Vektorer och matriser i kvantberäkning

Viss kunskap om linjär algebra är viktigt för att förstå kvantberäkning. Den här artikeln beskriver de grundläggande begreppen linjär algebra och hur du arbetar med vektorer och matriser inom kvantberäkning.

Vektorer

En kolumnvektor, eller vektor för kort, $v$ av dimension (eller storlek) $n$ är en samling av $n$ komplexa tal $(v_1,v_2,\ldots,v_n)$ ordnade som en kolumn:

$$v =\begin{bmatrix} v_1\\ v_2\\ \vdots\\ v_n \end{bmatrix}$$

Normen av en vektor $v$ definieras som $\sqrt{\sum_i |v_i|^2}$. En vektor kallas för en enhetsvektor om dess norm är $1$.

sv-SE: Adjungatet till en kolumnvektor $v$ är en radvektor som betecknas som $v^\dagger$ och definieras som det komplexkonjugerade transponatet av $v$. För en kolumnvektor $v$ av dimension $n$ är den adjungerade vektorn en radvektor av dimension $1 \times n$:

$$\begin{bmatrix}v_1 \ \vdots \ v_n \end{bmatrix}^\dagger=\begin{bmatrix}v_1^* & \cdots& v_n^* \end{bmatrix}$$

där $v_i^*$ anger den komplexa konjugaten av $v_i$.

Med linjär algebra beskrivs tillståndet för en kvantbit $\psi= en \ket{0} + b \ket{1}$ som en kvanttillståndsvektor$\begin{bmatrix} en \ b \end{bmatrix}$, där $|en|^2 + |b|^2 = 1$. Mer information finns i Kvantbiten.

Skalär produkt

Två vektorer kan multipliceras genom skalärprodukt, även kallad punktprodukt eller inre produkt. Som namnet antyder är resultatet av den skalära produkten av två vektorer en skalär. Den skalära produkten ger projektionen av en vektor till en annan och används för att uttrycka en vektor som en summa av andra enklare vektorer. Den skalära produkten mellan två kolumnvektorer 𝑢 och 𝑣 betecknas som ⟨𝑢, 𝑣⟩ = 𝑢†𝑣 och definieras som...

$$\left\langle u, v \right\rangle = u^\dagger v = \begin{bmatrix} u_1^* & \cdots & u_n^* \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_1 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix} = u_1^* v_1 + \cdots + u_n^* v_n.$$ $$

Med den skalära produkten kan normen för en vektor $v$ skrivas som $\sqrt{\langle v, v\rangle}$.

Du kan multiplicera en vektor med ett tal $a$ för att bilda en ny vektor vars poster multipliceras med $a$. Du kan också lägga till två vektorer $u$ och $v$ för att bilda en ny vektor vars poster är summan av posterna av $u$ och $v$. Dessa åtgärder är följande:

$$ au+bv =\begin{bmatrix} au_1+bv_1\\ au_2+bv_2\\ \vdots\\ au_n+bv_n \end{bmatrix}$$

Matriser

En matris med storlek $m \times n$ är en samling m $\cdot n$ komplexa tal ordnade i $m$ rader och $n$ kolumner enligt nedan:

$$M =\begin{bmatrix} M_{11} M_{12}\cdots M_{1n}\\ M_{{21} M_{22}\cdots M_{2n}\\\ddots\\ M_{m1} M_{m2}\cdots M_{mn}\\\end{bmatrix}$$

Anteckning

Observera att en vektor av dimension $n$ helt enkelt är en matris av storlek $n \times 1$.

Kvantåtgärder representeras av kvadratmatriser, dvs. antalet rader och kolumner är lika. Till exempel representeras enbitsoperationer av 2x2-matriser, till exempel Pauli-X-operationen

$$X =\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$$

Tips

I Q#, representeras Pauli $X$-operationen av X-operationen.

Precis som med vektorer kan du multiplicera en matris med ett tal $c$ för att få en ny matris där varje post multipliceras med $c$, och två matriser med samma storlek kan läggas till för att skapa en ny matris vars poster är summan av respektive poster i de två matriserna.

