Vektor dan matriks dalam komputasi kuantum
Beberapa keakraban dengan aljabar linier sangat penting untuk memahami komputasi kuantum. Artikel ini memperkenalkan konsep dasar aljabar linier dan cara bekerja dengan vektor dan matriks dalam komputasi kuantum.
Vektor
Vektor kolom, atau vektor untuk dimensi pendek, $v$ (atau ukuran) $n$ adalah kumpulan $angka $kompleks n$ (v_1,v_2,\ldots,v_n)$ yang disusun sebagai kolom:
$$v=\begin{bmatrix} v_1\\ v_2\\ \vdots\\ v_n \end{bmatrix}$$
Norma vektor $v$ didefinisikan sebagai $\sqrt{\sum_i |v_i|^2}$. Vektor disebut vektor unit jika normanya adalah $1$.
Penggambaran vektor kolom v$ adalah vektor $baris yang ditandai sebagai $v^\dagger$ dan didefinisikan sebagai transpose $konjugasi v$. Untuk vektor $kolom v$ dimensi $n$, adjoint adalah vektor baris dimensi $1 \times n$:
$$\begin{bmatrix}\\ v_1 \vdots \\ v_n \end{bmatrix}^\dagger=\begin{bmatrix}v_1^* & \cdots&Amp; v_n^*\end{bmatrix}$$
di mana $v_i^*$ menunjukkan konjugasi $v_i$ yang kompleks.
Menggunakan aljabar linier, status qubit $=\psia \ket{0} + b \ket{1}$ digambarkan sebagai vektor$\begin{bmatrix} status kuantum a \\ b \end{bmatrix}$, di mana $|a|^2 + |b|^2 = 1.$ Untuk informasi selengkapnya, lihat Qubit.
Produk skalar
Dua vektor dapat dikalikan bersama-sama melalui produk skalar, juga dikenal sebagai produk titik atau produk dalam. Seperti namanya, hasil dari produk skalar dari dua vektor adalah skalar. Produk skalar memberikan proyeksi satu vektor ke vektor lain dan digunakan untuk mengekspresikan satu vektor sebagai jumlah vektor lain yang lebih sederhana. Produk skalar antara dua vektor $kolom u$ dan $v$ ditandai sebagai $\left\langle u, v\right\rangle= u^\dagger v $ dan didefinisikan sebagai
$$\left\langleu, v\right\rangle= u^\dagger v=\begin{bmatrix}u_1^* & \cdots&Amp; u_n^* \end{bmatrix}v_1 \vdots\\ v_n= \end{bmatrix}u_1^* v_1 + + \cdots u_n^* v_n.\\\begin{bmatrix} $$
Dengan produk skalar, norma vektor $v$ dapat ditulis sebagai $\sqrt{\langle v, v\rangle}$.
Anda dapat mengalikan vektor dengan angka $a$ untuk membentuk vektor baru yang entrinya dikalikan dengan$.$ Anda juga dapat menambahkan dua vektor $u$ dan $v$ untuk membentuk vektor baru yang entrinya adalah jumlah entri $u$ dan $v$. Operasi ini adalah sebagai berikut:
$$\mathrm{Jika}~u =\begin{bmatrix} u_1\\ u_2\\ \vdots\\ u_n \end{bmatrix}~\mathrm{dan}~ v =\begin{bmatrix} v_1\\ v_2\\ \vdots\\ v_n \end{bmatrix},~\mathrm{ maka}~ au+bv =\begin{bmatrix} au_1+bv_1\\ au_2+bv_2\\ \vdots\\ au_n+bv_n \end{bmatrix}$$
Matriks
Matriks ukuran $m \times n$ adalah kumpulan $angka kompleks m\cdot n$ yang disusun dalam $baris m$ dan $kolom n$ seperti yang ditunjukkan di bawah ini:
$M =\begin{bmatrix} M_{~~{11} M_{12}\cdots~~~~ M_{1n}\\ M_~~{{21} M_\cdots{22}~~{~~ M_{2n}\\\ddots\\ M_{m1}~~ M_{m2~~\cdots}~~ M_{mn}\\\end{bmatrix}$
Catatan
Perhatikan bahwa vektor dimensi $n$ hanyalah matriks ukuran $n \times 1$.
