「Oracle」$O$ 是一項未公開的運算，可作為另一個算法的輸入。 這類作業通常是使用傳統函 $式 f 來定義：\{0、1\}^n \to \{0、1\}^m$，它會接受 $n$ 位二進位輸入併產生 $m$ 位二進位輸出。 要實現這一點，請考慮特定的二進位輸入 $x=（x_{0}、x_{1}、\dots、x_{n-1}）$。 您可以將量子位狀態$\ket{\vec{標記為 x}}=\ket{x_{{0}}\otimes\ket{x_x_{1}}\otimes\cdots\otimes\ket{{n-1。}}$
您可能先嘗試定義 $O$，讓 $O\ket{x}=\ket{f(x)}$，但這個方法有幾個問題。 首先， $f$ 可能有不同的輸入和輸出大小 （$n \ne m$），因此套用 $O$ 會變更快取器中的量子位數目。 其次，即使 n m，函式可能不可反轉：如果$某些 =x $ y$ 的 f（x） = f（y），$則 $O x\ne$ O$y 但 \ket{O}^ O=x\ket{}$ O^$\dagger O\ket{y。}\ne\dagger\ket{}$ 這表示您無法建構相鄰作業 $O^\dagger$，而且 Oracle 必須為其定義相鄰作業。
根據計算基礎狀態的影響來定義 Oracle
您可以引進第二個量子位緩存器$$來保存答案，以處理這兩個問題。 然後，在所有計算基底狀態上定義神諭的效果：針對所有 $x \in 0, 1 {^n } 及 $y $ 0, 1 \in^m{}$，
$$ \begin{ \begin{align} O(\ket{x y})\otimes\ket{ x}=\ket{}\otimes\ket{y \oplus f(x)}. \end{align} $$
現在由於$O = O^\dagger$ 的構造，您解決了先前兩個問題。
提示
$若要查看 O O^，請注意 =O{\dagger}$^$2=\mathbf{1}$，因為 $\oplus b \oplus b =$ a 代表所有 $a、b \in{0、1。}$ 因此，O x$y \oplus f（x）\ket{}\ket{x}=y \oplus f（x）\ket{}\ket{x}=y。\ket{}\ket{}$
重要的是，針對每個計算基礎狀態 x y 以這種方式定義 Oracle，也會定義 O$\ket{ 對任何其他狀態的運作方式。}\ket{}$$$ 此行為直接源於$O$，就像所有量子作業一樣，對其作用的狀態是線性的。 例如，假設已定義 $H +\ket{0} 和 =H \ket{}$$\ket{1}=\ket{-}$的 Hadamard 作業。 如果您想要知道 $H$ 如何作用於 $\ket{+}$，可以使用 $H$ 是線性的。
$$ \begin{align}H\ket{+}&=\frac{1}{\sqrt{{2}}H(\ket{0} + \ket{){1}=\frac{1}{\sqrt{({2}}H\ket{0} + H\ket{1})\\&=\frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{+} +\ket{{-})=\frac12(\ket{{0} +\ket{{1} +\ket{{0} -\ket{{1})=\ket{{0}. \end{align} $$
定義 Oracle $O$ 時，您也可以同樣地使用 n + m$\ket{\psi}$ 量子位上$的任何狀態$都可以寫入為
在這裡： $\alpha \{0、1\}^n \times \{0、1\}^m\to\mathbb{ C}$ 代表狀態$\ket{\psi}$的係數。 因此，
$$ \begin{ \begin{align}O \ket{\psi}& =O \sum_{x \in \{0， 1\}^n， y \in \{0， 1\}^m}\alpha（x， y） \ket{x}\ket{y}\\& =\sum_{x \in \{0， 1\}^n， y \in \{0， 1\}^m}\alpha（x， y） O \ket{x}\ket{y}\\& =\sum_{x \in \{0， 1\}^n， y \in \{0， 1\}^m}\alpha（x， y） \ket{x}\ket{y \oplus f（x）}. \end{align} $$
階段神諭
或者，您可以根據輸入將相位套用至 Oracle $O$ 的方式，將 $f$ 編碼為 $O$。 例如，您可以定義 $O$ 使得 $$\begin{\begin{align} O \ket{x}=（－1）^{f（x）}\ket{x。} \end{align} $$
如果相位神諭作用於一開始處於計算基態的暫存器 $\ket{x}$，那麼此相位為全域相位，因此無法觀察。 但是，如果套用至疊加或作為受控制的操作，這類 Oracle 可以是強而有力的資源。 例如，請考慮一個單一量子位函數 $f$ 的階段 oracle $O_f$。 然後，$$\begin{align} O_f \ket{+}& = O_f（\ket{0} + \ket{{1}）/\sqrt{{2}\\& =（（-1）^{f（0）}\ket{0} + （-1）^{f（1）}\ket{1}）/\sqrt{2}\\& =（-1）^{f（0）}（\ket{{0} + （-1）^{f（1） - f（0）}\ket{{1}）/\sqrt{{2}\\& =（-1）^{f（0）} Z^f（0）{ - f（1）}\ket{+}。 \end{align} $$
注意
請注意，$Z^Z^{-1}=Z{\dagger}=，因此 $Z$^{f（0）-f（1）}=Z^{f（1）-f（0）}。$
更普遍地，可以將兩種預言機的觀點擴大來表示經典函數，這類函數傳回實數，而不僅僅是傳回單一位。
選擇實作 Oracle 的最佳方式，在很大程度上取決於此 Oracle 如何在指定的演算法內使用。 例如， Deutsch-Jozsa 演算法 依賴第一種方式實作的 Oracle，而 Grover 的演算法 則依賴以第二種方式實作的 Oracle。
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