Kuantum bilişiminde dirac gösterimi
Dirac gösterimi, kuantum durumlarını ve işlemlerini açıklamanın kısa ve güçlü bir yoludur. 1930'larda gösterimi geliştiren fizikçi Paul Dirac'ın adını almıştır. Dirac gösterimi, kuantum durumlarını, kuantum işlemlerini ve kuantum ölçümlerini açıklamak için kuantum bilişiminde kullanılır.
Bu makalede Dirac gösterimi tanıtılmaktadır ve kuantum durumlarını ve işlemlerini açıklamak için nasıl kullanacağınız gösterilmektedir.
Dirac gösterimindeki vektörler
Dirac gösteriminde iki tür vektör vardır: satır vektörüne karşılık gelen bra vektörü ve sütun vektörüne karşılık gelen ket vektörü. Bu nedenle Dirac gösterimi, bra-ket gösterimi olarak da adlandırılır.
$\psi$ bir sütun vektörüyse dirac gösteriminde $\ket{\psi}$olarak yazabilirsiniz; burada $\ket{\cdot}$bir ket vektörü olduğunu belirtir.
Benzer şekilde, $\psi^\dagger$ satır vektörü, bir bra vektör olan $\bra{\psi}$olarak ifade edilir. Başka bir deyişle, $\psi^\dagger$ öğesinin dönüşümünün $\psi$öğelerine giriş açısından karmaşık eşleştirilmiş kod uygulanarak elde edilir. Bra-ket gösterimi, 1 tanımına $\braket{\psi|\psi}$göre vektörünün $\psi$ kendi içinde bulunan iç ürünü olduğunu doğrudan belirtir$.$
Daha genel olarak kuantum durumu vektörleri ise $\psi$ ve $\phi$ ise iç ürünleri olur $\braket{\phi|\psi}$. Bu iç ürün, durumu $\ket{\psi}$ ölçme olasılığının ^2$\ket{\phi}$ olduğunu $|\braket{\phi|\psi}|$gösterir.
Hesaplama temel durumları $0$ ve $1$ sırasıyla $\begin{bmatrix} 1 \ 0 \end{bmatrix}=\ket{{0}$ ve $\begin{bmatrix} 0 \ 1 \end{bmatrix}=\ket{1}$olarak temsil edilir.
Örnek: Hadamard işlemini Dirac gösterimiyle temsil etme
Dirac gösterimini kullanarak $\ket{0}$ ve $\ket{1}$ kuantum durumlarına Hadamard kapısı $H$ uygulayalım:
$$ \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}=H\ket{{0}=\ket{+}$$
$$ \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}=H\ket{{1}=\ket{-}$$
Elde edilen durumlar, Bloch küresindeki $+x$ ve $-x$ yönlerindeki birim vektörlerine karşılık gelir. Bu durumlar, ve $\ket{0}$toplamları $\ket{1}$ olarak Dirac gösterimi kullanılarak da genişletilebilir:
$$ \ket{+}=\frac{{1}{\sqrt{2}}(\ket{0} + \ket{1}) $$
$$ \ket{-} = \frac{1}{\sqrt{ {2}}(\ket{0} - \ket{1}) $$
Hesaplama temeli vektörleri
Her kuantum durumu her zaman hesaplama temeli vektörlerinin toplamları olarak ifade edilebilir ve bu tür toplamlar Dirac gösterimi kullanılarak kolayca ifade edilir. Bunun tersi, +$\ket{}$ durumlarının ve ayrıca kuantum durumlarının $\ket{-}$temelini oluşturması açısından da geçerlidir. Bunu şu gerçekten görebilirsiniz:
$$ \ket{0} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{+} + \ket{-}) $$
$$ \ket{1} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{+} - \ket{-}) $$
Dirac gösterimi örneği olarak, 0 $\braket{ ile 1| arasındaki }$iç ürün olan 0 $$ 1$ frenini $düşünün. Şu şekilde yazılabilir:
$$ \braket{0 | 1}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\\ 1\end{bmatrix}=0. $$
Bu örnekte ve$\ket{{0}$değerlerinin $\ket{{1}$ ortogonal vektörler olduğu, yani $\braket{0 | 1 1}=\braket{1 | 0 0}=$ olduğu belirtiliyor. Ayrıca tanım $\braket{gereği 0 0|}=\braket{ 1 | 1}=1$, yani iki hesaplama temel vektörü ortonormal olarak da adlandırılabilir.
