Kuantum bilişiminde dirac gösterimi

Makale
06/21/2024

Dirac gösterimi , kuantum mekaniğindeki durumları ve doğrusal cebirleri ifade etme gereksinimlerinin hassas gereksinimlerine uyacak şekilde tasarlanmıştır. 1930'larda gösterimi geliştiren fizikçi Paul Dirac'ın adını almıştır. Dirac gösterimi, kuantum durumlarını ve işlemlerini tanımlamanın kısa ve güçlü bir yoludur. Kuantum durumlarını, kuantum işlemlerini ve kuantum ölçümlerini açıklamak için kuantum bilişiminde kullanılır.

Bu makalede Dirac gösterimi tanıtılmaktadır ve kuantum durumlarını ve işlemlerini açıklamak için nasıl kullanacağınız gösterilmektedir.

Sütun vektör gösteriminin sınırlamaları

Doğrusal cebirde sütun vektörü gösterimi yaygın olsa da, özellikle birden çok kubitle ilgilenirken kuantum bilişiminde genellikle hantaldır. Örneğin, bir vektör olarak tanımladığınızda $\psi$ , satır mı yoksa sütun vektör mü olduğu açıkça net $\psi$ değildir. Bu nedenle ve $\phi$$\psi$ vektör ise, ve şekilleri bağlamda belirsiz olabileceğinden, tanımlanıp\psi$$\phitanımlanmadığı $\phi$$\psi$ eşit derecede belirsizdir. Vektör şekilleriyle ilgili belirsizliğin ötesinde, doğrusal cebirsel gösterimi kullanarak basit vektörleri ifade etmek bile hantal olabilir. Örneğin, her kubitin 0$ değerini $aldığı n$$ kubit durumunu açıklamak isterseniz, durumu resmi olarak şöyle ifade edebilirsiniz:

$$\begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix}\otimes\otimes\begin{bmatrix}\cdots1 \\ 0 .\end{bmatrix} $$

Vektör üstel olarak büyük bir alanda olduğundan bu tensor ürününü değerlendirmek pratik değildir. Bu nedenle, bu gösterimi aslında, önceki gösterimi kullanılarak verilebilen durumun en iyi açıklamasıdır.

Dirac gösterimindeki vektör türleri

Dirac gösteriminde iki tür vektör vardır: sütyen vektörü ve ket vektörü, yani bir araya getirildiğinde bir fren veya iç ürün oluştururlar. Bir sütun vektörüyse $\psi$ , bunu Dirac gösteriminde $\ket{\psi}$yazabilirsiniz; burada $\ket{\cdot}$ bunun bir birim sütun vektörü olduğunu (örneğin, bir ket vektörü) belirtir. Benzer şekilde, ^\dagger$ satır vektöru $\psiolarak $\bra{\psi}$ifade edilir. Başka bir deyişle, $\psi^\dagger$ öğesinin dönüşümünün $\psi$öğelerine giriş açısından karmaşık eşleştirilmiş kod uygulanarak elde edilir. Bra-ket gösterimi, 1 tanımına $göre vektörünün $\psi$ kendi içinde bulunan iç ürünü olduğunu doğrudan belirtir$\braket{\psi|\psi}$.$

Daha genel olarak kuantum durumu vektörleri ise $\psi$ ve $\phi$ ise iç ürünleri olur $\braket{\phi|\psi}$. Bu iç ürün, durumu $\ket{\psi}$ ölçme olasılığının ^2$ olduğunu $\ket{\phi}$$|\braket{\phi|\psi}|gösterir.

Aşağıdaki kural, sıfır ve bir değerlerini kodlayan kuantum durumlarını (tek kubitli hesaplama temel durumları) açıklamak için kullanılır:

$$\begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix}{0}\ket{=,\qquad\begin{bmatrix} 0 \\ 1 .\end{bmatrix}=\ket{{1} $$

Örnek: Hadamard işlemini Dirac gösterimiyle temsil etme

Aşağıdaki gösterimi genellikle ve $\ket{1}$öğesine Hadamard geçidinin uygulanmasından kaynaklanan durumları açıklamak için $\ket{0}$ kullanılır. Bu durumlar Bloch küresindeki $+x$ ve $-x$ yönlerindeki birim vektörlerine karşılık gelir:

$$\frac{1}{\sqrt{{2}}\begin{bmatrix}1 1 \\\end{bmatrix}=H\ket{=\ket{0}+},\qquad\frac{1}{\sqrt{{2}}\begin{bmatrix} 1 \\ -1=\end{bmatrix} H .\ket{{1}=\ket{{-} $$