Operasi kuantum diwakili oleh matriks kuadrat, yaitu, jumlah baris dan kolom sama. Misalnya, operasi qubit tunggal diwakili oleh $2 \times 2$ matriks, seperti operasi Pauli $X$
$$X =\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$$
Tip
Dalam Q#, operasi Pauli $X$ diwakili oleh X operasi.
Seperti halnya vektor, Anda dapat mengalikan matriks dengan angka $c$ untuk mendapatkan matriks baru di mana setiap entri dikalikan dengan $c$, dan dua matriks dengan ukuran yang sama dapat ditambahkan untuk menghasilkan matriks baru yang entrinya adalah jumlah entri masing-masing dari dua matriks.
Perkalian matriks
Anda juga dapat mengalikan matriks $M$ dimensi $m\times n$ dan matriks $N$ dimensi $n \times p$ untuk mendapatkan matriks $baru P$ dimensi $m \times p$ sebagai berikut:
$$\begin{\begin{align}&Amp;\begin{bmatrix} {{11}~~ M_ M_{12}{~~~~\cdots M_1 M_~~{21}\cdots~~{{{~~{22}n}\\ M_ M_2n\ddots\\}\\ M_{m1{~~} M_m2\cdots~~~~} M_ N_{mn\end{bmatrix}{11}~~\begin{bmatrix}} N_ N_{{~~{12}~~\cdots N_1p{}\\{21}~~~~~~{22}\cdots{ N_ N_ N_2p\ddots\\}\\ N_{n1~~}{ N_n2}~~~~\cdots N_{np\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}} P_ P_ P_{{11}~~ {12}~~\cdots~~ {P_ P_1p}\\ P_~~{{21} P_{22}~~\cdots{~~ P_{2p}\\\ddots\\ P_{m1~~} P_{{m2}~~\cdots~~}\end{bmatrix}\end{align}$$
di mana entri $P$ adalah $P_{ik}=\sum_j M_{ij}N_{jk}$. Misalnya, entri $P_ adalah produk skalar dari baris $pertama M$ dengan kolom $pertama N${11}$. Perhatikan bahwa karena vektor hanyalah kasus khusus dari matriks, definisi ini meluas ke perkalian matriks-vektor.
Jenis matriks khusus
Satu matriks persegi khusus adalah matriks identitas, dilambangkan $\mathbb{\mathbb{I}$, yang memiliki semua elemen diagonalnya sama dengan $1$ dan elemen yang tersisa sama dengan $0$:
$\mathbb{\mathbb{I}=\begin{bmatrix} 1 ~~ 0 ~~\cdots~~ 0\\ 0 ~~ 1 ~~\cdots~~ 0\\~~\ddots\\ 0 ~~ 0 ~~\cdots~~ 1 \end{bmatrix}.$
Untuk matriks persegi $A$, matriks $B$ adalah kebalikannya jika $AB = BA =\mathbb{\mathbb{I}$. Jika matriks $A$ memiliki inversi, matriks terbalik unik dan ditulis sebagai $A^{-1}$.
Untuk matriks $M$, transpose berdampingan atau konjugat $M$ adalah matriks $N$ sedemikian rupa sehingga $N_{ij}= M_{ji}^*$. Adjoint M $$ ditandai $M^\dagger$.
Matriks $U$ adalah kesatuan jika $UU ^\dagger= U^\dagger U =\mathbb{I}$ atau setara, $U^{{-1}=U^\dagger$. Salah satu properti penting dari matriks kesatuan adalah bahwa mereka mempertahankan norma vektor. Hal ini terjadi karena
$\langle v,v \rangle=v^\dagger v = v^\dagger U^{-1} U v = v^\dagger U^\dagger U v =\langle U v, U v\rangle.$
Catatan
Operasi kuantum diwakili oleh matriks uniter, yang merupakan matriks kuadrat yang berdampingan sama dengan inversinya.
Matriks M disebut Hermitian jika $M=M^\dagger$.$ $
Dalam komputasi kuantum, pada dasarnya hanya ada dua matriks yang Anda temui: Hermitian dan unitary.
Produk Tensor
Operasi penting lainnya adalah produk tensor, juga disebut produk langsung matriks atau produk Kronecker.
