Aljabar linier untuk komputasi kuantum

Aljabar linear adalah bahasa komputasi kuantum. Meskipun Anda tidak perlu mengetahuinya agar bisa menerapkan atau menulis program kuantum, ini banyak digunakan untuk menggambarkan status qubit, operasi kuantum, dan untuk memprediksi apa yang dilakukan komputer kuantum dalam menanggapi urutan instruksi.

Sama halnya terbiasa dengan konsep dasar fisika kuantum dapat membantu Anda memahami komputasi kuantum, mengetahui beberapa aljabar linier dasar dapat membantu Anda memahami cara kerja algoritme kuantum. Setidaknya, Anda pasti ingin terbiasa dengan vektor dan perkalian matriks. Jika Anda perlu me-refresh pengetahuan Anda tentang konsep aljabar ini, berikut adalah beberapa tutorial yang mencakup dasar-dasarnya:

Vektor dan matriks dalam komputasi kuantum

Qubit dapat dalam status 1 atau 0 atau superposisi keduanya. Menggunakan aljabar linier, status kubit digambarkan sebagai vektor dan diwakili oleh matriks$\begin{bmatrix} kolom tunggal a \\ b \end{bmatrix}$. Ini juga dikenal sebagai vektor status kuantum dan harus memenuhi persyaratan bahwa $|a|^2 + |b|^2 = 1$.

Elemen matriks mewakili probabilitas qubit yang menciutkan satu atau yang lain, dengan $|a^2$ menjadi probabilitas menciut menjadi nol, dan $|b|^2$ menjadi probabilitas penciutkan| menjadi satu. Matriks berikut semuanya mewakili vektor status kuantum yang valid:

$$\begin{bmatrix}1 0 , 0 1 , ,\\{1}{\sqrt{2}}\frac{\end{bmatrix}\frac{\begin{bmatrix}{1}{\sqrt{2}} ,{2}}\\\begin{bmatrix}\frac{{-1}{\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{\end{bmatrix} , \text{ dan\frac{\\{2}}\frac{1}{\sqrt{}\begin{bmatrix} -i.$$\end{bmatrix}}{\sqrt{2}}\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}\end{bmatrix}\\ Operasi kuantum juga dapat diwakili oleh matriks. Ketika operasi kuantum diterapkan pada qubit, dua matriks yang mewakilinya dikalikan dan jawaban yang dihasilkan mewakili status baru qubit setelah operasi.

Berikut dua operasi kuantum umum yang diwakili dengan perkalian matriks.

Operasi ini X diwakili oleh matriks $Pauli X$,

$$X =0 amp; 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix},&\begin{bmatrix}$$

dan digunakan untuk membalik status qubit dari 0 menjadi 1 (atau sebaliknya), misalnya

$$\begin{bmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}=0 \\ 1 .\end{bmatrix}$$

Operasi ini H diwakili oleh transformasi $Hadamard H$,

$$H = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1 & 1\\ 1 &-1\end{bmatrix},$$

dan menempatkan qubit ke dalam status superposisi di mana qubit memiliki peluang yang sama untuk gagal dengan cara apa pun, seperti yang ditunjukkan di sini

$$\frac{{1}{\sqrt{{2}}\begin{bmatrix}1 & 1\\ 1 &-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}.$$

Perhatikan bahwa $|a|^2 =|b|^2 =\frac{1}{2}$, yang berarti bahwa probabilitas penciutkan menjadi nol dan satu status sama.

Matriks yang mewakili operasi kuantum memiliki satu persyaratan – yaitu harus menjadi matriks kesatuan. Matriks bersifat kesatuan jika kebalikan dari matriks sama dengan transpos konjugasi matriks.

Mewakili status dua qubit

Dalam contoh di atas, status satu qubit dijelaskan menggunakan matriks $\begin{bmatrix} kolom tunggal a \\ b \end{bmatrix}$, dan menerapkan operasi ke dalamnya dijelaskan dengan mengalikan dua matriks. Namun, komputer kuantum menggunakan lebih dari satu qubit, jadi bagaimana Anda menggambarkan status gabungan dari dua qubit?

Catatan

Kekuatan nyata komputasi kuantum berasal dari memanfaatkan beberapa qubit untuk melakukan komputasi. Untuk penyelaman yang lebih dalam tentang topik ini, lihat Operasi pada beberapa qubit.

Ingatlah bahwa setiap qubit merupakan ruang vektor, sehingga tidak bisa dikalikan begitu saja. Sebagai gantinya, Anda menggunakan produk tensor, yang merupakan operasi terkait yang menciptakan ruang vektor baru dari ruang vektor individual, dan diwakili oleh $\otimes$ simbol . Misalnya, produk tensor dari dua qubit menyatakan $\begin{bmatrix} b \\\end{bmatrix}$ dan $\begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix}$ dihitung

$$\begin{bmatrix}a \\ b \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\otimesc \\ d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix}\\ b c \begin{bmatrix}d \end{bmatrix}=\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix} ac \\ ad \\ bc \\ bd .\end{bmatrix} $$

Hasilnya adalah matriks empat dimensi, dengan setiap elemen mewakili peluang. Misalnya, $ac$ adalah probabilitas dari dua qubit yang runtuh menjadi 0 dan 0, $iklan$ adalah probabilitas 0 dan 1, dan sebagainya.

Sama seperti status $\begin{bmatrix} qubit tunggal a \\ b \end{bmatrix}$ harus memenuhi persyaratan bahwa $|a|^2 + |b|^2 = 1$ untuk mewakili status kuantum, status dua-kubit $\begin{bmatrix} ac \\ ad \\ bc \\ bd \end{bmatrix}$ harus memenuhi persyaratan bahwa $|ac|^2 + |ad|^2 + |bc|^2+ |bd|^2 = 1$.

Ringkasan

Aljabar linear adalah bahasa standar untuk menggambarkan komputasi kuantum dan fisika kuantum. Meskipun pustaka standar yang disertakan dengan Microsoft Quantum Development Kit membantu Anda menjalankan algoritma kuantum tingkat lanjut tanpa menyelami matematika yang mendasarinya, memahami dasar-dasarnya membantu Anda memulai dengan cepat dan memberikan fondasi yang solid untuk dibangun.

Langkah berikutnya