瞭解量子 Oracle
Oracle $O$ 是一項未公開的作業，可作為另一個演算法的輸入。 這類作業通常是使用傳統函 $式 f 來定義：\{0、1\}^n \to \{0、1\}^m$，它會接受 $n$ 位二進位輸入併產生 $m$ 位二進位輸出。 若要這樣做，請考慮特定的二進位輸入 $x（x_、x_{0}{1}、\dots、x_{n-1）。$}= 您可以將量子位狀態$\ket{\vec{標記為 x\ket{}}=x_{0}}\otimes\ket{{x_x_{1}}\otimes\ket{\cdots\otimes{n-1。}}$
您可能先嘗試定義 $O$，讓 $O\ket{x f（x\ket{=}）}$，但這個方法有幾個問題。 首先， $f$ 可能有不同的輸入和輸出大小 （$n \ne m$），因此套用 $O$ 會變更快取器中的量子位數目。 其次，即使 n m，函式可能不可反轉：如果$某些 $x \ne y$ 的 f（x） = f（y），$則 $O x}= O\ket{y 但 $O\ket{^ O\ket{x\ne} O^\dagger\dagger O\ket{y。}$}$$= $ 這表示您無法建構相鄰作業 $O^\dagger$，而且 Oracle 必須為其定義相鄰作業。
根據計算基礎狀態的影響來定義 Oracle
您可以引進第二個量子位緩存器$$來保存答案，以處理這兩個問題。 然後，在所有計算基礎狀態上定義 Oracle 的效果：針對所有 x \0、1\}^n$ 和 $y \in \{0、1\}^m、{\in $$
$$\begin{\begin{align}O（\ket{x y}）\ket{= x\ket{}}\otimes\otimes\ket{y \oplus f（x）.} \end{align} $$
現在 $O = ^\dagger$ 建構，您解決了先前兩個問題。
提示
$若要查看 O O^，請注意 $O=^{\dagger}$2=\mathbf{1}$，因為 $\oplus b \oplus b =$ a 代表所有 $a、b \in{0、1。}$ 因此，O x}y \oplus f（x）}\ket{=x\ket{}y \oplus f（x） \oplus f（x） \oplus f（x）}=\ket{x}\ket{y。}$\ket{\ket{$
重要的是，針對每個計算基礎狀態 x y 以這種方式定義 Oracle，也會定義 O$ 對任何其他狀態的運作方式。}$}\ket{$\ket{$ 此行為緊接在 $O$，就像所有量子作業一樣，在作用中狀態是線性的。 例如，假設已定義 $H +}$ 和 $H \ket{1}=\ket{-}$\ket{0}=\ket{的 Hadamard 作業。 如果您想要知道 H$ 在 +}$上的$\ket{運作方式$，可以使用該 $H$ 是線性的，
$$\begin{align}H\ket{+}& =\frac{1}{\sqrt{{2}}H（ + \ket{{1}） =\frac{1}{\sqrt{{2}} （\ket{0}H\ket{0} + H\ket{1}） \\& =\frac{1}{\sqrt{2}}（\ket{+} + ） =\frac{-}\ket{12 （{0}\ket{ + + \ket{\ket{{0}{1} -{1}\ket{ ） 。 =\ket{{0} \end{align} $$
定義 Oracle $O$ 時，您也可以同樣地使用 n + m$ 量子位上$的任何狀態$\ket{\psi}$都可以寫入為
$$\begin{\begin{align}\ket{\psi}&放大器; =\sum_{x \in \{0， 1\}^n， y \in \{0， 1\}^m}\alpha（x， y） \ket{x}\ket{y}. \end{align} $$
在這裡： $\alpha \{0、1\}^n \times \{0、1\}^m\mathbb{\to C}$ 代表狀態$\ket{\psi}$的係數。 因此，
$$\begin{\begin{align}O \ket{\psi}& =O \sum_{x \in \{0， 1\}^n， y \in \{0， 1\}^m\alpha}（x， y） \ket{x\ket{}y\\&}amp; =\sum_{x \in \{0， 1\}^n， y \in \{0， 1\}^m}\alpha（x， y） O \ket{x}\ket{y\\&}amp; =\sum_{x \in \{0， 1\}^n， y \in \{0， 1\}^m\alpha}（x， y） \ket{x}\ket{y \oplus f（x）}. \end{align} $$
階段 Oracle
或者，您可以將 f 編碼為 Oracle $O$，方法是根據輸入將階段套用至 $O。$$$ 例如，您可以定義 $O$，\begin{\begin{align}$$讓 O \ket{x=} （-1）^{f（x）}\ket{x。} \end{align} $$
如果階段 Oracle 一開始以計算基礎狀態 $\ket{x}$ 執行緩存器，則此階段是全域階段，因此無法觀察。 但是，如果套用至迭加或做為受控制的作業，這類 Oracle 可以是強大的資源。 例如，請考慮單一量子位函$式 f$ 的階段 oracle $O_f$。 然後， $$\begin{align} O_f \ket{+}& =O_f （\ket{0} +{1}\ket{ ） /\\&\sqrt{{2} amp; =（（-1）^{f（0）}\ket{0} + （-1）^{f（1）\ket{1}}） /&\sqrt{2}\\ amp; =（-1）^{f（0）} （{0}\ket{ + （-1）^{f（1） - f（0）{1}\ket{}） /&\sqrt{{2}\\ amp; = （-1）^f（0） Z^{{f（0）} - f（1）}\ket{+。} \end{align} $$
注意
請注意，$Z^Z^{\dagger}=Z$，因此 $Z{^{-1}=f（0）-f（1）}=Z^{f（1）-f（0）}。$
更普遍地，可以擴大兩個 Oracle 檢視來表示傳統函式，以傳回實數，而不是只傳回單一位。
選擇實作 Oracle 的最佳方式，在很大程度上取決於此 Oracle 如何在指定的演算法內使用。 例如， Deutsch-Jozsa 演算法 依賴第一種方式實作的 Oracle，而 Grover 的演算法 則依賴以第二種方式實作的 Oracle。
如需詳細資訊，請參閱 Gilyén 1711.00465 中的討論。