附錄：矩陣轉換

本主題提供 2D 圖形矩陣轉換的數學概觀。 不過，您不需要知道矩陣數學，才能在 Direct2D 中使用轉換。 如果您對數學感興趣，請閱讀本主題;否則，請放心略過本主題。

• 矩陣簡介
  • 矩陣作業
• Affine Transforms
  • 翻譯轉換
  • 調整轉換
  • 繞原點旋轉
  • 繞任意點旋轉
  • 扭曲轉換
• 代表 Direct2D 中的轉換
• 下一步

矩陣簡介

矩陣是實數的矩形陣列。 矩陣 的順序 是資料列和資料行的數目。 例如，如果矩陣有 3 個數據列和 2 個數據行，則順序為 3 × 2。 矩陣通常會以方括弧括住的矩陣元素來顯示：

標記法：矩陣是由大寫字母所指定。 元素會以小寫字母指定。 下標表示元素的資料列和資料行編號。 例如，ij 是位於矩陣 A 之 i'th 列和 j'th 資料行的專案。

下圖顯示 i × j 矩陣，其中包含矩陣中每個儲存格中的個別元素。

矩陣作業

本節說明在矩陣上定義的基本作業。

加法。 兩個矩陣的總和 A + B 是藉由新增 A 和 B 的對應元素來取得：

A + B = \[ a*ij* \] + \[ b*ij* \] = \[ a*ij* + b*ij* \]

純量乘法。 此作業會將矩陣乘以實數。 假設有實數 k，則純量產品 kA 會藉由將 A 的每個元素乘以 k來取得。

kA = k\[ a*ij* \] = \[ k × a*ij* \]

矩陣乘法。 假設有兩個矩陣 A 和 B 具有 order (m × n) 和 (n × p) ，則產品 C = A × B 是具有訂單 (m × p) 的矩陣，定義如下：

或，同樣地：

c*ij* = a*i*1 x b1*j* + a*i*2 x b2*j* + ... + a*in* + b*nj*

也就是說，若要計算每個元素 cij，請執行下列動作：

1. 採用 A 的第 i 列和 B 的第 j 個數據行。
2. 將列和資料行中的每個元素配對相乘：第一個資料列專案乘以第一個資料行專案、第二個數據列專案乘以第二個數據行專案等等。
3. 加總結果。

以下是將 (2 × 2) 矩陣乘以 (2 × 3) 矩陣的範例。

矩陣乘法不是交換的。 也就是說，A × B ≠ B × A。此外，從定義中，其後面不會乘以每一組矩陣。 左側矩陣中的資料行數目必須等於右側矩陣中的資料列數目。 否則，不會定義×運算子。

識別矩陣。 指定 I 的識別矩陣是定義如下的平方矩陣：

I*ij* = 1 如果 *i* = *j*，則為 0，否則為 0。

換句話說，識別矩陣會針對每個元素包含 1 個，其中資料列編號等於資料行編號，而所有其他元素則為零。 例如，以下是 3 個× 3 個識別矩陣。

任何矩陣 M 的下列相等保留。

M x I = M I x M = M

Affine Transforms

相依轉換是一種數學運算，可將一個座標空間對應到另一個座標空間。 換句話說，它會將一組點對應到另一組點。 Affine 轉換有一些功能，讓它們在電腦圖形中很有用。

• Affine 轉換會保留 共構性。 如果三個或多個點落在一行上，它們仍會在轉換之後形成一行。 直線維持直線。
• 兩個相依轉換的組成是一個相依轉換。

2D 空間的 Affine 轉換具有下列形式。

如果您套用稍早指定的矩陣乘法定義，您可以顯示兩個相依轉換的乘積是另一個相依轉換。 若要使用相依轉換來轉換 2D 點，此點會以 1 × 3 矩陣表示。

P = \|x y 1 \|

前兩個專案包含點的 x 和 y 座標。 1 會放在第三個元素中，讓數學正常運作。 若要套用轉換，請將兩個矩陣相乘，如下所示。

P' = P × M

這會展開至下列內容。

where

x' = ax + cy + e y' = bx + dy + f

若要取得轉換點，請取得矩陣 P 的前兩個元素。

p = (x'， y') = (ax + cy + e， bx + dy + f)

注意

1 × n 矩陣稱為 資料列向量。 Direct2D 和 Direct3D 都會使用資料列向量來代表 2D 或 3D 空間中的點。 您可以使用資料行向量 (n × 1) 並轉置轉換矩陣來取得相等的結果。 大部分的圖形文字都會使用資料行向量形式。 本主題提供資料列向量表單，以便與 Direct2D 和 Direct3D 一致性。

 