Matrismultiplikation

Du kan också multiplicera en matris $M$ av dimensionen $m \times n$ och en matris $N$ av dimensionen $n \times p$ för att få en ny matris $P$ av dimensionen $m \times p$ på följande sätt:

$$ \begin{ \begin{align} &\begin{bmatrix} M_{{11} M_{12}\cdots M_{1n}\\ M_{{21} M_{22}\cdots M_{2n}\\\ddots\\ M_{m1} M_{m2}\cdots M_{mn}\end{bmatrix}\begin{bmatrix} N_{{11} N_{{12}\cdots N_{1p}\\ N_{{21} N_{22}\cdots N_{2p}\\\ddots\\ N_{n1} N_{n2}\cdots N_{np}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} P_{{11} P_{12}\cdots P_{1p}\\ P_{21} P_{{22}\cdots P_{2p}\\\ddots\\ P_{m1} P_{m2}\cdots P_{mp}\end{bmatrix}\end{align}$$

där posterna av $P$ är $P_{ik} ∑_=j\sum{ M_}ij{N_}$jk. Posten $P_{11}$ är till exempel den skalära produkten av den första raden i $M$ med den första kolumnen av $N$. Observera att eftersom en vektor helt enkelt är ett specialfall för en matris utökas den här definitionen till matrisvektor-multiplikation.

Särskilda typer av matriser

En särskild kvadratmatris är identitetsmatrisen, denoterad $\mathbb{$\mathbb{I}$\mathbb{I}$, som har alla sina diagonala element lika med $1$ och de återstående elementen är lika med $0$:

$\mathbb{ \mathbb{I}=\begin{bmatrix} 1 0 \cdots 0\\ 0 1 \cdots 0\\\ddots\\ 0 0 \cdots 1 \end{bmatrix}.$

För en kvadratisk matris \(A\), är en matris \(B\) dess \emph{invers} om \(AB = BA = \mathbb{I}\). Om en matris $A$ har en invertering är inverteringsmatrisen unik och skrivs som $A^{-1}$.

För valfri matris $M$ är konjugattransponatet av $M$ en matris $N$ så att $N_{ij} = M_{ji}^*$. Den adjungata av $M$ betecknas $M^\dagger$.

En matris $U$ är unitär om $UU^†=\dagger U^†U==I\dagger=, eller motsvarande, \mathbb{I}$U^†$U={I{-1}=. En viktig egenskap hos enhetsmatriser är att de bevarar normen för en vektor. Detta beror på att

$\langle v,v \rangle=v^{\dagger} v = v^{\dagger} U^{{-1} U v = v^{\dagger} U^{\dagger} U v =\langle U v, U v\rangle.$

Kommentar

Kvantoperationer representeras av enhetsmatriser, som är kvadratmatriser vars adjungat är lika med deras invers.

En matris $M$ kallas Hermitian om $M=M^\dagger$.

Inom kvantberäkning finns det i princip bara två matriser som du stöter på: Hermiteriska och enhetliga.

Tensorprodukt

En annan viktig åtgärd är tensorprodukten, även kallad matrisens direktprodukt eller Kronecker-produkt.

Tänk på de två vektorerna $v=\begin{bmatrix}a \\ b \end{bmatrix}$ och $u =\begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix}$. Deras tensorprodukt betecknas som $v \otimes u$ och resulterar i en blockmatris.

$$ \begin{bmatrix} en \\ b \end{bmatrix}\otimes\begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} en \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix} b \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} c \\ a d \\ b c \\ b d \end{bmatrix}$$

Kommentar

Observera att tensor-produkten skiljer sig från matris multiplikation, vilket är en helt annan åtgärd.

Tensor-produkten används för att representera det kombinerade tillståndet för flera kvantbitar. Den verkliga kraften i kvantberäkning kommer från att utnyttja flera kvantbitar för att utföra beräkningar. Mer information, se Operationer på flera kvantbitar.

Relaterat innehåll

• Kvantbiten
• Flera kvantbitar
• Dirac-notation
• Pauli-mätningar