Arbeta med vektorer och matriser inom kvantberäkning

Viss kunskap om vektorer och matriser är viktigt för att förstå kvantberäkning. Artikeln Linjär algebra för kvantberäkning ger en kort uppdatering, och läsare som vill fördjupa sig rekommenderas att läsa en standardreferens om linjär algebra som Strang, G. (1993). Introduktion till linjär algebra (Vol. 3). Wellesley, MA: Wellesley-Cambridge Press eller en onlinereferens som Linear Algebra.

Vektorer

En kolumnvektor (eller helt enkelt vektor) $v$ av dimension (eller storlek) $n$ är en samling av $n$ komplexa tal $(v_1,v_2,\ldots,v_n)$ ordnade som en kolumn:

$$v=\begin{bmatrix}\\ v_1 v_2\\ \vdots\\ v_n\end{bmatrix}$$

Normen för en vektor $v$ definieras som $\sqrt{\sum_i |v_i|^2}$. En vektor sägs vara av enhetsnorm (eller alternativt kallas den en enhetsvektor) om dess norm är $1$. Angränsande till en vektor$v$ betecknas $v^\dagger$ och definieras som följande radvektor där $*$ anger den komplexa konjugaten,

$$\begin{bmatrix}\\ v_1 \vdots \\ v_n \end{bmatrix}^\dagger=\begin{bmatrix}v_1^* & \cdots&Amp; v_n^*\end{bmatrix}$$

Observera att det finns en skillnad mellan en kolumnvektor $v$ och en radvektor $v^\dagger$.

Inre produkt

Två vektorer kan multipliceras tillsammans genom den inre produkten, som även kallas punktprodukt eller skalär produkt. Som namnet antyder är resultatet av den inre produkten av två vektorer en skalär. Den inre produkten ger projektionen av en vektor till en annan och är ovärderlig när den beskriver hur man uttrycker en vektor som en summa av andra enklare vektorer. Den inre produkten mellan två kolumnvektorer $u=(u_1 , u_2 , \ldots , u_n)$ och $v=(v_1 , v_2 , \ldots , v_n)$, denoted $\left\langle u, v\right\rangle$ definieras som

$$\left\langleu, v\right\rangle= u^\dagger v=\begin{bmatrix}u_1^* & \cdots&Amp; u_n^* \end{bmatrix}\begin{bmatrix}v_1\\ \vdots\\ v_n=\end{bmatrix}u_1^{*} v_1 + + \cdots _n^{*} v_n. $$

Den här notationen tillåter också att normen för en vektor $v$ skrivs som $\sqrt{\langle v, v\rangle}$.

En vektor kan multipliceras med ett tal $c$ för att bilda en ny vektor vars poster multipliceras $med c$. Du kan också lägga till två vektorer u och v för att skapa en ny vektor vars poster är summan av posterna $u$ och $v$.$$$$ Dessa åtgärder är följande:

$$\mathrm{Om u u_1 u_2 \vdots\\ u_n \end{bmatrix}~\mathrm{and}~ v =\begin{bmatrix} v_1\\ v_2\\ \vdots\\ v_n \end{bmatrix},~\mathrm{then}~ au+bv =\begin{bmatrix} au_1+bv_1\\ au_2+bv_2\\ \vdots\\ au_n+bv_n \end{bmatrix}.\\\\=\begin{bmatrix}}~ $$

En matris med storlek $m \times n$ är en samling komplexa mn-tal $$ ordnade i $m$ rader och $n$ kolumner enligt nedan:

$M =\begin{bmatrix} M_~~{11}{ M_\cdots{12}~~~~ M_{1n}\\ M_{{21}~~ M_ M_~~~~{{22}{\cdots2n}\\\ddots\\ M_{m1}~~ M_{m2~~\cdots}~~ M_{mn.}\\\end{bmatrix}$

Observera att en vektor av dimension $n$ helt enkelt är en matris med storlek $n \times 1$. Precis som med vektorer kan en matris multipliceras med ett tal $c$ för att få en ny matris där varje post multipliceras med $c$, och två matriser av samma storlek kan läggas till för att producera en ny matris vars poster är summan av respektive poster i de två matriserna.