Bu durumlar, ve $\ket{1}$toplamları $\ket{0}$ olarak Dirac gösterimi kullanılarak da genişletilebilir:

$$\ket{+}={1}{\sqrt{2}}\frac{(\ket{0} + \ket{1}),\qquad\frac{={1}{\sqrt{\ket{{2}}{-}(\ket{{0} - ). \ket{1} $$

Hesaplama temeli vektörleri

Bu durumların neden genellikle hesaplama temeli olarak adlandırılabildiğini gösterir: her kuantum durumu her zaman hesaplama temeli vektörlerinin toplamları olarak ifade edilebilir ve bu tür toplamlar Dirac gösterimi kullanılarak kolayca ifade edilir. Bunun tersi, +}$$\ket{-}$ durumlarının ve ayrıca kuantum durumlarının $\ket{temelini oluşturması açısından da geçerlidir. Bunu şu gerçekten görebilirsiniz:

$$\ket{{0}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{+ + \ket{-}} ),\qquad\frac{{1}{\sqrt{=\ket{{1}{2}}(\ket{+} - ). \ket{-} $$

Dirac gösterimi örneği olarak, 0 | ile 1}$ arasındaki $iç ürün olan 0 $$ 1$ frenini $\braket{düşünün. Şu şekilde yazılabilir:

$$\braket{0 | 1}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\\ 1\end{bmatrix}=0. $$

Bu örnekte ve{1}$$\ket{değerlerinin $\ket{{0}$ ortogonal vektörler olduğu, yani $\braket{0 | 1 1\braket{}=1 | 0 0$}= olduğu belirtiliyor. Ayrıca tanım $\braket{gereği 0 0}\braket{=| 1 | 1}=1$, yani iki hesaplama temel vektörü ortonormal olarak da adlandırılabilir.

Bu ortonormal özellikler aşağıdaki örnekte kullanılmıştır. + durumundaysanız $\ket{\psi}{\frac{3}{5}}={4}{5}}$\braket{\ket{{1}{\frac{\ket{0}$, 10 | 0=$} olduğundan 1'i$ ölçme olasılığı $

$$\big|\braket{1 |^2\left|\frac{{3}{5}\braket{=1 | 1} +\frac{{4}{5}\braket{1 | 0}\right|^2{25}=\frac{{9}{.\psi}\big| $$

Tensor ürün gösterimi

Dirac gösterimi ayrıca örtük bir tensor ürün yapısı içerir. Bu yapı önemlidir çünkü kuantum bilişiminde, iki birbiriyle ilgisiz kuantum yazmaç tarafından açıklanan durum vektörünün iki durum vektörünün tensor ürünleri olmasıdır. Bir kuantum hesaplamasını açıklamak istiyorsanız, tensor ürün yapısını kısa bir şekilde açıklamak veya eksikliklerini açıklamak çok önemlidir. Tensor ürün yapısı, herhangi iki kuantum durumu vektörleri için ve $\psi$ olarak $\ket{\psi}\ket{\phi}$\otimesyazabileceğinizi\phi$$\psi\otimesbelirtir.$\phi$ Ancak, vektörler arasında yazma $\otimes$ kuralı gereği gereksizdir ve yazabilirsiniz\ket{\psi$\ket{\psi}$\ket{\phi}=\phi}. Vektörler ve tensor ürünleri hakkında daha fazla bilgi için bkz . Quantum Computing'de Vektörler ve Matrisler. Örneğin, sıfır durumuna başlatılan iki kubitin durumu şöyledir:

$$\ket{0}\otimes\ket{0}=\ket{{0}\ket{{0}=\ket{{00}=\begin{bmatrix}1 \\ 0\otimes\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 .\end{bmatrix} $$

Benzer şekilde, p tamsayısı için p}$ durumu$\ket{, p$ tamsayısını $$$ ikili gösterimde kodlayan bir kuantum durumunu temsil eder. Örneğin, 5$ sayısını $işaretsiz bir ikili kodlama kullanarak ifade etmek isterseniz, aynı şekilde ifade edebilirsiniz

$$\ket{1}\ket{0}\ket{1}=\ket{101}=\ket{5}. $$

Bu gösterimin içinde, $\ket{0}$ 0$ ikili kodlaması $depolayan bir kubit yazmaç yerine tek kubit durumuna başvurmanız gerekir. Bu iki gösterimi arasındaki farklar bağlamdan açıktır. Bu kural, aşağıdaki yollardan herhangi biriyle yazılabilir ilk örneği basitleştirmek için kullanışlıdır:

$$\begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix}\otimes\otimes\begin{bmatrix}\cdots1 \\ 0{0}\ket{\otimes\cdots|=\end{bmatrix}\otimes\ket{0}= 0\cdots 0=\ket{\rangle{0}^ n{\otimes}$$

burada $\ket{0}^{\otimes n}$, n$$\ket{0}$ kuantum durumlarının tensor çarpımını $temsil eder.