Pertimbangkan dua vektor $v=\begin{bmatrix}a \\ b \end{bmatrix}$ dan $u =\begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix}$. Produk tensor mereka ditunjukkan sebagai $v \otimes u$ dan menghasilkan matriks blok.
$$\begin{bmatrix}a \\ b \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\otimesc \\ d \end{bmatrix}\begin{bmatrix}=a \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix}\\[1.5em] b \begin{bmatrix} c \\ d\begin{bmatrix}=\end{bmatrix}\end{bmatrix} a c \\ a d \\ b c \\ b d\end{bmatrix}$$
Catatan
Perhatikan bahwa produk tensor dibedakan dari perkalian matriks, yang merupakan operasi yang sama sekali berbeda.
Produk tensor digunakan untuk mewakili status gabungan dari beberapa qubit. Kekuatan nyata komputasi kuantum berasal dari memanfaatkan beberapa qubit untuk melakukan komputasi. Untuk informasi selengkapnya, lihat Operasi pada beberapa qubit.
Produk tensor dari dua matriks $persegi M$ dan $N$ ukuran $n n\times$ adalah matriks $P=M\otimes N$ yang lebih besar dengan ukuran $n^2 \times n^2$. Contohnya:
$$\begin{bmatrix}a\ b \\ c\ d \end{bmatrix}\otimes\begin{bmatrix} e\ f\\ g\ h \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a\begin{bmatrix} e\ f\\ g\ h \end{bmatrix} b\begin{bmatrix} e\ f\\ g\ h \end{bmatrix}\\[1em] c\begin{bmatrix} e\ f\\ g\ h \end{bmatrix} d\begin{bmatrix} e\ f\\ g\ h=\begin{bmatrix} \end{bmatrix}\end{bmatrix}ae\ af\ be\ bf \\ ag\ ah\ bg\ bh \\ ce\ cf\ de\ df \\ cg\ ch\ dg\ dh .\end{bmatrix} $$
Eigenvalues dan eigenvectors
Pertimbangkan M$ matriks $persegi dan vektor $v$. Vektor $v$ adalah eigenvector dari $M$ jika $Mv = cv$ untuk beberapa nomor $c$. Bilangan bulat $c$ adalah eigenvalue yang sesuai dengan eigenvector $v$.
Secara umum, M$ matriks $dapat mengubah vektor menjadi vektor lainnya. Eigenvector istimewa karena tidak berubah kecuali untuk dikalikan dengan angka. Jika $v$ adalah eigenvector dengan eigenvalue $c$, maka $av$ juga merupakan eigenvector (untuk nonzero $a$) dengan eigenvalue yang sama. Misalnya, untuk matriks identitas, setiap vektor $v$ adalah eigenvector dengan eigenvalue $1$.
Sebagai contoh lain, pertimbangkan matriks$diagonal D$, yang hanya memiliki entri bukan nol pada diagonal:
$$\begin{bmatrix}&d_1 amp; 0 & 0 \\ 0 & d_2 & 0 \\ 0 & 0 & d_3 \end{bmatrix}. $$
Vektor
$$\begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ 0\end{bmatrix}\text{dan}\begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix}$$
adalah eigenvectors dari matriks ini dengan eigenvalues $d_1$, $d_2$, dan $d_3$, masing-masing. Jika $d_1$, $d_2$, dan $d_3$ adalah bilangan yang berbeda, vektor-vektor ini (dan kelipatannya) adalah satu-satunya eigenvectors dari matriks $D$.
Secara umum, untuk matriks diagonal mudah untuk membaca eigenvalues dan eigenvectors. Eigenvalues adalah semua angka yang muncul pada diagonal, dan eigenvectors masing-masing adalah vektor unit dengan satu entri yang sama dengan $1$ dan entri yang tersisa sama dengan $0$.
Perhatikan dalam contoh bahwa eigenvectors $D$ membentuk dasar untuk $vektor 3$ dimensi. Basis adalah seperangkat vektor sedemikian rupa sehingga vektor apa pun dapat ditulis sebagai kombinasi linier dari mereka. Lebih eksplisit, $v_1$, $v_2$, dan $v_3$ membentuk basis jika ada vektor $v$ yang dapat ditulis sebagai $v=a_1 v_1 + a_2 v_2 + a_3 v_3$ untuk beberapa angka $a_1$, $a_2$, dan $a_3$.