Bekerja dengan vektor dan matriks dalam komputasi kuantum

  • Artikel

Beberapa keakraban dengan vektor dan matriks sangat penting untuk memahami komputasi kuantum. Artikel Aljabar linear untuk komputasi kuantum menyediakan penyegaran singkat, dan pembaca yang ingin menyelam lebih dalam disarankan untuk membaca referensi standar pada aljabar linier seperti Strang, G. (1993). Pengantar aljabar linier (Vol. 3). Wellesley, MA: Wellesley-Cambridge Tekan atau referensi online seperti Aljabar Linear.

Vektor

Vektor kolom (atau hanya vektor) $v$ dari dimensi (atau ukuran) $n$ adalah kumpulan $$ n bilangan $kompleks (v_1,v_2,\ldots, v_n)$ yang disusun sebagai kolom:

$$v=\begin{bmatrix} v_1\\ v_2\\ \vdots\\ v_n \end{bmatrix}$$

Norma vektor $v$ didefinisikan sebagai $\sqrt{\sum_i |v_i|^2}$. Vektor dikatakan sebagai norma unit (atau alternatifnya disebut vektor unit) jika normanya adalah $1$. Vektor adjoint$v$ ditunjukkan $v^\dagger$ dan didefinisikan menjadi vektor baris berikut di mana$*$ menunjukkan konjugasi kompleks,

$$\begin{bmatrix}\\ v_1 \vdots \\ v_n \end{bmatrix}^\dagger=\begin{bmatrix}v_1^* & \cdots&Amp; v_n^*\end{bmatrix}$$

Perhatikan bahwa ada perbedaan antara vektor kolom $v$ dan vektor baris $v^\dagger$.

Produk dalam

Dua vektor dapat dikalikan bersama melalui produk bagian dalam, juga dikenal sebagai produk titik atau produk skalar. Seperti namanya, hasil dari produk dalam dari dua vektor adalah skalar. Produk dalam memberikan proyeksi satu vektor ke vektor lain dan sangat berharga dalam menggambarkan bagaimana mengekspresikan satu vektor sebagai jumlah vektor sederhana lainnya. Produk dalam antara dua vektor kolom $u= (u_1, u_2, \ldots, u_n)$ dan $v=(v_1, v_2, \ldots, v_n)$, dilambangkan $\left\langle u, v\right\rangle$ didefinisikan sebagai

$$\left\langleu, v\right\rangle= u^\dagger v=\begin{bmatrix}u_1^* & \cdots&Amp; u_n^* \end{bmatrix}\begin{bmatrix}v_1\\ \vdots\\ v_n=\end{bmatrix}u_1^{*} v_1 + + \cdots _n^{*} v_n. $$

Notasi ini juga memungkinkan norma vektor $v$ ditulis sebagai $\sqrt{\langle v, v\rangle}$.

Vektor dapat dikalikan dengan angka $c$ untuk membentuk vektor baru yang entrinya dikalikan dengan $c$. Anda juga dapat menambahkan dua vektor $u$ dan $v$ untuk membentuk vektor baru yang entrinya adalah jumlah entri $u$ dan $v$. Operasi ini adalah sebagai berikut:

$$\mathrm{Jika}~u =\begin{bmatrix} u_1\\ u_2\\ \vdots\\ u_n \end{bmatrix}~\mathrm{dan}~ v =\begin{bmatrix} v_1\\ v_2\\ \vdots\\ v_n \end{bmatrix},~\mathrm{maka}~ au+bv =\begin{bmatrix} au_1+bv_1\\ au_2+bv_2\\ \vdots\\ au_n+bv_n \end{bmatrix}. $$

Sebuah matriks berukuran $m \times n$ adalah koleksi dari $mn$ nomor kompleks yang disusun dalam baris $m$ dan kolom $n$ seperti yang ditunjukkan di bawah ini:

$M =\begin{bmatrix} M_~~{11}{ M_\cdots{12}~~~~ M_{1n}\\ M_ M_~~{21}{ M_~~~~{{22}{\cdots2n}\\\ddots\\ M_{m1}~~ M_{m2~~\cdots}~~ M_{mn.}\\\end{bmatrix}$

Perhatikan bahwa vektor dimensi $n$ hanyalah matriks ukuran $n \times 1$. Seperti halnya vektor, matriks dapat dikalikan dengan angka $c$ untuk mendapatkan matriks baru di mana setiap entri dikalikan dengan $c$, dan dua matriks dengan ukuran yang sama dapat ditambahkan untuk menghasilkan matriks baru yang entrinya adalah jumlah dari masing-masing entri dari dua matriks.