Bu ortonormal özellikler aşağıdaki örnekte kullanılmıştır. + durumundaysanız $\ket{\psi}={\frac{3}{5}}\ket{{1}{\frac{{4}{5}}\ket{0}$$\braket{, 10 | 0}=$ olduğundan 1'i$ ölçme olasılığı $
$$ \big|\braket{1 |^2\psi}\big|=\left|\frac{1 {3}{5}\braket{ 1| +}\frac{1 {4}{5}\braket{ 0|^2}\right|=\frac{{9}{.{25} $$
Tensor ürün gösterimi
Dirac gösterimi, tensor çarpımıifade etmek için çok yararlıdır. İki bağıntısız kuantum yazmaç tarafından açıklanan durum vektörünün iki durum vektörünün tensor ürünleri olması nedeniyle, kuantum bilişiminde tensor ürünü önemlidir.
$\phi$ ve $\psi$ herhangi iki kuantum durumu vektörü için tensor ürün $\psi\otimes\phi$, Dirac Gösterimi'nde $\ket{\psi}\otimes\ket{\phi}$olarak yazılır. Kural gereği, tensor ürününü $\ket{\psi}\ket{\phi}=\ket{\psi\phi}$olarak da yazabilirsiniz.
Örneğin, sıfır durumuna başlatılan iki kubitin durumu $\ket{{0}\otimes\ket{0}=\ket{0}\ket{0}=\ket{00}$.
Örnek: Dirac gösterimiyle süper pozisyonu açıklama
Bir kuantum durumunu açıklamak için Dirac gösterimini nasıl kullanabileceğinize ilişkin başka bir örnek olarak, n uzunluğundaki her olası bit dizesine eşit $ olan bir kuantum durumu yazmanın aşağıdaki eşdeğer yollarını göz önünde bulundurun$
$$H^{\otimes n}\ket{0}=\frac{1}{2^{n/2}}\sum_{j=0}^{2^n-1}\ket{j}=\ket{+}^{\otimes n.} $$
Burada, n bit için toplamın neden 0'dan $$ 2^$n-1'e {}$$gittiğini merak edebilirsiniz.$ İlk olarak, n$ bitin {alabildiği 2^}$n$ farklı yapılandırma $olduğunu unutmayın. Bunu, bir bitin 2 değer alabileceğini $ancak iki bitin 4$ değer alabileceğini $ve bunun gibi işlemleri gerçekleştirebileceğini belirterek görebilirsiniz.$ Genel olarak bu, 2^n$ farklı olası bit dizeleri olduğu$, ancak bunların herhangi birinde kodlanmış en büyük değerin $1 1\cdots= 2^n-1$ olduğu ve dolayısıyla toplamın üst sınırı olduğu anlamına gelir. Yan not olarak, bu örnekte ^$\ket{}{\otimes}=\ket{}$n ile benzer$\ket{{0} şekilde +{\otimes^} n=+\ket{ kullanmadınız.{0}$ Bu gösterimi kuralı, her kubitin sıfır olarak başlatıldığı hesaplama temeli durumu için ayrılmıştır. Böyle bir kural bu durumda mantıklı olsa da, kuantum bilişimi literatüründe yer almaz.
Dirac gösterimi ile doğrusallığı ifade etme
Dirac gösteriminin bir diğer özelliği de doğrusal olmasıdır. Örneğin, iki karmaşık sayı $\alpha$ ve $\beta$için yazabilirsiniz
$$ \ket{\psi} \otimes ( \alpha\ket{\phi} + \beta\ket{\chi})=\alpha\ket{\psi}\ket{\phi} + \beta\ket{\psi}\ket{\chi}.$$
Yani, Tensor ürün gösterimini Dirac gösteriminde dağıtabilirsiniz, böylece durum vektörleri arasında tensor ürünleri almak sıradan çarpma gibi görünür.
Sütyen vektörleri, ket vektörlerine benzer bir kuralı izler. Örneğin, vektör $\bra{\psi}\bra{\phi}$ ^$\psi\dagger\otimes^(\phi\dagger=)^\psi\otimes\phidurum vektöre \dagger$eşdeğerdir. Ket vektöru +$\ket{\psi}$$\alpha ise\ket{0}\beta, vektörünün \ket{1}$ bra vektör sürümü ^$\bra{\psi}=\ket{\psi}\dagger (=\bra{^* +{0}\alpha^*)\bra{1}\beta'dır.$
Örneğin, durumların + veya$\ket{\psi} olarak ölçülmesi için bir kuantum programı kullanarak durumu=\frac{3}{5}\ket{{1}\frac{4}{5}\ket{0}$$\ket{ ölçme }$olasılığını hesaplamak istediğinizi düşünün.$\ket{{-}$ Ardından cihazın çıkış olasılığı şudur $\ket{-}$ :
$$|\braket{- |^2\psi}|=\left|\frac{{1}{\sqrt{({2}} -\bra{0}\bra{ )({1}\frac{3}{5}\ket{ +{1}\frac{{4}{5} ) \ket{0}^2-5\right|=\left|\frac{3}{\sqrt{ +{2}}\frac{ 5{4}{^2.\sqrt{2}}\right|=\frac{{1}{{50}$$
Olasılık hesaplamasında negatif işaretin görünmesi, kuantum girişiminin bir göstergesidir ve kuantum bilişiminin klasik bilgi işlemden avantaj elde ettiği mekanizmalardan biridir.
