Concetti avanzati della matrice nel calcolo quantistico

  • Articolo

Questo articolo illustra i concetti di eigenvalues, eigenvectors e esponenziali. Questi concetti costituiscono un set fondamentale di strumenti matrice usati per descrivere e implementare algoritmi quantistici. Per le nozioni di base dei vettori e delle matrici quando si applicano al calcolo quantistico, vedere Algebra lineare per calcolo quantistico e vettori e matrici.

Autovettori e autovalori

Let $M$ be a square matrix and $v$ be a vector that't the all zeros vector (ad esempio, the vector with all entries equal to $0$).

Il vettore $v$ è un autovettore di $M$ se $Mv = cv$ per un numero $c$. Il numero intero $c$ è l'autovalore corrispondente all'autovettore $v$. In generale, una matrice $M$ può trasformare un vettore in qualsiasi altro vettore. Tuttavia, un eigenvector è speciale perché è rimasto invariato, ad eccezione di essere moltiplicato per un numero. Si noti che, se $v$ è un eigenoctor con eigenvalue c$, $av$ è anche un eigenvector (per qualsiasi non zeroo $a$) con lo stesso eigenvalue$.

Ad esempio, per la matrice di identità, ogni vettore $v$ è un autovettore con autovalore $1$.

Come un altro esempio, prendere in considerazione una matrice $diagonale D$, che include solo voci non zero sulla diagonale:

$$\begin{bmatrix}&d_1 amp; 0 & 0 \\ amp; 0 & d_2 amp; 0 0 amp; 0 amp &\\&; d_3 .&\end{bmatrix} $$

I vettori

$$\begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ 0\end{bmatrix}\text{e}\begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix}$$

sono gli autovettori di questa matrice con rispettivi valori $d_1$, $d_2$ e $d_3$. Se $d_1$, $d_2$ e $d_3$ sono numeri distinti, questi vettori (e i relativi multipli) sono gli unici autovettori della matrice $D$. In generale, per una matrice diagonale è facile leggere gli eigenvalues eigenvectors. Gli autovalori sono tutti i numeri visualizzati sulla diagonale e i rispettivi autovettori sono i vettori di unità con un elemento uguale a $1$ e gli elementi rimanenti uguali a $0$.

Nell'esempio precedente, si noti che gli autovettori di $D$ formano una base per vettori $tri$dimensionali. Una base è composta da un set di vettori tale che qualsiasi vettore possa essere scritto come una combinazione lineare di essi. Più esplicitamente, $v_1$, $v_2 $ e $v_3 $ formano una base se un vettore $v$può essere scritto come $v= a_1 v_1 + a_2 v_2 + a_3 v_3$ per alcuni numeri $a_1$, $a_2$ e $a_3$.

Nel calcolo quantistico esistono essenzialmente due matrici che si incontrano: Hermitian e unitary. Si noti che una matrice hermiziana (detta anche adiacente a sé) è una matrice quadrata complessa uguale al proprio trasposto coniugale complesso, mentre una matrice unitaria è una matrice quadrata complessa che equivale al suo trasposto unitario complesso.

C'è un risultato generale noto come theorem spectrale, che implica quanto segue: per qualsiasi matrice hermiziana o unitaria M, esiste un U unitario $$ in modo che $M$= U^\dagger D U$ per una matrice $$diagonale D.$ Inoltre, le voci diagonali di $D$ saranno gli eigenvalue di M$ e le colonne di $$U^\dagger$ saranno i corrispondenti eigenvector. Questa fattorizzazione è nota come scomposizione spectrale o eigendecomposition.

Esponenziali della matrice

Un esponenziale della matrice può anche essere definito in analogia esatta con la funzione esponenziale. La matrice esponenziale di una matrice $A$ può essere espressa come

$$ e^A=\mathbf{1} + A + \frac{A^2 2}{!}+\frac{A^3 3}{!}+\cdots$$

Questo è importante perché l'evoluzione del tempo meccanico quantistico è descritta da una matrice unitaria nel formato $e^{iB}$ per la matrice hermitiana $B$. Per questo motivo, l'esecuzione di esponenziali della matrice è una parte fondamentale del calcolo quantistico e di conseguenza Q# offre routine intrinseche per descrivere queste operazioni. Nella pratica, esistono molti modi per calcolare una matrice esponenziale in un computer classico; in generale, l'approssimazione numerica di tale esponenziale è un'operazione non priva di rischi. Per altre informazioni sulle problematiche coinvolte, si rimanda a Cleve Moler e Charles Van Loan. "Nineteen dubious ways to compute the exponential of a matrix." revisione SIAM 20.4 (1978): 801-836.

Il modo più semplice per comprendere come calcolare l'esponenziale di una matrice è tramite gli autovettori e gli autovalori di tale matrice. In particolare, il teorema spettrale descritto in precedenza afferma che, per ogni matrice hermitiana o unitaria $A$ esistono una matrice unitaria $U$ e una matrice diagonale $D$ in modo tale che $A=U^\dagger D U$. A causa delle proprietà di unitarietà, $A^2 = U^\dagger D^2 U$ e in modo analogo per qualsiasi potenza $p$$A^p = U^\dagger D^p U$. Se si sostituisce questo valore nella definizione di operatore dell'esponenziale:

$$e^A= U^\dagger\left(\mathbf{1} +D +\frac{D ^2 2}{!}+\cdots\right)U=^\dagger\begin{bmatrix}\exp(D_{{11}) & 0 &\cdots&Amp; 0 0\\& \exp(D_{22})&\cdots&Amp; 0\\ \vdots amp;\vdots &&\ddots&\vdots\\ 0& 0&\cdots&\exp(D_{NN}) \end{bmatrix} U.$$

In altre parole, se si trasforma nell'eigenbasis della matrice $A$, il calcolo dell'esponenziale matrice equivale a calcolare l'esponenziale ordinario degli eigenori della matrice. Quante operazioni nel calcolo quantistico comportano l'esecuzione di esponenziali matrice, questo trucco di trasformare nell'eigenbasis di una matrice per semplificare l'esecuzione dell'esecuzione esponenziale dell'operatore viene visualizzato di frequente. È la base di molti algoritmi quantistici, ad esempio Trotter-Suzuki-style quantum simulation methods discussi più avanti in questa guida.

Un'altra proprietà utile contiene per matrici involutory. Una matrice $involutoria B$ è sia unitaria che Hermiziana, $ovvero B=^B^B^B^{-1}=\dagger$. Quindi, una matrice involutoria è una matrice quadrata uguale al proprio inverso, $B^2=\mathbf{1}$. Applicando questa proprietà all'espansione precedente della matrice esponenziale, raggruppando i $\mathbf{1}$ termini B$ e applicando il teorema di Maclaurin alle funzioni cosine e$ sine, l'identità

$$e^{iBx}=\mathbf{1} \cos(x)+ iB\sin(x)$$

contiene per qualsiasi valore $reale x$. Questo trucco è particolarmente utile perché consente di ragionare sulle azioni che la matrice esponenziale ha, anche se la dimensione di $B è esponenzialmente grande, per il caso speciale quando $B$$ è involutorio.

Passaggi successivi