Kuantum bilişiminde Dirac gösterimi

Dirac gösterimi, kuantum durumlarını ve işlemlerini açıklamanın kısa ve güçlü bir yoludur. 1930'larda notasyonu geliştiren fizikçi Paul Dirac'ın adını almıştır. Dirac gösterimi, kuantum durumlarını, kuantum işlemlerini ve kuantum ölçümlerini açıklamak için kuantum bilişiminde kullanılır.

Bu makalede Dirac gösterimi tanıtılmaktadır ve kuantum durumlarını ve işlemlerini açıklamak için nasıl kullanacağınız gösterilmektedir.

Dirac gösterimindeki vektörler

Dirac gösteriminde iki tür vektör vardır: satır vektörüne karşılık gelen bra vektörü ve sütun vektörüne karşılık gelen ket vektörü.

Eğer $\psi$ bir sütun vektörüyse, onu Dirac gösterimiyle $|\psi ⟩$ olarak yazabilirsiniz. Burada $|\cdot ⟩$, bir ket vektörü olduğunu belirtir.

Benzer şekilde, ${\psi }^{†}$ satır vektörü, $⟨\psi |$ vektör olan olarak ifade edilir. Başka bir deyişle, $\psi$'nin transpozunun elemanlarına eleman bazında karmaşık eşlenik uygulayarak ${\psi }^{†}$ elde edilir. Bra-ket gösterimi doğrudan, vektör $\psi$'nin kendisiyle olan iç çarpımının tanım gereği $1$ olduğunu belirtir.

Daha genel olarak, eğer $\psi$ ve $\varphi$ kuantum durum vektörleriyse, iç çarpımları $⟨\varphi |\psi ⟩$ olur. Bu iç çarpım, $|\psi ⟩$ durumunu ölçmenin $|\varphi ⟩$ olasılığının $|⟨\varphi |\psi ⟩{|}^2$ olduğunu gösterir.

Hesaplama temel durumları $0$ ve $1$ sırasıyla $$$\left[\begin{array}{c}10\end{array}\right]$$=\ket{{0}$ve$$$\left[\begin{array}{c}01\end{array}\right]$$=\ket{1}$olarak temsil edilir.

Örnek: Hadamard işlemini Dirac gösterimiyle temsil etme

Dirac gösterimini kullanarak $ve$ kuantum durumlarına Hadamard kapısı $|0⟩$H$|1⟩$ uygulayalım:

$$ \frac{1}{\sqrt{2}}$$\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$$=H\ket{{0}=\ket{+}$$

$$ \frac{1}{\sqrt{2}}$$\left[\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right]$$=H\ket{{1}=\ket{-}$$

Elde edilen durumlar, Bloch küresindeki $+x$ ve $-x$ yönlerindeki birim vektörlerine karşılık gelir. Bu durumlar, $|0⟩$ ve $|1⟩$ toplamları olarak Dirac gösterimi kullanılarak da genişletilebilir.

$$ \ket{+}=\frac{{1}{\sqrt{2}}(\ket{0} + \ket{1}) $$

$$ \ket{-} = \frac{1}{\sqrt{ {2}}(\ket{0} - \ket{1}) $$

Hesaplama temeli vektörleri

Her kuantum durumu her zaman hesaplama temeli vektörlerinin toplamları olarak ifade edilebilir ve bu tür toplamlar Dirac gösterimi kullanılarak kolayca ifade edilir. Bunun tersi, +$|⟩$ durumlarının ve ayrıca kuantum durumlarının $|-⟩$temelini oluşturması açısından da geçerlidir. Bu temeli şu gerçekten görebilirsiniz:

$$|0⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|+⟩+|-⟩)$$

$$|1⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|+⟩-|-⟩)$$

Dirac gösteriminin bir örneği olarak, $⟨0|1⟩$ braketi, $0$ ile $1$ arasındaki iç çarpım olarak düşünülmelidir. Şu şekilde yazılabilir:

$$⟨0|1⟩=\left[\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]=0.$$

Bu örnek, $\ket{{0}$ve$\ket{{1}${}^{\prime }ninortogonalvektörlerolduğunusöylüyor,yani$\braket{0 | 1 ve \braket{1 | 0}=$.Ayrıcatanımgereği$\braket{0 | 0}=\braket{1 | 1}=1$, yani iki hesaplama temel vektörü ortonormal olarak da adlandırılabilir.

