Aracılığıyla paylaş

Kuantum bilişiminde vektörler ve matrislerle çalışma

  • Makale

Kuantum bilişimini anlamak için vektörler ve matrisler hakkında bazı bilgiler gereklidir. Kuantum bilişimi için doğrusal cebir makalesi kısa bir yenileme sağlar ve daha derine inmek isteyen okuyucuların Strang, G. (1993) gibi doğrusal cebirle ilgili standart bir başvuruyu okumaları önerilir. Doğrusal cebirlere giriş (Cilt 3). Wellesley, MA: Wellesley-Cambridge Press veya Doğrusal Cebir gibi bir çevrimiçi başvuru.

Vektör

Boyut (veya boyut) n sütun vektör (veya yalnızca vektör) $$v$$, sütun olarak düzenlenmiş n$ karmaşık sayı $(v_1,v_2,\ldots,v_n)$ koleksiyonudur:$

$$v=\begin{bmatrix}\\\vdots\\ v_n v_2\\ v_1\end{bmatrix}$$

Vektör $v normu _i v_i||^2}$ olarak $\sqrt{\sum$ tanımlanır. Bir vektör, 1$ ise birim normu (veya alternatif olarak birim vektör olarak adlandırılır) olduğu $söylenir. Bir vektör$v'nin$$bitişiklik değeri v^\dagger$ olarak belirtilir ve *$ karmaşık eşlemini gösterdiği aşağıdaki satır vektörleri $olarak tanımlanır.

$$\begin{bmatrix}\\ v_1 \vdots \\ v_n \end{bmatrix}^\dagger=\begin{bmatrix}v_1^* & \cdots&Amp; v_n^*\end{bmatrix}$$

Sütun vektör v ile satır $vektör $v$^\dagger$ arasında ayrım olduğuna dikkat edin.

İç ürün

noktalı ürün veya skaler ürün olarak da bilinen iç ürün aracılığıyla iki vektör birlikte çarpılabilir. Adından da anlaşılacağı gibi, iki vektörünün iç çarpımının sonucu bir skalerdir. İç ürün, bir vektörünün başka bir vektöre yansıtılma şeklini verir ve bir vektörünün diğer basit vektörlerin toplamı olarak nasıl ifade edilesini açıklama açısından çok değerlidir. u$=(u_1 , u_2 , \ldots , u_n)$ ve $v=(v_1 , v_2 , \ldots , v_n)$ arasındaki iç ürün, $\left\langle u, v\right\rangle$ olarak tanımlanır

$$\left\langleu, v\right\rangle= u^\dagger v=\begin{bmatrix}u_1^* & \cdots&Amp; u_n^* \end{bmatrix}\begin{bmatrix}v_1\\ \vdots\\ v_n u_1=\end{bmatrix}^{*} v_1 + + \cdots _n^{*} v_n. $$

Bu gösterimi ayrıca bir vektör $v normunun v, v$\rangle}$ olarak $\sqrt{\langle yazılmasını sağlar.

Girdileri c ile çarpılan yeni bir vektör oluşturmak için bir vektör c$$ sayısıyla $çarpılabilir$. Girdileri u ve v girdilerinin $$toplamı olan yeni bir vektör oluşturmak için u$ ve $v$ olmak üzere iki vektör de ekleyebilirsiniz.$$$ Bu işlemler şunlardır:

$$\mathrm{u u_1 u_2 \vdots\\ u_n \end{bmatrix}~\mathrm{ve}~ v =\begin{bmatrix} v_1\\ v_2\\ \vdots\\ v_n,au}~\end{bmatrix}~\mathrm{+bv =\begin{bmatrix} au_1+bv_1\\ au_2+bv_2\\ \vdots\\ au_n+bv_n.\end{bmatrix}\\\\=\begin{bmatrix}}~ $$

m \times n$ boyutu $matrisi, aşağıda gösterildiği gibi mn satır ve $n$ sütun şeklinde $düzenlenmiş mn$$ karmaşık sayılarından oluşan $bir koleksiyondur:

$M =\begin{bmatrix} M_{{11}~~ M_ M_~~{{12}\cdots~~1n}\\ M_ M_{21}{~~ M_~~{{22}~~\cdots2n\ddots\\}\\ M_{{m1}~~ M_{m2~~\cdots}~~ M_{mn.}\\\end{bmatrix}$

N boyutunun $vektörünün yalnızca n \times boyutu $1$ olan bir matris olduğunu$ unutmayın. Vektörlerde olduğu gibi, her girişin c$ ile çarpıldığı yeni bir matris elde etmek için bir matris c$ sayısıyla $$çarpılabilir ve girişleri iki matrisin ilgili girişlerinin toplamı olan yeni bir matris oluşturmak için aynı boyutta iki matris eklenebilir.