接下來的數個區段會衍生基本轉換。

翻譯轉換

轉譯轉換矩陣的格式如下。

將點 P 插入此方程式會產生：

P' = (*x* + *dx*， *y* + *dy*)

對應至 x、y) X 軸中由 dx 轉譯的 (點，而 Y 軸則 為 dy 。

調整轉換

縮放轉換矩陣的格式如下。

將點 P 插入此方程式會產生：

P' = (*x* ** * *dx*， *y* * )

對應至 x，y) 以 dx 和 dy縮放的 (點。

繞原點旋轉

在原點周圍旋轉的矩陣具有下列形式。

轉換的點為：

P' = (*x*cosΘ – ysinΘ、*x*sinΘ + *y*cosΘ)

證明。 若要顯示 P 代表旋轉，請考慮下圖。

假設︰

P = (x，y)

要轉換的原始點。

Φ

線條所形成的角度 (0，0) 至 P。

Θ

旋轉 (x，y) 原點的角度。

P' = (x'，y')

已轉換的點。

R

行 (0，0) 到 P 的長度。此外，旋轉圓圈的半徑。

注意

此圖表使用幾何中使用的標準座標系統，其中正 y 軸向上指向。 Direct2D 使用 Windows 座標系統，其中正 Y 軸向下點。

 

X 軸與線條 (0，0) 到 P' 之間的角度為 Ф + Θ。 下列身分識別保留：

x = R cosФ y = R sinФ x' = R cos (Ф + Θ) y' = R sin (Ф+ Θ)

現在在 Θ 方面解決 x' 和 y'。 透過三角加法公式：

x' = R (cosФcosΘ – sinФsinΘ) = RcosФcosΘ – RsinФsinΘ y' = R (sinФcosΘ + cosInΘ) = RsinФcosΘ + RcosФsinΘ

替代，我們得到：

x' = xcosΘ – ysinΘ y' = xsinΘ + ycosΘ

對應至稍早顯示的轉換點 P。

繞任意點旋轉

若要繞著點 (x，y) ，而不是原點旋轉，則會使用下列矩陣。

您可以擷取 (x，y) 成為原點來衍生此矩陣。

讓 (x1、y1) 成為旋轉點 (x0、y0) 繞 (x，y) 點所產生的點。 我們可以衍生 x1，如下所示。

x1 = (x0 – x) cosΘ – (y0 – y) sinΘ + x1 = x0cosΘ – y0sinΘ + \[ (1 – cosΘ) + ysinΘ \]

現在，使用公式 x1 = ax0 + cy0 + e，將這個方程式插入轉換矩陣中。 使用相同的程式衍生 y1。

扭曲轉換

扭曲轉換是由四個參數所定義：

• Θ：沿著 X 軸扭曲的數量，以 Y 軸的角度測量。
• Ф：沿著 Y 軸扭曲的數量，以 X 軸的角度測量。
• (px、 py) ：執行扭曲之點的 x 和 y 座標。

扭曲轉換會使用下列矩陣。

轉換的點為：

P' = (*x* + *y*tanΘ – *py*tanΘ， *y* + *x*tanФ) – *py*tanФ

或對等：

P' = (*x* + (*y* – *py*) tanΘ、*y* + (*x* – *px*) tanФ)

若要查看此轉換的運作方式，請個別考慮每個元件。 Θ 參數會以等於 tanΘ 的數量移動 x 方向的每個點。 下圖顯示 Θ 與 X 軸扭曲之間的關聯性。

以下是套用至矩形的相同扭曲：

Ф 參數的效果相同，但沿著 Y 軸：

下圖顯示套用至矩形的 Y 軸扭曲。

最後，參數 px 和 py 會沿著 X 軸和 y 軸移動扭曲的中心點。

代表 Direct2D 中的轉換

所有 Direct2D 轉換都是相依轉換。 Direct2D 不支援非相依轉換。 轉換是由 D2D1_MATRIX_3X2_F 結構表示。 這個結構會定義 3 × 2 矩陣。 因為 affine 轉換的第三個數據行一律是相同的 ([0， 0， 1]) ，而且因為 Direct2D 不支援非相依轉換，所以不需要指定整個 3 × 3 矩陣。 在內部，Direct2D 會使用 3 × 3 個矩陣來計算轉換。

D2D1_MATRIX_3X2_F的成員會根據其索引位置命名：_11成員是元素 (1，1) ，_12成員是元素 (1，2) 等等。 雖然您可以直接初始化結構成員，但建議您使用 D2D1：：Matrix3x2F 類別。 這個類別會繼承 D2D1_MATRIX_3X2_F ，並提供協助程式方法來建立任何基本相依轉換。 類別也會定義 operator* () 來撰寫兩個或多個轉換，如 在 Direct2D 中套用轉換中所述。

下一個

模組 4. 使用者輸入