Aljabar linier untuk komputasi kuantum

Aljabar linear adalah bahasa komputasi kuantum. Meskipun Anda tidak perlu mengetahuinya agar bisa menerapkan atau menulis program kuantum, ini banyak digunakan untuk menggambarkan status qubit, operasi kuantum, dan untuk memprediksi apa yang dilakukan komputer kuantum dalam menanggapi urutan instruksi.

Sama halnya terbiasa dengan konsep dasar fisika kuantum dapat membantu Anda memahami komputasi kuantum, mengetahui beberapa aljabar linier dasar dapat membantu Anda memahami cara kerja algoritme kuantum. Setidaknya, Anda pasti ingin terbiasa dengan vektor dan perkalian matriks. Jika Anda perlu me-refresh pengetahuan Anda tentang konsep aljabar ini, berikut adalah beberapa tutorial yang mencakup dasar-dasarnya:

Vektor dan matriks dalam komputasi kuantum

Qubit dapat dalam status 1 atau 0 atau superposisi keduanya. Dengan menggunakan aljabar linier, status qubit digambarkan sebagai vektor dan diwakili oleh matriks kolom tunggal $\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}$. Hal ini juga diketahui sebagai vektor status kuantum dan harus memenuhi persyaratan bahwa $|a|^2 + |b|^2 = 1$.

Unsur-unsur matriks yang mewakili peluang qubit gagal karena satu dan lain hal, dengan $|a|^2$ menjadi peluang gagal menjadi nol, dan$|b|^2$ menjadikan probabilitas gagal menjadi satu. Matriks berikut semuanya mewakili vektor status kuantum yang valid:

$$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{-1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}, \text{ and }\begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{i}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}.$$ Operasi kuantum juga dapat diwakili oleh matriks. Ketika operasi kuantum diterapkan pada qubit, dua matriks yang mewakilinya dikalikan dan jawaban yang dihasilkan mewakili status baru qubit setelah operasi.

Berikut dua operasi kuantum umum yang diwakili dengan perkalian matriks.

Operasi X yang diwakili oleh matriks Pauli $X$,

$$X = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix},$$

dan digunakan untuk membalik status qubit dari 0 menjadi 1 (atau sebaliknya), misalnya

$$\begin{bmatrix}0 &1\\ 1 &0\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}.$$

Operasi 'H' diwakili oleh transformasi Hadamard $H$,

$$H = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1 &1\\ 1 &-1\end{bmatrix},$$

dan menempatkan qubit ke dalam status superposisi di mana qubit memiliki peluang yang sama untuk gagal dengan cara apa pun, seperti yang ditunjukkan di sini

$$\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1 &1\\ 1 &-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}.$$

Perhatikan bahwa $|a|^2 =|b|^2 = \frac{1}{2}$, yang berarti bahwa peluang gagal menjadi nol dan satu status adalah sama.

Matriks yang mewakili operasi kuantum memiliki satu persyaratan – yaitu harus menjadi matriks kesatuan. Matriks bersifat kesatuan jika kebalikan dari matriks sama dengan transpos konjugasi matriks.

Mewakili status dua qubit

Dalam contoh di atas, status satu qubit dijelaskan menggunakan matriks kolom tunggal $\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}$, dan menerapkan operasi untuk itu dijelaskan dengan mengalikan dua matriks. Namun, komputer kuantum menggunakan lebih dari satu qubit, jadi bagaimana Anda menggambarkan status gabungan dari dua qubit?

Ingatlah bahwa setiap qubit merupakan ruang vektor, sehingga tidak bisa dikalikan begitu saja. Sebagai gantinya, Anda menggunakan produk tensor, yang merupakan operasi terkait yang menciptakan ruang vektor baru dari ruang vektor individual, dan diwakili oleh simbol $\otimes$. Misalnya, produk tensor dari dua status qubit $\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}$ dan $\begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix}$ dihitung

$$ \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} a \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix} \\ b \begin{bmatrix}c \\ d \end{bmatrix} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ac \\ ad \\ bc \\ bd \end{bmatrix}. $$

Hasilnya adalah matriks empat dimensi, dengan setiap elemen mewakili peluang. Misalnya, $ac$ adalah peluang dari dua qubit yang gagal menjadi 0 dan 0, $ad$ adalah peluang 0 dan 1, dan seterusnya.

Sama seperti status qubit tunggal $\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}$ harus memenuhi persyaratan yang $|a|^2 + |b|^2 = 1$ untuk mewakili status kuantum, status dua qubit $\begin{bmatrix} ac \\ ad \\ bc \\ bd \end{bmatrix}$ yang persyaratan yang $|ac|^2 + |ad|^2 + |bc|^2+ |bd|^2 = 1$.

Ringkasan

Aljabar linear adalah bahasa standar untuk menggambarkan komputasi kuantum dan fisika kuantum. Meskipun pustaka disertakan dengan Microsoft Quantum Development Kit membantu Anda menjalankan algoritme kuantum canggih tanpa menyelami matematika yang mendasarinya, memahami dasar-dasarnya membantu Anda memulai dengan cepat dan memberikan dasar yang kuat untuk dibangun.

Langkah berikutnya