Aracılığıyla paylaş

Kuantum bilişiminde vektörler ve matrisler

Doğrusal cebir hakkında bilgi sahibi olmak, kuantum bilişimini anlamak için gereklidir. Bu makalede doğrusal cebir ile ilgili temel kavramlar ve kuantum bilişiminde vektörler ve matrislerle nasıl çalışılması anlatmaktadır.

Vektör

Boyutu (veya büyüklüğü) n olan, kısa adıyla vektör, bir sütun vektörü, sütun şeklinde düzenlenmiş n karmaşık sayının (v_1,v_2,\ldots,v_n) bir koleksiyonudur.

$$v =\begin{bmatrix} v_1\\ v_2\\ \vdots\\ v_n \end{bmatrix}$$

Bir vektörün $v$ normu, $\sqrt{\sum_i v_i^2}$ olarak tanımlanır. Normu 1 olan bir vektöre birim vektör denir.

Bir sütun vektörü $v$'nin $adjoint vektorü bir satır vektörü olarak belirtilen $v^\dagger$ ve $v$'nin eşlenik transpozu olarak tanımlanır. Bir boyut vektörü olan $v$, n büyüklüğündeki bir sütun vektöründe ise, adjoint, 1 × n boyutundaki bir satır vektörüdür.

$$\begin{bmatrix}v_1 \ \vdots \ v_n \end{bmatrix}^\dagger=\begin{bmatrix}v_1^* &ve \cdots&ve v_n^* \end{bmatrix}$$

burada $v_i^*$$v_i$'nin karmaşık eşleniğini belirtir.

Doğrusal cebir kullanılarak kubitin $\psi= durumu \ket{0}a \ket{1}$ + b kuantum durumu vektörü olarak tanımlanır $\begin{bmatrix} a \ b \end{bmatrix}$, burada $|a|^2 + |b|^2 = 1 $ olur. Daha fazla bilgi için bakınız Kübit.

Skaler ürün

İki vektör, skaler ürün olarak da bilinen nokta çarpımı veya iç çarpım aracılığıyla çarpılabilir. Adından da anlaşılacağı gibi, iki vektörün skaler çarpımının sonucu bir skalerdir. Skaler ürün, bir vektörünün başka bir vektöre projeksiyonunu verir ve bir vektöri diğer basit vektörlerin toplamı olarak ifade etmek için kullanılır. İki sütun vektörü u ve v arasındaki skaler çarpım ⟨u, v⟩ = u^† v olarak tanımlanır ve ⟨u, v⟩ şeklinde gösterilir.

$$\left\langle u, v \right\rangle = u^\dagger v = \begin{bmatrix} u_1^* & \cdots & u_n^* \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_1 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix} = u_1^* v_1 + \cdots + u_n^* v_n.$$ $$

Skaler çarpımla, bir vektör $v$'nin normu $\sqrt{\langle v, v\rangle}$ olarak yazılabilir.

Bir vektörü, girdileri $a$ ile çarpılan yeni bir vektör oluşturmak üzere bir sayı olan $a$ ile çarpabilirsiniz. Yine $u$ ve $v$'nin vektör bileşenlerinin toplamı olan yeni bir vektör oluşturmak için iki vektör olan $u$ ve $v$'yi de ekleyebilirsiniz. Bu işlemler şunlardır:

$$ au+bv =\begin{bmatrix} au_1+bv_1\\ au_2+bv_2\\ \vdots\\ au_n+bv_n \end{bmatrix}$$

Matrisler

m x \times boyutunda bir $, aşağıda gösterildiği gibi, $ satır ve $ sütuna düzenlenmiş, $ karmaşık sayıdan oluşan bir koleksiyondur.

$$M =\begin{bmatrix} M_{11} M_{12}\cdots M_{1n}\\ M_{{21} M_{22}\cdots M_{2n}\\\ddots\\ M_{m1} M_{m2}\cdots M_{mn}\\\end{bmatrix}$$

Not olarak

n boyutundaki bir vektörün, yalnızca n x 1 boyutunda bir matris olduğunu dikkat edin.

Kuantum işlemleri kareli matrisler tarafından temsil edilir, yani satır ve sütun sayısı eşittir. Örneğin, tek kubitli işlemler, Pauli X işlemi gibi 2x2 matrislerle temsil edilir.

$$X =\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$$

İpucu

Q# içinde Pauli $X$ işlemi, X işlemi tarafından temsil edilir.