ketbra veya dış ürün
Dirac gösteriminde tartışılmaya değer son öğe ketbra veya dış üründür. Dış ürün, Dirac gösteriminde $\ket{\psi}\bra{\phi}$olarak temsil edilir. Dış ürün, matris çarpması aracılığıyla kuantum durumu vektörleri ve için ^$\ket{\psi} olarak\bra{\phi}=\psi\phi\dagger$ tanımlanır.$\psi$$\phi$ Bu gösterimin en basit ve muhtemelen en yaygın örneği,
$$ \ket{0} \bra{ {0} = \begin{bmatrix}1\\ 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1& 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 0\end{bmatrix}\qquad\ket{1}\bra{1}=\begin{bmatrix}0\\ 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}0& 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & 0\\ 0 & 1.\end{bmatrix} $$
Kuantum durumunu sabit bir değere yansıtan Ketbralar genellikle projektör olarak adlandırılır. Bu işlemler ünitesel olmadığından (ve bir vektör normunu bile korumadığından), kuantum bilgisayar bir projektörü belirleyici bir şekilde uygulayamaz. Ancak projektörler, ölçümün kuantum durumundaki eylemini tanımlamak için güzel bir iş yapar. Örneğin, bir durumu $\ket{\psi}$ 0$ olarak $ölçerseniz, ölçümün sonucunda durumun yaşadığı sonuç dönüştürmesi
$$\ket{\psi} \rightok \frac{(\ket{{0}\bra{{0})\ket{\psi}}{|\braket{0 ,|\psi}|}=\ket{{0}$$
durumunu ölçtüyseniz ve olduğunu bulduysanız beklediğiniz $\ket{0}$gibi. Tekrar belirtmek gerekirse, bu tür projektörler kuantum bilgisayardaki bir duruma belirleyici bir şekilde uygulanamaz. Bunun yerine, en iyi ihtimalle rastgele uygulanabilir ve sonuç $\ket{0}$ sabit bir olasılıkla görünür. Bu tür bir ölçümün başarılı olma olasılığı, kuantum projektörünün durumundaki beklenti değeri olarak yazılabilir
$$ \bra{\psi}(\ket{0}\bra{0})\ket{\psi}=|\braket{\psi| 0}|^2,$$
bu, projektörlerin ölçüm işlemini ifade etmek için yeni bir yol sunduğunu gösterir.
Bunun yerine çok kubitli bir durumun ilk kubitini 1$ olarak $ölçmeyi düşünüyorsanız, projektörleri ve Dirac gösterimini kullanarak bu işlemi rahatça açıklayabilirsiniz:
$$P(\text{ilk kubit = 1})=\bra{\psi}\left(\ket{{1}\bra{{1}\otimes \mathbf{\mathbf{1}^{\otimes n-1}\right) . \ket{\psi} $$
Burada kimlik matrisi Dirac gösteriminde şöyle yazılabilir:
$$ \mathbb{I}=\ket{{0}\bra{0}+\ket{{1}\bra{1}=\begin{bmatrix}1& 0\\ 0& 1 \end{bmatrix}. $$
İki kubitli olması durumunda projektör şu şekilde genişletilebilir:
$$ \ket{1} \bra{1} \otimes \mathbb{I}=\ket{{1}\bra{1}\otimes (\ket{0}\bra{0}+\ket{1}\bra{{1})=\ket{10}\bra{{10} + . \ket{{11}\bra{{11} $$
Daha sonra bunun, sütun vektörü gösterimini kullanarak çok kanallı durumlar için ölçüm olasılıkları hakkındaki tartışmayla tutarlı olduğunu görebilirsiniz:
$$P(\text{ilk kubit = 1})=\psi^\dagger (e_{10}e_{10}^\dagger + e_{{11}e_{{11}^\dagger)\psi=|e_{{10}^^\dagger\psi|2 + |e_{11}^^\dagger\psi|2,$$
çok kubitli ölçüm tartışması ile eşleşir. Ancak bu sonucun çok kubitli duruma genelleştirilmesi, Dirac gösterimini kullanarak ifade etmek sütun-vektör gösteriminden biraz daha basittir ve önceki işleme tamamen eşdeğerdir.