Perkalian matriks

Anda juga dapat mengalikan dua matriks $M$ dimensi $m\times n$ dan $N$ dimensi $n \times p$ untuk mendapatkan matriks baru $P$ dimensi $m \times p$ sebagai berikut:

$$\begin{\begin{align}&Amp;\begin{bmatrix}{{11}~~ M_ M_\cdots~~~~{12} M_{1n M_~~{{22}\cdots~~{ M_2 M_n}\\{\ddots\\}\\ M_m1 N_m M_~~{{{21}2}~~}\cdots~~~~ M_ N_\end{bmatrix}}{11}\begin{bmatrix}{~~ N_ N_~~{\cdots{{12}~~ N_1p}\\{{22}{21}~~~~~~{\cdots N_ N_ N_2p\ddots\\{}\\ N_n1{}~~ N_n2 N_{np}~~\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}~~\cdots} P_ P_{{11}~~{12}~~\cdots~~{P_1p}\\ P_~~{{21} P_\cdots{22}~~{~~ P_{2p}\\\ddots\\ P_{m1}~~ P_{m2~~\cdots}~~ P_mp{}\end{bmatrix}\end{align}$$

di mana entri $P$ adalah $P_{ik}=\sum_j M_{ij}N_{jk}$. Misalnya, entri $P_{11}$ adalah produk dalam baris pertama $M$ dengan kolom pertama $N$. Perhatikan bahwa karena vektor hanyalah kasus khusus dari matriks, definisi ini meluas ke perkalian matriks-vektor.

Semua matriks yang kita anggap akan menjadi matriks persegi, di mana jumlah baris dan kolom sama, atau vektor, yang sesuai dengan hanya $1$ kolom. Satu matriks persegi khusus adalah matriks identitas, ditandai $\mathbb{\mathbb{I}$, yang memiliki semua elemen diagonalnya sama dengan $1$ dan elemen yang tersisa sama dengan $0$:

$\mathbb{\mathbb{I}=\begin{bmatrix}1 ~~ 0\cdots~~~~0\\ 0 ~~ 1~~~~\cdots0\ddots\\\\~~ 0 ~~ 0\cdots~~~~ 1 .\end{bmatrix}$

Untuk matriks $persegi A$, matriks $B$ adalah inversinya jika $AB = BA =\mathbb{\mathbb{I}$. Kebalikan dari matriks tidak perlu ada, tetapi ketika ada itu unik dan kami menunjukkannya $A ^{-1}$.

Untuk matriks $M$, transpose berdampingan atau konjugat $M$ adalah matriks $N$ sedemikian rupa sehingga $N_{ij}= M_{ji}^*$. Adjoint $M$ biasanya dilambangkan $M ^\dagger$. U matriks $$ adalah satuan jika $UU^ U^=\dagger U^\dagger U =\mathbb{I}$ atau setara, $U^={{-1} U^.\dagger$ Salah satu properti penting dari matriks kesatuan adalah bahwa mereka mempertahankan norma vektor. Hal ini terjadi karena

$\langle v,v v \rangle=^ v^\dagger v = ^\dagger U^{-1} U v = ^\dagger U^\dagger U v =\langle U v, U v\rangle.$

Matriks $M$ dikatakan sebagai Hermitian jika $M=M^\dagger$.

Produk Tensor

Operasi penting lainnya adalah produk Kronecker, juga disebut produk langsung matriks atau produk tensor. Perhatikan bahwa produk Kronecker dibedakan dari perkalian matriks, yang merupakan operasi yang sama sekali berbeda. Dalam teori komputasi kuantum, produk tensor umumnya digunakan untuk menunjukkan produk Kronecker.