Matris multiplikation

Du kan också multiplicera två matriser $M$ av dimension $m\times n$ och $N$ av dimension $n \times p$ för att få en ny matris $P$ av dimension $m \times p$ enligt följande:

$$\begin{\begin{align}&Amp;\begin{bmatrix}{{11}~~ M_ M_~~{12}~~\cdots M_{1n}\\ M_~~{{21} M_\cdots~~{22}~~{ M_{2n\ddots\\}\\ M_{m1}~~ M_{m2~~~~\cdots} M_{mn}\end{bmatrix}\begin{bmatrix} N_{11}~~ N_{~~~~\cdots{12} N_{1p}\\ N_{21}{~~ N_\cdots{22}~~~~ N_{2p\ddots\\}\\ N_{n1~~} N_{n2}~~~~\cdots N_{np\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}} P_ P_{{11}~~{12}~~\cdots~~{P_1p}\\ P_~~{{21} P_\cdots{22}~~{~~ P_{2p}\\\ddots\\ P_{m1}~~ P_{m2~~\cdots}~~ P_mp{}\end{bmatrix}\end{align}$$

var posterna av $P$ är $P_{ik}\sum=_j M_{ij}N_{jk.}$ Posten $P_{11}$ är till exempel den inre produkten av den första raden $i M$ med den första kolumnen $i N$. Observera att eftersom en vektor helt enkelt är ett specialfall för en matris utökas den här definitionen till matrisvektor multiplikation.

Alla matriser som vi överväger är antingen kvadratiska matriser, där antalet rader och kolumner är lika, eller vektorer, som bara $motsvarar 1$ kolumn. En särskild kvadratmatris är identitetsmatrisen$\mathbb{\mathbb{I}$, som kallas , som har alla diagonala element som är $lika med 1$ och de återstående elementen lika $med 0$:

$\mathbb{\mathbb{I}=\begin{bmatrix}1 ~~ 0\cdots~~~~0\\ 0 ~~ 1~~~~\cdots0\ddots\\\\~~ 0 ~~ 0\cdots~~~~ 1 .\end{bmatrix}$

För en kvadratisk matris $A$ är en matris $B$dess invertering om $AB = BA =\mathbb{\mathbb{I}$. Inversen av en matris behöver inte finnas, men när den finns är den unik och vi anger den $A^{-1}$.

För valfri matris $M$ är adjoint eller conjugate transpose av $M$ en matris $N$ så att $N_{ij}= M_{ji}^*$. Angränsande M betecknas $vanligtvis M^\dagger$.$$ En matris $U$ är enhetlig om $UU^=\dagger U^\dagger U =\mathbb{I}$ eller motsvarande, $U^={{-1} U^.\dagger$ En viktig egenskap hos enhetsmatriser är att de bevarar normen för en vektor. Detta beror på att

$\langle v,v \rangle=v^\dagger v v = ^\dagger U^{-1} U v v = ^\dagger U^\dagger U v =\langle U v, U v, U v\rangle.$

En matris $M$ sägs vara hermiteriska om $M=M^\dagger$.

Tensor-produkt

En annan viktig åtgärd är Kronecker-produkten, även kallad matrisens direktprodukt eller tensorprodukt. Observera att Kronecker-produkten skiljer sig från matris multiplikation, vilket är en helt annan åtgärd. I kvantberäkningsteori används tensorprodukt ofta för att ange Kronecker-produkten.