Örnek: Dirac gösterimiyle süper pozisyonu açıklama

Bir kuantum durumunu açıklamak için Dirac gösterimini nasıl kullanabileceğinize ilişkin başka bir örnek olarak, n uzunluğundaki $her olası bit dizesine eşit bir süper konum olan bir kuantum durumu yazmanın aşağıdaki eşdeğer yollarını göz önünde bulundurun$

$$H^{\otimes n}=\frac{1}{\ket{0}2^{n/2\sum}}_{j=0}^{2^n-1\ket{}j}=\ket{+}^{\otimes n.} $$

Burada, n bit için toplamın neden 0'dan $$ 2^{n-1'e $$}$gittiğini merak edebilirsiniz.$ İlk olarak, n$ bitin $alabildiği 2^{n}$ farklı yapılandırma $olduğunu unutmayın. Bunu, bir bitin 2 değer alabileceğini $ancak iki bitin 4$ değer alabileceğini $ve bunun gibi işlemleri gerçekleştirebileceğini belirterek görebilirsiniz.$ Genel olarak bu, 2^n$ farklı olası bit dizeleri olduğu$, ancak bunların herhangi birinde kodlanmış en büyük değerin $1 1\cdots= 2^n-1$ olduğu ve dolayısıyla toplamın üst sınırı olduğu anlamına gelir. Yan not olarak, bu örnekte ^\ket{=}{0}${\otimesn ile benzer{0}$\ket{ şekilde +}^{\otimes n}=\ket{+}$ kullanmadınız.$\ket{ Bu gösterimi kuralı, her kubitin sıfır olarak başlatıldığı hesaplama temeli durumu için ayrılmıştır. Böyle bir kural bu durumda mantıklı olsa da, kuantum bilişimi literatüründe yer almaz.

Dirac gösterimi ile doğrusallığı ifade etme

Dirac gösteriminin bir diğer özelliği de doğrusal olmasıdır. Örneğin, iki karmaşık sayı $\alpha$ ve $\beta$için yazabilirsiniz

$$\ket{\psi}\otimes ( \alpha\ket{\phi} + \beta\ket{\chi})=\alpha\ket{\psi}\ket{\phi} + \beta\ket{\psi}\ket{\chi}.$$

Yani, Tensor ürün gösterimini Dirac gösteriminde dağıtabilirsiniz, böylece durum vektörleri arasında tensor ürünleri almak sıradan çarpma gibi görünür.

Sütyen vektörleri, ket vektörlerine benzer bir kuralı izler. Örneğin, vektör $\bra{\psi}\bra{\phi}$ ^\phi\dagger\otimes^(\psi\otimes\phi)^\dagger$\dagger=durum vektöre $\psieşdeğerdir. Ket vektöru +\ket{1}$\beta ise\ket{0}$\alpha, vektörünün $\ket{\psi}$ bra vektör sürümü ^=\dagger (\bra{{0}\alpha^* +\bra{1}\beta^*)$'dır.$\bra{\psi}=\ket{\psi}

Örneğin, durumların + veya{-}$ olarak ölçülmesi için bir kuantum programı kullanarak durumu\ket{$\ket{\psi}\frac{4}{5}\ket{0}${1}=\frac{3}{5} ölçme $\ket{olasılığını hesaplamak istediğinizi düşünün.$\ket{}$ Ardından cihazın çıkış olasılığı şudur $\ket{-}$ :

$$|\braket{- |^2\left|\frac{={1}{\sqrt{{2}}(\bra{0} -{1}\bra{ )(\frac{3}{5}{1}\ket{ +{4}{5}\frac{\ket{0} ) \right|^2-5=\left|{2}}\frac{3}{\sqrt{ +{4}{\frac{ 5\sqrt{2}}\right|^2.=\frac{{1}{{50}\psi}|$$