Pertimbangkan dua vektor $v=\begin{bmatrix}a \\ b \end{bmatrix}$ and $u =\begin{bmatrix} c \\ d \\ e \end{bmatrix}$. Produk tensor mereka ditunjukkan sebagai $v \otimes u$ dan menghasilkan matriks blok.

$$\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}\otimes\begin{bmatrix} c \\ d \\ e \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a \begin{bmatrix} c \\ d \\ e \end{bmatrix}\\[1.5em] b \begin{bmatrix} c \\ d \\ e\end{bmatrix}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a c \\ a d \\ a e \\ b c \\ b d \\ be\end{bmatrix}$$

Perhatikan bahwa produk tensor adalah operasi pada dua matriks atau vektor dengan ukuran yang tidak ditentukan. Produk tensor dari dua matriks $M$ berukuran $m\times n$ dan $N$ berukuran $p \times q$ adalah matriks $P=M\otimes N$ yang lebih besar dari ukuran $mp \times nq$, dan diperoleh dari $M$ dan $N$ sebagai berikut:

$$\begin{align}M \otimes N &=\begin{bmatrix}{~~~~\cdots{11}M_ M_{1n\\\ddots\\} M_{m1}~~~~\cdots M_{mn\begin{bmatrix}\otimes\end{bmatrix}} N_~~~~{11}\cdots{ N_{1q}\\\ddots\\ N_{p1~~}\cdots~~ N_{pq\end{bmatrix}\\&}amp;=\begin{bmatrix}{\begin{bmatrix}{11}M_ N_~~{11}{\cdots~~ N_{1q}\\\ddots\\ N_{p1~~\cdots}~~ N_{pq\cdots\end{bmatrix}~~}~~ M_{1n}\begin{bmatrix} N_{11}~~~~\cdots N_{1q\ddots\\}\\ N_p1}~~\cdots~~ N_{{pq\end{bmatrix}\\\ddots\\} M_{m1}\begin{bmatrix} N_ N_~~~~{\cdots{11}{1q}\\\ddots\\ N_{pq~~}\cdots~~~~\end{bmatrix}~~}\cdots N_ M_{{mn N_}\begin{bmatrix}{{11}~~\cdots~~{N_1q}\\\ddots\\ N_{p1\cdots}~~~~ N_{pq.}\end{bmatrix}\end{bmatrix} \end{align} $$

Ini lebih baik ditunjukkan dengan contoh: $$a\ b \\ c\ d \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\otimese\ f\\ g\ h \end{bmatrix}\begin{bmatrix}=a\begin{bmatrix} e\ f g\\\ h \end{bmatrix} b\begin{bmatrix} e\ f g\\\ h \end{bmatrix}\\[1em] c\begin{bmatrix} e\ f g\\\ h \end{bmatrix} d\begin{bmatrix} e\ f g\\\ h \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\end{bmatrix}=ae\ af\ be\ bf \\ ag\ ah\ bg\ bh \\ ce\ cf\ de\ df \\ cg\ ch\ dg\ dh .\end{bmatrix}\begin{bmatrix} $$

Konvensi notasi akhir yang berguna seputar produk tensor adalah bahwa, untuk vektor $v$ atau matriks $M$, $v ^{\otimes n}$ atau $M ^{\otimes n}$ adalah kependekkan untuk $produk tensor berulang n-fold$. Contohnya:

\begin{align}&Amp;\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}^{\otimes 1=\begin{bmatrix}} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \qquad\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}^{\otimes 2}=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\0 \\0 \end{bmatrix}, \qquad\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}^{\otimes 2=\begin{bmatrix}} 1 \\ -1 \\-1 \\1 \end{bmatrix},&\\ amp;\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1& 0 \end{bmatrix}^{\otimes 1}=\begin{bmatrix} 0& 1 \\ 1& 0 , \qquad\begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix}& 1 \\ 1& 0 \end{bmatrix}^{\otimes 2}=\begin{bmatrix} 0 & 0& 0& 1 \\ 0 & 0& 1& 0 \\ 0 & 1& 0& 0\\ 1 & 0& 0& 0\end{bmatrix}. \end{align}

Langkah berikutnya