Bu ortonormal özellikler aşağıdaki örnekte kullanılmıştır. Eğer bir durumunuz varsa $\ket{\psi}={\frac{3}{5}}\ket{{1} + {\frac{{4}{5}}\ket{0}$,ozamançünkü$\braket{1 | 0}=0$1ölçülmesininolasılığı$$

$$ \big|\braket{1 |^2\psi}\big|=\left|\frac{1 {3}{5}\braket{ 1| +}\frac{1 {4}{5}\braket{ 0|^2}\right|=\frac{{9}{.{25} $$

Tensor ürün notasyonu

Dirac gösterimi, tensör çarpımıifade etmek için yararlıdır. İki bağıntısız kuantum yazmaç tarafından açıklanan durum vektörünün iki durum vektörünün tensor ürünleri olması nedeniyle, kuantum bilişiminde tensor ürünü önemlidir.

$\psi ve\otimes herhangiikikuantumdurumuvektörüiçintensorürün\varphi$$\varphi$$\psi$, Dirac Gösterimi'nde $|\psi ⟩\otimes |\varphi ⟩$olarak yazılır. Kural gereği, tensor ürününü $|\psi ⟩|\varphi ⟩=|\psi \varphi ⟩$olarak da yazabilirsiniz.

Örneğin, sıfır durumuna başlatılan iki kubitin durumu $\ket{{0}\otimes\ket{0}=\ket{0}\ket{0}=\ket{00}$.

Örnek: Dirac gösterimiyle süperpozisyonu açıklama

Bir kuantum durumunu açıklamak için Dirac gösterimini nasıl kullanabileceğinize ilişkin başka bir örnek olarak, n uzunluğundaki her olası bit dizesi üzerinde eşit bir süperpozisyon olan bir kuantum durumunu yazmanın eşdeğer yollarını göz önünde bulundurun$$.

$$H^{\otimes n}|0⟩=\frac{1}{2^{n/2}}\sum _{j=0}^{2^n-1}|j⟩={|+⟩}^{\otimes n.}$$

Burada, n bit için toplamın neden 0'dan $$2^{\$}n-1^{\prime }e$$gittiğini merak edebilirsiniz.$İlkolarak,$2^{n}$farklıyapılandırma$, n$bitinalabileceğikonfigürasyonlardır.Birbitin$2$değerialabileceğiniancakikibitin$4$değerialabileceğinivebunungibiişlemlerigerçekleştirebileceğinibelirterekbuyapılandırmayıgörebilirsiniz.Genelolarak,bu,$2^n$farklıolasıbitdizeleriolduğu,ancakbunlarınherhangibirindekodlanmışenbüyükdeğerin1\cdots 1=2^n-1$$vebunedenletoplamınüstsınırıolduğuanlamınagelir.Ayrıca,buörnektebenzetmeolarak$\ket{{0}^{\otimes n}=\ket{{0}$yerine$\ket{+}^{\otimes n}=\ket{+}$ kullanmadınız. Bu gösterim kuralı, her kubitin sıfır olarak başlatıldığı hesaplama temel durumu için ayrılmıştır.

Dirac gösterimi ile doğrusallığı ifade etme

Dirac gösteriminin bir diğer özelliği de doğrusal olmasıdır. Örneğin, iki karmaşık sayı $\alpha$ ve $\beta$için yazabilirsiniz

$$|\psi ⟩\otimes (\alpha |\varphi ⟩+\beta |\chi ⟩)=\alpha |\psi ⟩|\varphi ⟩+\beta |\psi ⟩|\chi ⟩.$$

Tensor ürün gösterimini Dirac gösteriminde dağıtarak durum vektörleri arasında tensor ürünleri almanın normal çarpma gibi görünmesine neden olabilirsiniz.

Bra vektörleri, ket vektörlerine benzer bir kuralı izler. Örneğin, vektör $⟨\psi |⟨\varphi |$ ^$\psi †{\otimes }^{(}\varphi †={)}^{\psi }\otimes \text{phidurum}vektöre†$eşdeğerdir. Ket vektörü $|\psi ⟩$$\alpha |0⟩+\beta |1⟩$ ise, bra vektör sürümü $\bra{\psi}=\ket{\psi}^\dagger(=\bra{^* + {0}\alpha^*)\bra{1}\beta$'dır.

