонируемого квантового состояния. Для симуляции операции клонирования унитарная матрица должна иметь свойство, которое удовлетворяет $$\ket{\psi}\ket{{0}=\ket{\psi}\ket{\psi}$$ для любого состояния $\ket{\psi}$. Далее свойство линейности матричного умножения предполагает, что для любого второго квантового состояния $\ket{\phi}$,

$$ \begin{ \begin{align} U \left [ \frac{{1}{\sqrt{{2}}\left(\ket{\phi}+\ket{\psi}\right) \right ] \ket{{0}& =\frac{1}{\sqrt{2}} U \ket{\phi}\ket{{0} + \frac{1}{\sqrt{{2}} U \ket{\psi}\ket{0}\\& =\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \ket{\phi}\ket{\phi} + \ket{\psi}\ket{\psi}\right) \\& \ne\left( \frac{{1}{\sqrt{{2}}\left(\ket{\phi}+\ket{\psi}\right) \right ) \otimes\left( \frac{1}{\sqrt{{2}}\left(\ket{\phi}+\ket{\psi}\right) \right). \end{align} $$

Таким образом, в подтверждение теоремы о запрете клонирования мы можем предположить: любое устройство, которое копирует неизвестное квантовое состояние, должно провоцировать ошибки по крайней мере в некоторых скопированных состояниях. Несмотря на то, что основное предположение о том, что клонирующее устройство линейно воздействует на входное состояние, может быть нарушено в результате добавления и измерения вспомогательных кубитов, такое взаимодействие также приводит к потере информации о системе из-за статистики измерений и предотвращает точное клонирование в таких случаях.

Теорема о запрете клонирования важна для качественного понимания квантовых вычислений, так как если можно было бы экономично клонировать квантовые состояния, то у нас появилась бы почти волшебная возможность получения информации о квантовых состояниях. Действительно, можно было бы нарушать принцип неопределенности Гейзенберга. Кроме того, можно было бы использовать оптимальное устройство клонирования для получения одной выборки из сложного квантового распределения и узнавать все возможное об этом распределении с помощью всего одной выборки. Это будет так, как вы перевернули монету и наблюдая головы, а затем, сказав другу о результате, что они отвечают &кво; распределение этой монеты должно быть Бернулли с $p=0,512643\ldots$!&кво; Такая инструкция будет нечувствительным, так как один бит информации (результат головы) просто не может предоставить много битов информации, необходимой для кодирования распределения без существенной предварительной информации. Аналогичным образом, без предварительной информации вы не можете точно клонировать квантовое состояние, подобно тому, как вы не можете подготовить ансамбль таких монет, не зная $p$.

Информация не является бесплатной в квантовых вычислениях. Измерение каждого кубита дает один бит информации, и теорема No-Cloning показывает, что нет лазейки, которую можно использовать для обхода фундаментального компромисса между информацией, полученной о системе, и нарушением, вызванным этим.

Связанный контент