Matris çarpımı

Ayrıca, m p boyutunun m n ve N boyutunun M matrisini $$ de çarparak m p$ boyutunun\times$\times$yeni bir matris $P'sini \times$$$ aşağıdaki gibi alabilirsiniz:$$$

$$\begin{\begin{align}&Amp;\begin{bmatrix} M_ M_ M_~~\cdots~~{12}{1n}\\ M_ M_{~~{21} M_~~{~~\cdots{22}{2n\ddots\\}\\ M_{m1}~~ M_{m2\cdots}~~~~ M_{mn\begin{bmatrix}\end{bmatrix}} N_~~{11} N_ N_~~{\cdots~~{{12}1p}\\ N_ N_{{21}{22}\cdots~~~~~~ N_{2p}\\\ddots\\ N_{n1}~~ N_n2~~~~\cdots} N_{{np}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} P_ P_{11}{~~{{11}~~{12}~~\cdots~~{P_1p}\\ P_{~~{21} P_ P_\cdots{{22}~~{~~2p}\\\ddots\\ P_{m1}~~ P_{m2~~\cdots}~~ P_mp{}\end{bmatrix}\end{align}$$

burada P$$girdileri $P_{ik=\sum}_j M_{ij}N_{jk'dir}$. Örneğin, giriş P_ ilk M$ satırının $ilk sütunu N$ olan iç ürünüdür$.{11}$$ Vektör yalnızca matrisin özel bir durumu olduğundan, bu tanımın matris vektör çarpmasına kadar genişlediğini unutmayın.

Düşündüğümüz tüm matrisler, satır ve sütun sayısının eşit olduğu kare matrisler veya yalnızca $1$ sütuna karşılık gelen vektörler olacaktır. Özel bir kare matris, tüm çapraz öğelerinin 1'e$,\mathbb{I}$$\mathbb{ kalan öğelerinin ise 0'a$$$ eşit olduğu belirtilen kimlik matrisidir:

$\mathbb{\mathbb{I}=\begin{bmatrix}1 ~~ 0 0 ~~\cdots~~\\ 0 ~~ 1~~~~\cdots0\ddots\\\\~~ 0 ~~ 0\cdots~~~~ 1 .\end{bmatrix}$

A kare matrisi $için, B$ matrisi $AB = BA\mathbb{I}$\mathbb{= ise $onun tersidir.$ Matrisin tersi mevcut değildir, ancak var olduğunda benzersizdir ve biz bunu $A^{-1}$ olarak belirtiriz.

Herhangi bir M matrisi $için M'nin $$ bitişik veya eşlemli çevirisi, N_ij}= M_{{ji}^*$ olacak $şekilde bir N$ matrisidir.$$ M'nin bitişik olması $genellikle M^\dagger$ olarak belirtilir$.$ UU^ U^ U veya eşdeğeri, U^=={-1}{\dagger U=\mathbb{I}$^\dagger ise$, $bir matris $U\dagger$ birimidir.$ Ünite matrislerinin önemli bir özelliği, vektör normunu korumalarıdır. Bunun nedeni

$\langlev,v\rangle=^\dagger v v=^ U^\dagger{-1} U v v=^ U^\dagger\dagger U v=\langle, U v.\rangle$

M^ ise\dagger$$= M matrisi $Hermitian olarak ifade edilir.$

Tensor ürünü

Bir diğer önemli işlem de matris doğrudan ürünü veya tensor ürünü olarak da adlandırılan Kronecker ürünüdür. Kronecker ürününün matris çarpmasından ayırt edilerek tamamen farklı bir işlem olduğunu unutmayın. Kuantum bilişim teorisinde kronecker ürününü belirtmek için tensor ürünü yaygın olarak kullanılır.