Tänk på de två vektorerna $v=\begin{bmatrix}a \\ b \end{bmatrix}$ och $u =\begin{bmatrix} c \\ d e \\\end{bmatrix}$. Tensor-produkten betecknas som $v u \otimes$ och resulterar i en blockmatris.

$$\begin{bmatrix}a \\ b c \\\otimes\end{bmatrix}\begin{bmatrix} d \\ e \end{bmatrix}\begin{bmatrix}=a \begin{bmatrix} c \\ d \\ e \end{bmatrix}\\[1.5em] b \begin{bmatrix} c \\ d e \\ a\end{bmatrix}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}= c \\ a d a \\ e b \\ c \\ b d vara \\\end{bmatrix}$$

Observera att tensor-produkten är en åtgärd på två matriser eller vektorer av godtycklig storlek. Tensorprodukten av två matriser $M$ av storlek $m\times n$ och $N$ av storlek $p \times q$ är en större matris $P=M\otimes N$ av storlek $mp \times nq$, och erhålls från $M$ och $N$ enligt följande:

$$\begin{align}M \otimes N &=\begin{bmatrix}{~~~~\cdots{11}M_ M_{1n\\\ddots\\} M_{m1}~~~~\cdots M_{mn\begin{bmatrix}\otimes\end{bmatrix}} N_~~~~{11}\cdots{ N_{1q}\\\ddots\\ N_{p1~~}\cdots~~ N_{pq\end{bmatrix}\\&}amp;=\begin{bmatrix}{{11}\begin{bmatrix} M_ N_~~{~~{11}\cdots N_{1q\ddots\\}\\ N_{p1~~\cdots}~~ N_{pq\end{bmatrix}~~}\cdots~~ M_{1n\begin{bmatrix}} N_~~\cdots{11}~~ N_{1q}\\\ddots\\ N_{p1\cdots~~~~} N_{pq}\ddots\\\end{bmatrix}\\ M_{m1}\begin{bmatrix} N_{11}\cdots{~~~~ N_{1q\ddots\\}\\ N_{p1~~\cdots}~~ N_{pq~~\cdots}\end{bmatrix}~~ M_{mn N_}\begin{bmatrix}{{11}~~\cdots~~{N_1q}\\\ddots\\ N_{p1\cdots}~~~~ N_{pq.}\end{bmatrix}\end{bmatrix} \end{align} $$

Detta demonstreras bättre med ett exempel: $$a\ b \\ c\ d e\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\otimes\ f\\ g\ h\begin{bmatrix}\end{bmatrix}=a\begin{bmatrix} e\ f\\ g\ h b \end{bmatrix} e\begin{bmatrix}\ f\\ g\ h\\\end{bmatrix} [1em] c\begin{bmatrix} e\ f\\ g\ h \end{bmatrix} d e\begin{bmatrix}\ f\\ g\ h\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\end{bmatrix}=ae\ af\ be\ bf \\ ag\ ah\ bg\ bh \\ ce\ cf\ de\ df \\ cg\ ch\ dg\ dh .\end{bmatrix}\begin{bmatrix} $$

En slutlig användbar notational konvention kring tensor produkter är att för alla vektor $v$ eller matris $M$, $v^{\otimes n}$ eller $M^{\otimes n}$ är kort hand för en $n-fold$ upprepad tensor produkt. Exempel:

\begin{align}&Amp;\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}^{\otimes 1\begin{bmatrix}}= 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \qquad\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}^{\otimes 2=}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\0 0 \\\end{bmatrix}, \qquad\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}^{\otimes 2\begin{bmatrix}}= 1 \\ -1 -1 \\\\1 \end{bmatrix},&\\ amp;\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1& 0 \end{bmatrix}^{\otimes 1}=\begin{bmatrix} 0& 1 \\ 1& 0 , \qquad\begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix}& 1 \\ 1& 0 \end{bmatrix}^{\otimes 2}=\begin{bmatrix} 0 & 0& 0& 1 \\ 0 & 0& 1& 0 \\ 0 & 1& 0& 0\\ 1 & 0& 0& 0\end{bmatrix}. \end{align}

Nästa steg