Yoğunluk işleçleri
Dirac gösterimini kullanarak ifade etmek için bir diğer yararlı işleç de bazen durum işleci olarak da bilinen yoğunluk işlecidir. Kuantum durumu vektör olarak, yoğunluk işleci bir sistemin kuantum durumunu açıklar. Kuantum durumu vektörleri yalnızca saf durumları temsil edebilirken, yoğunluk işleçleri karma durumları da temsil edebilir.
Daha genel olarak, aşağıdaki koşullar karşılanırsa belirli bir matris $\rho$ geçerli bir yoğunluk işlecidir:
- $\rho$ karmaşık sayıların matrisidir
- $\rho = \rho^{\dagger}$ (diğer bir ifadeyle \ $rho$ Hermitian' dır)
- \rho'nun$ her eigenvalue $p$ değeri $negatif değildir
- Tüm eigenvalues of $\rho$ sum to 1
Bu koşullar birlikte \rho'nun $$ bir topluluk olarak düşünülebileceğini garanti eder. Kuantum durumu vektörünün $\ket{\psi}$ yoğunluk işleci \rho$= _i p_i \sum_i\ket{\psi}_i \bra{\psi}$ \rho'nun $$eigenvalue ayrıştırması biçimindedir, ardından $\rho$ grubu \rho $={_i\ket{\psi}olasılık\text{ p_i }ile tanımlar.}$
Saf kuantum durumları, tek bir ket vektörü veya dalga işlevi ile karakterize edilen ve diğer kuantum durumlarının istatistiksel karışımı (veya dışbükey bileşimi) olarak yazılamayan durumlardır. Karma kuantum durumu, saf durumların istatistiksel bir grubudur.
Bir Bloch küresinde saf durumlar kürenin yüzeyindeki bir noktayla temsil edilirken, karma durumlar bir iç nokta ile temsil edilir. Tek bir kubitin karma durumu, kürenin merkeziyle, simetriyle temsil edilir. Bir durumun saflığı, kürenin yüzeyine yakın olduğu derece olarak görselleştirilebilir.
Durumu vektör yerine matris olarak temsil etme kavramı genellikle kullanışlıdır çünkü olasılık hesaplamalarını temsil etmek için kullanışlı bir yol sağlar ve aynı zamanda aynı formalizm içinde hem istatistiksel belirsizliği hem de kuantum belirsizliğini tanımlamanızı sağlar.
\rho$ yoğunluk işleci$, yalnızca ve yalnızca şu durumda saf bir durumu temsil eder:
- $\rho$ , bir durum vektörünün dış ürünü olarak yazılabilir, $\rho=\ket{\psi}\bra{\psi}$
- $\rho =\rho^2$
- $tr(\rho^2)=1$
Belirli bir yoğunluk işlecinin $\rho'nun$ saf olmaya ne kadar yakın olduğunu söylemek için, \rho^2$ öğesinin izlemesine (diğer bir ifadeyle çapraz öğelerin toplamı) $bakabilirsiniz. Yoğunluk işleci, yalnızca tr(\rho ^$){2}1= ise ve ise $saf bir durumu temsil eder.
Q# kuantum durumlarına eşdeğer geçit dizileri
Kuantum gösterimi ve Q# programlama dili hakkında açıklamaya değer son nokta: Bu belgenin başında kuantum durumunun kuantum bilişimindeki bilgilerin temel nesnesi olduğu belirtildi. Daha sonra, içinde kuantum durumu gösterimi olmaması sürpriz Q# olabilir. Bunun yerine, tüm durumlar yalnızca bunları hazırlamak için kullanılan işlemler tarafından açıklanır. Önceki örnekte bunun mükemmel bir çizimi verilmiştir. Bir yazmaçtaki her kuantum bit dizesi üzerinde tekdüzen bir süper konum ifade etmek yerine, sonucu H^$ n{\otimes} olarak \ket{0}$temsil edebilirsiniz. Durumun bu üstel olarak daha kısa açıklaması yalnızca klasik olarak mantık yürütme avantajına sahip olmakla kalmaz, aynı zamanda algoritmayı uygulamak için yazılım yığını aracılığıyla yayılması gereken işlemleri de kısa bir şekilde tanımlar. Bu nedenle, Q# kuantum durumları yerine geçit dizileri yaymak için tasarlanmıştır; ancak teorik düzeyde iki perspektif eşdeğerdir.