Örneğin, $\ket{\psi}=\frac{3}{5}\ket{{1} + \frac{4}{5}\ket{0}$durumunuölçmeolasılığını,durumlarınya$\ket{+}$yada$\ket{{-}$şeklindeölçüldüğübirkuantumprogramıkullanarakhesaplamakistediğinizidüşünün.Ardındancihazındurumu$\ket{-}$ olarak vermesi olasılığı şudur:

$$|\braket{- |\psi}|^2=\left|\frac{{1}{\sqrt{({2}} - \bra{0}\bra{)({1}\frac{3}{5}\ket{ + {1}\frac{{4}{5}) \ket{0}^2-5\right|=\left|\frac{3}{\sqrt{ + {2}}\frac{5{4}{^2.\sqrt{2}}\right|=\frac{{1}{{50}$$

Olasılık hesaplamasında negatif işaretin görünmesi, kuantum girişiminin bir göstergesidir ve kuantum bilişiminin klasik bilgi işlemden avantaj elde ettiği mekanizmalardan biridir.

ketbra veya dış ürün

Dirac gösteriminde tartışılmaya değer son öğe ketbra veya dış üründür. Dış ürün, Dirac gösteriminde $|\psi ⟩⟨\varphi |$olarak temsil edilir. Dış çarpım, kuantum durum vektörleri $\psi$ ve $\varphi$ için $|\psi ⟩⟨\varphi |=\psi {\varphi }^{†}$ olarak matris çarpımı aracılığıyla tanımlanır. Bu gösterimin en basit ve muhtemelen en yaygın örneği,

1 0 1 & 0 1 & 0 0 & 00 1 0 & 1 0 & 0 0 & 1. $$

Kuantum durumunu sabit bir değere yansıtan Ketbralar genellikle projektör olarak adlandırılır. Bu işlemler ünitesel olmadığından (ve vektör normunu bile korumadığından), kuantum bilgisayar bir projektörü belirlenik olarak uygulayamaz. Ancak projektörler, ölçümün kuantum durumundaki eylemini tanımlamak için güzel bir iş yapar. Örneğin, bir durumu $|\psi ⟩$$0$ olarak ölçerseniz, bu ölçüm sonucunda durumun geçirdiği dönüşüm

$$\ket{\psi} \rightok \frac{(\ket{{0}\bra{{0})\ket{\psi}}{|\braket{0|\psi}|}=\ket{{0},$$

Beklediğiniz gibi, durumu ölçtüyseniz ve $|0⟩$ olduğunu bulduysanız. Tekrar belirtmek gerekirse, bu tür projektörler kuantum bilgisayardaki bir duruma belirleyici bir şekilde uygulanamaz. Bunun yerine, en iyi ihtimalle rastgele uygulanabilir ve sonuç $|0⟩$ sabit bir olasılıkla görünür. Bu tür bir ölçümün başarılı olma olasılığı, kuantum projektörünün durumundaki beklenti değeri olarak yazılabilir

$$⟨\psi |(|0⟩⟨0|)|\psi ⟩=|⟨\psi |0⟩{|}^2,$$

bu, projektörlerin ölçüm işlemini ifade etmek için yeni bir yol sunduğunu gösterir.

Bunun yerine çok kubitli bir durumun ilk kubitini 1$olarak$ölçmeyi düşünüyorsanız, projektörleri ve Dirac gösterimini kullanarak bu işlemi rahatça açıklayabilirsiniz:

$$P(\text{ilk kubit = 1})=\bra{\psi}\left(\ket{{1}\bra{{1}\otimes \mathbf{\mathbf{1}^{\otimes n-1}\right) \ket{\psi}. $$

Burada kimlik matrisi Dirac gösteriminde şöyle yazılabilir:

$$ \mathbb{I}=\ket{{0}\bra{0}+\ket{{1}\bra{1}=$$\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$$. $$

İki kubitli olması durumunda projektör şu şekilde genişletilebilir:

$$ \ket{1} \bra{1} \otimes \mathbb{I}=\ket{{1}\bra{1}\otimes (\ket{0}\bra{0}+\ket{1}\bra{{1})=\ket{10}\bra{{10} + . \ket{{11}\bra{{11} $$

ve bu projektörün, sütun vektörü gösterimini kullanarak çokkubit durumlar için ölçüm olasılıkları hakkındaki tartışmayla tutarlı olduğunu görebilirsiniz.

$$P(\text{ilk kubit = 1})=\psi^\dagger (e_{10}e_{10}^\dagger + e_{{11}e_{{11}^\dagger)\psi=|e_{{10}^\dagger\psi|^2 + |e_{11}^\dagger\psi|^2,$$

çoklu kubit ölçüm tartışması ile uyumludur. Ancak bu sonucun çok kubitli duruma genelleştirilmesi, Dirac gösterimini kullanarak ifade etmek sütun-vektör gösteriminden biraz daha basittir ve önceki işleme tamamen eşdeğerdir.