v a b \end{bmatrix}$ ve $u =\begin{bmatrix} c \\ d \\ e \end{bmatrix}$iki vektörü $=\begin{bmatrix}\\ düşünün. Tensor ürünleri v \otimes u$ olarak $belirtilir ve bir blok matrisi ile sonuçlanır.

$$\begin{bmatrix}a \\ b \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\otimesc d \\\\ e \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\begin{bmatrix}=a c \\ d \\ e \end{bmatrix}\\[1.5em] b \begin{bmatrix} c \\ d \\ e a\end{bmatrix}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}= c a \\ d a e \\ b \\ c \\ b d be \\\end{bmatrix}$$

Tensor ürününün rastgele boyutta iki matris veya vektör üzerinde yapılan bir işlem olduğuna dikkat edin. M boyutu m\times n$ ve $N$ boyutu $p \times q$ olan iki matrisin$$tensor ürünü, mp \times nq$ boyutunun $P=M\otimes N$ boyutunda $daha büyük bir matristir $ve M$ ve $N'den $$ aşağıdaki gibi elde edilir:

$$\begin{align}M \otimes N &=\begin{bmatrix}{~~~~\cdots{11}M_ M_{1n\ddots\\}\\ M_{m1~~~~}\cdots M_{mn}\end{bmatrix}\otimes\begin{bmatrix} N_ N_{11}{{~~\cdots~~1q}\\\ddots\\ N_{p1~~}\cdots~~ N_{pq\end{bmatrix}\\&}amp;=\begin{bmatrix} M_ N_ N_1q\ddots\\}\\{ N_{11}~~{{\cdots~~p1\cdots}~~~~ N_pq\cdots\end{bmatrix}~~}~~ M_{{1n}\begin{bmatrix} N_ N_1q{\ddots\\}\\ N_\cdots~~{~~{11}p1 N_pq{\ddots\\\end{bmatrix}\\} M_{m1\begin{bmatrix}}~~\cdots}~~ N_ N_{11}~~~~{\cdots{1q}\\\ddots\\ N_{p1~~\cdots}~~ N_{pq}\end{bmatrix}~~~~\cdots M_{mn N_}\begin{bmatrix}{{11}\begin{bmatrix}{{11}~~\cdots~~{N_1q}\\\ddots\\ N_{p1\cdots}~~~~ N_{pq.}\end{bmatrix}\end{bmatrix} \end{align} $$

Bu, bir örnekle daha iyi gösterilmiştir: $$a\ b \\ c\ d\otimes\begin{bmatrix}\end{bmatrix}e\ f\\ g\ h\begin{bmatrix}\end{bmatrix}=a\begin{bmatrix} e\ f\\ g\ h \end{bmatrix} e\begin{bmatrix}\ f\\ g\ h \end{bmatrix}\\[1em] c\begin{bmatrix} e\ f\\ g\ h \end{bmatrix} d\begin{bmatrix} e\ f\\ g\ h\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\end{bmatrix}=ae\ af\ be\ bf \\ ag\ ah\ bg\ bh \\ ce\ cf\ de\ df \\ cg\ ch\ dg\ dh .\end{bmatrix}\begin{bmatrix} $$

Tensor ürünlerini çevreleyen son yararlı bir durumsal kural, herhangi bir vektör $v$ veya matris $M$ için $v^{\otimes n}$ veya $M^{\otimes n'nin}$ n$ katlanmış yinelenen tensor ürünü için $kısa el olmasıdır. Örneğin:

\begin{align}&Amp;\begin{bmatrix} 1 0 ^ 1 1=}\begin{bmatrix}\\ 0 \end{bmatrix}, \qquad\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}^{\otimes 2\begin{bmatrix}}= 1 \\ 0 \\0\\\end{bmatrix}, \qquad\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}^{\otimes 2}\begin{bmatrix}= 1 \\ -1 \\-1 \\1 \end{bmatrix},&\\ amp;\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1& 0 \end{bmatrix}^{\otimes 1\begin{bmatrix}}= 0& 1 \\ 1& 0 , \qquad\begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix}& 1 1 \\& 0 \end{bmatrix}^{\otimes 2\begin{bmatrix}}= 0 &{\otimes\end{bmatrix}\\ 0& 0& 1 \\ 0 & 0& 1& 0 \\ 0 & 1& 0& 0\\ 1 & 0& 0& 0.\end{bmatrix} \end{align}

Sonraki Adımlar