Vektörlerde olduğu gibi, her girişin c ile çarpıldığı yeni bir matris elde etmek için bir matrisi c sayısıyla çarpabilirsiniz; ayrıca, girişleri iki matrisin karşılık gelen girişlerinin toplamı olan yeni bir matris oluşturmak üzere aynı boyuttaki iki matris birbirine eklenebilir.

Matris çarpımı

Bir $m $ n$ boyutundaki \timesM$ matrisi ile bir $n $ p$ boyutundaki \timesN$ matrisini çarparak, $m $ p$ boyutlarındaki yeni bir \timesP$ matrisi elde edebilirsiniz.

$$ \begin{ \begin{align} &ve\begin{bmatrix} M_{{11} M_{12}\cdots M_{1n}\\ M_{{21} M_{22}\cdots M_{2n}\\\ddots\\ M_{m1} M_{m2}\cdots M_{mn}\end{bmatrix}\begin{bmatrix} N_{{11} N_{{12}\cdots N_{1p}\\ N_{{21} N_{22}\cdots N_{2p}\\\ddots\\ N_{n1} N_{n2}\cdots N_{np}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} P_{{11} P_{12}\cdots P_{1p}\\ P_{21} P_{{22}\cdots P_{2p}\\\ddots\\ P_{m1} P_{m2}\cdots P_{mp}\end{bmatrix}\end{align}$$

$P$'nin girdileri $P_{ik}==\sum_j M_{ij}N_{jk}$'dir. Örneğin, $P_{11}$ girdisi, $M$ matrisinin ilk satırının, $N$ matrisinin ilk sütunu ile olan skaler çarpımıdır. Vektör yalnızca matrisin özel bir durumu olduğundan, bu tanımın matris vektör çarpmasına kadar genişlediğini unutmayın.

Özel matris türleri

Özel bir kare matris, birim matris olarak adlandırılır ve tüm çapraz elemanları 1'e, geri kalan elemanları ise 0'a eşittir.

$\mathbb{ \mathbb{I}=\begin{bmatrix} 1 0 \cdots 0\\ 0 1 \cdots 0\\\ddots\\ 0 0 \cdots 1 \end{bmatrix}.$

Bir kare matris $A$ için, bir matris $B$, ancak ve ancak $AB = BA= olduğunda, onun tersidir.=\mathbb{\mathbb{I}$ A$ matrisinin tersi varsa, ters matris benzersizdir ve $A^{-1}$ olarak yazılır.

Herhangi bir matris M için, M'nin adjoint veya hermitik transpozesi, N_{ij} = M_{ji}^* olacak şekilde bir N matrisidir. $M$'nin adjungatı $M^\dagger$ ile gösterilir.

U matrisi, UU^⸺ U^⸺ eşitliğini veya eşdeğer olarak U^⸺ U = I eşitliğini sağlıyorsa birim matristir. Ünite matrislerinin önemli bir özelliği, vektör normunu korumalarıdır. Bunun nedeni

$\langle v,v \rangle=v^{\dagger} v = v^{\dagger} U^{{-1} U v = v^{\dagger} U^{\dagger} U v =\langle U v, U v\rangle.$

Not

Kuantum işlemleri, bitişikliği tersine eşit olan kareli matrisler olan birim matrisleriyle temsil edilir.

Bir matris $M$, $M = M^†{\dagger}$ ise Hermitian olarak adlandırılır.

Kuantum bilişiminde temelde yalnızca iki matrisle karşılaşabilirsiniz: Hermitian ve unitary.

Tensor ürünü

Başka bir önemli işlem, tensör çarpımı, matris doğrudan çarpımı veya Kronecker çarpımı olarak da adlandırılır.

İki vektör olan $\begin{bmatrix}v \\ a \end{bmatrix}$ ve $\begin{bmatrix}u \\ c \\ d \end{bmatrix}$'yi göz önünde bulundurun. Tensor ürünleri $v \otimes u$ olarak belirtilir ve bir blok matrisi ile sonuçlanır.

$$ \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}\otimes\begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix} b \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a c \\ a d \\ b c \\ b d \end{bmatrix}$$

Not

Tensor ürününün matris çarpmasından ayırt edilerek tamamen farklı bir işlem olduğunu unutmayın.

Tensor ürünü, birden çok kubitin birleşik durumunu temsil etmek için kullanılır. Kuantum bilişiminin gerçek gücü, hesaplamalar gerçekleştirmek için birden çok kubitten yararlanmaktan gelir. Daha fazlası için Birden çok kubit üzerindeki işlemler bölümüne bakın.

İlgili içerik