Yoğunluk işleçleri

Dirac gösterimini kullanarak ifade etmek için bir diğer yararlı işleç de yoğunluk işleci, bazen durum işleci olarak da bilinir. Kuantum durumu vektör olarak, yoğunluk işleci bir sistemin kuantum durumunu açıklar. Kuantum durumu vektörleri yalnızca saf durumları temsil edebilirken, yoğunluk işleçleri karma durumları da temsil edebilir.

Daha genel olarak, aşağıdaki koşullar karşılanırsa belirli bir matris $\rho$ geçerli bir yoğunluk işlecidir:

• $\rho$ karmaşık sayıların matrisidir
• $\rho ={\rho }^{†}$ (diğer bir ifadeyle $\rho$ Hermitian'dır)
• $p$ özdeğeri $\rho$'nun negatif değildir
• $\rho$'nun tüm özdeğerleri 1 eder

Bu koşullar birlikte \rho'nun $$ bir topluluk olarak düşünülebileceğini garanti eder. Kuantum durumu vektörü için bir yoğunluk işleci $|\psi ⟩$ aşağıdaki biçimdedir: $\rho =\sum _i{p}_i|{\psi }_i⟩⟨{\psi }_i|$. Eğer $\rho$ bir özdeğer ayrışımı şeklindeyse, o zaman $\rho$ sistemi, olasılık $\rho =|{\psi }_i⟩p_{i}ileaçıklar.$

Saf kuantum durumları tek bir ket vektörü veya dalga işlevi ile karakterize edilir ve diğer kuantum durumlarının istatistiksel karışımı veya dışbükey bileşimi olarak yazılamaz. Karma kuantum durumu, saf durumların istatistiksel bir grubudur.

Bloch küresi, kürenin yüzeyindeki bir noktaya göre saf durumları ve küre üzerindeki bir iç nokta tarafından karışık durumları temsil eder. Kürenin merkezi, simetriye göre tek bir kubitin karma durumunu temsil eder. Bir durumun saflığı, kürenin yüzeyine yakın olma derecesi olarak görselleştirilebilir.

Durumu vektör yerine matris olarak temsil etme kavramı genellikle kullanışlıdır çünkü olasılık hesaplamalarını temsil etmek için kullanışlı bir yol sağlar. Ayrıca aynı formalizm içinde hem istatistiksel belirsizliği hem de kuantum belirsizliğini açıklamanıza olanak tanır.

\rho$yoğunlukişleci$, yalnızca ve yalnızca şu durumda saf bir durumu temsil eder:

• $\rho$ , bir durum vektörünün dış ürünü olarak yazılabilir, $\rho =|\psi ⟩⟨\psi |$
• $\rho ={\rho }^2$
• $tr({\rho }^2)=1$

Belirli bir yoğunluk işlecinin $\rho$ saf bir hâle ne kadar yakın olduğunu belirtmek için, ${\rho }^2$'in izine (köşegen elemanların toplamı) bakabilirsiniz. Yoğunluk işleci, yalnızca tr(\rho ^$)21=iseveise$saf bir durumu temsil eder.

Q# kuantum durumlarına eşdeğer geçit dizileri

Kuantum gösterimi ve Q# programlama dili hakkında açıklamaya değer son nokta: Daha önce, bu makalede kuantum durumunun kuantum bilişimindeki bilgilerin temel nesnesi olduğundan bahsedildi. Daha sonra Q#'da kuantum durumu kavramının olmadığı sürpriz olabilir. Bunun yerine, Q# tüm durumları yalnızca bunları hazırlamak için kullanılan işlemler tarafından açıklar. Önceki örnek, bu tanımın mükemmel bir çizimidir. Bir yazmaçtaki her kuantum bit dizesi üzerinde tekdüzen bir süper konum ifade etmek yerine, sonucu H^$n\otimes olarak|0⟩$temsil edebilirsiniz. Durumun bu üstel olarak kısaltılmış açıklaması, klasik yöntemlerle hakkında düşünebilme avantajı sağlar. Ayrıca algoritmayı uygulamak için yazılım yığını aracılığıyla yayılması gereken işlemleri de kısa bir şekilde tanımlar. Bu nedenle, Q# kuantum durumları yerine geçit dizileri yaymak için tasarlanmıştır; ancak teorik düzeyde iki perspektif eşdeğerdir.

İlgili konular

• Pauli ölçümleri
• T kapıları ve T fabrikaları
• Kuantum devreleri
• Kuantum kahinleri