Olasılık hesaplamasında negatif işaretin görünmesi, kuantum girişiminin bir göstergesidir ve kuantum bilişiminin klasik bilgi işlemden avantaj elde ettiği mekanizmalardan biridir.

ketbra veya dış ürün

Dirac gösteriminde tartışılmaya değer son öğe ketbra veya dış üründür. Dış ürün, Dirac gösteriminde olarak $\ket{\psi}\bra{\phi}$temsil edilir ve bazen ketbra olarak adlandırılır çünkü sütyenler ve ketler frenler olarak ters sırada gerçekleşir. Dış ürün, matris çarpması aracılığıyla kuantum durumu vektörleri ve için ^\dagger$ olarak\psi=\bra{\phi}\phi$\ket{\psi} tanımlanır.$\phi$$\psi$ Bu gösterimin en basit ve muhtemelen en yaygın örneği,

$$\ket{0}\bra{{0}=\begin{bmatrix}1\\ 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1& 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 0\end{bmatrix}\bra{1}=\qquad\ket{1}\begin{bmatrix}0\\ 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}0& 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & 0\\ 0 & 1.\end{bmatrix} $$

Kuantum durumunu sabit bir değere yansıtan Ketbralar genellikle projektör olarak adlandırılır. Bu işlemler ünitesel olmadığından (ve bir vektör normunu bile korumadığından), kuantum bilgisayar bir projektörü belirleyici bir şekilde uygulayamaz. Ancak projektörler, ölçümün kuantum durumundaki eylemini tanımlamak için güzel bir iş yapar. Örneğin, bir durumu $\ket{\psi}$ 0$ olarak $ölçerseniz, ölçümün sonucunda durumun yaşadığı sonuç dönüştürmesi

$$\ket{\psi}\rightok \frac{(\ket{{0}\bra{{0})\ket{\psi}}{|\braket{0 ,|\psi}|}=\ket{{0}$$

durumunu ölçtüyseniz ve olduğunu bulduysanız beklediğiniz $\ket{0}$gibi. Tekrar belirtmek gerekirse, bu tür projektörler kuantum bilgisayardaki bir duruma belirleyici bir şekilde uygulanamaz. Bunun yerine, en iyi ihtimalle rastgele uygulanabilir ve sonuç $\ket{0}$ sabit bir olasılıkla görünür. Bu tür bir ölçümün başarılı olma olasılığı, kuantum projektörünün durumundaki beklenti değeri olarak yazılabilir

$$\bra{\psi}(\ket{0}\bra{0})\ket{\psi}|=|\braket{\psi 0}|^2,$$

bu, projektörlerin ölçüm işlemini ifade etmek için yeni bir yol sunduğunu gösterir.

Bunun yerine çok kubitli bir durumun ilk kubitini 1$ olarak $ölçmeyi düşünüyorsanız, projektörleri ve Dirac gösterimini kullanarak bu işlemi rahatça açıklayabilirsiniz:

$$P(\text{ilk kubit = 1})=\bra{\psi}\left(\ket{{1}\bra{{1}\otimes \mathbf{\mathbf{1}^{\otimes n-1}\right) . \ket{\psi} $$

Burada kimlik matrisi Dirac gösteriminde şöyle yazılabilir:

$$\mathbf{1}=\ket{0}\bra{0}+\ket{1}\begin{bmatrix}\bra{{1}=1& 0\\ 0& 1 \end{bmatrix}. $$

İki kubitli olması durumunda projektör şu şekilde genişletilebilir:

$$\ket{1}\bra{1}\otimes\id=\ket{{1}\bra{1}\otimes(\ket{{0}{0}\bra{+\ket{1}{1}\bra{)={10}\ket{10}\bra{ + . \ket{{11}\bra{{11} $$

Daha sonra bunun, sütun vektörü gösterimini kullanarak çok kanallı durumlar için ölçüm olasılıkları hakkındaki tartışmayla tutarlı olduğunu görebilirsiniz:

$$P(\text{ilk kubit = 1})=\psi^\dagger (e_{10}e_{10}^\dagger + e_{{11}e_{11}{^\dagger)|\psi=e_{10}{^^\dagger\psi|2 + |e_{11}^^\dagger\psi|2,$$

çok kubitli ölçüm tartışması ile eşleşir. Ancak bu sonucun çok kubitli duruma genelleştirilmesi, Dirac gösterimini kullanarak ifade etmek sütun-vektör gösteriminden biraz daha basittir ve önceki işleme tamamen eşdeğerdir.

Yoğunluk işleçleri

Dirac gösterimini kullanarak ifade etmek için bir diğer yararlı işleç de bazen durum işleci olarak da bilinen yoğunluk işlecidir. Kuantum durumu vektör olarak, yoğunluk işleci bir sistemin kuantum durumunu açıklar. Ancak kuantum durumu vektörleri yalnızca saf durumları temsil edebilirken, yoğunluk işleçleri karma durumları da temsil edebilir.

Daha genel olarak, aşağıdaki koşullar karşılanırsa belirli bir matris $\rho$ geçerli bir yoğunluk işlecidir:

$\rho$ karmaşık sayıların matrisidir
$\rho = \rho^{\dagger}$ (diğer bir ifadeyle \ $rho$ Hermitian' dır)
\rho'nun$ her eigenvalue $p$ değeri $0 <= p <= 1'dir $$
Tüm eigenvalues of $\rho$ sum to 1

Bu koşullar birlikte \rho'nun $$ bir topluluk olarak düşünülebileceğini garanti eder. Kuantum durumu vektörünün $\ket{\psi}$ yoğunluk işleci \rho\sum= _i p_i \ket{\psi_i}\bra{\psi_i $}$ \rho'nun $$eigenvalue ayrıştırması biçimindedir, ardından $\rho$ grubu \rho =\ket{\psi{_i\text{}olasılık} p_i }$ile tanımlar.$

Saf kuantum durumları, tek bir ket vektörü veya dalga işlevi ile karakterize edilen ve diğer kuantum durumlarının istatistiksel karışımı (veya dışbükey bileşimi) olarak yazılamayan durumlardır. Karma kuantum durumu, saf durumların istatistiksel bir grubudur.

Bir Bloch küresinde saf durumlar kürenin yüzeyindeki bir noktayla temsil edilirken, karma durumlar bir iç nokta ile temsil edilir. Tek bir kubitin karma durumu, kürenin merkeziyle, simetriyle temsil edilir. Bir durumun saflığı, kürenin yüzeyine yakın olduğu derece olarak görselleştirilebilir.

Durumu vektör yerine matris olarak temsil etme kavramı genellikle kullanışlıdır çünkü olasılık hesaplamalarını temsil etmek için kullanışlı bir yol sağlar ve aynı zamanda aynı formalizm içinde hem istatistiksel belirsizliği hem de kuantum belirsizliğini tanımlamanızı sağlar.

\rho$ yoğunluk işleci$, yalnızca ve yalnızca şu durumda saf bir durumu temsil eder:

$\rho$ , bir durum vektörünün dış ürünü olarak yazılabilir, $\rho=\ket{\psi}\bra{\psi}$
$\rho =\rho^2$
$tr(\rho^2)=1$

Belirli bir yoğunluk işlecinin $\rho'nun$ saf olmaya ne kadar yakın olduğunu söylemek için, \rho^2$ öğesinin izlemesine (diğer bir ifadeyle çapraz öğelerin toplamı) $bakabilirsiniz. Yoğunluk işleci, yalnızca tr(\rho ^{2})=1$ ise ve ise $saf bir durumu temsil eder.

Q# kuantum durumlarına eşdeğer geçit dizileri

Kuantum gösterimi ve Q# programlama dili hakkında açıklamaya değer son nokta: Bu belgenin başında kuantum durumunun kuantum bilişimindeki bilgilerin temel nesnesi olduğu belirtildi. Daha sonra, içinde kuantum durumu gösterimi olmaması sürpriz Q# olabilir. Bunun yerine, tüm durumlar yalnızca bunları hazırlamak için kullanılan işlemler tarafından açıklanır. Önceki örnekte bunun mükemmel bir çizimi verilmiştir. Bir yazmaçtaki her kuantum bit dizesi üzerinde tekdüzen bir süper konum ifade etmek yerine, sonucu H^{\otimes n}\ket{0}$ olarak $temsil edebilirsiniz. Durumun bu üstel olarak daha kısa açıklaması yalnızca klasik olarak mantık yürütme avantajına sahip olmakla kalmaz, aynı zamanda algoritmayı uygulamak için yazılım yığını aracılığıyla yayılması gereken işlemleri de kısa bir şekilde tanımlar. Bu nedenle, Q# kuantum durumları yerine geçit dizileri yaymak için tasarlanmıştır; ancak teorik düzeyde iki perspektif eşdeğerdir.

Aracılığıyla paylaş