Diracova notace

Článek
04/18/2024

Diracová notace je jazyk navržený tak, aby vyhovoval přesným potřebám vyjádření stavů v kvantové mechanice. Příklady v tomto článku jsou návrhy, které lze použít ke stručné vyjádření kvantových myšlenek.

Omezení zápisu vektoru sloupce

I když je zápis vektoru sloupce v lineární algebrě běžný, v kvantových výpočtech je často těžkopádný, zejména při práci s více qubity. Když například definujete $\psi$ vektor, není explicitně jasné, jestli $\psi$ se jedná o vektor řádku nebo sloupce. Proto pokud $\phi$ a $\psi$ jsou vektory, pak je stejně nejasné, zda $\phi\psi$ je vůbec definován, protože tvary $\phi$ a $\psi$ mohou být nejasné v kontextu. Kromě nejednoznačnosti o tvarech vektorů může být vyjádření i jednoduchých vektorů pomocí lineární algebraické notace těžkopádné. Pokud například chcete popsat stav n-qubitu$$, kdy každý qubit přebírá hodnotu $0$, pak byste tento stav formálně vyjádřili jako

$$\begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix}\otimes\otimes\begin{bmatrix}\cdots1 \\ 0 .\end{bmatrix} $$

Vyhodnocení tohoto součinu tensoru je nepraktické, protože vektor leží v exponenciálně velkém prostoru. Proto je tato notace ve skutečnosti nejlepším popisem stavu, který lze zadat pomocí předchozího zápisu.

Typy vektorů v diracové notaci

Existují dva typy vektorů v zápisu Dirac: bra vektor a ket vektor, tak pojmenovaný, protože když jsou dohromady tvoří brzdu nebo vnitřní součin. Pokud $\psi$ je vektor sloupce, můžete ho zapsat v zápisu Dirac jako $\ket{\psi}$, kde $\ket{\cdot}$ označuje, že se jedná o vektor sloupce jednotek, například vektor ket . Podobně je vektor $\psiřádků ^\dagger$ vyjádřen jako $\bra{\psi}$. Jinými slovy, $\psi^\dagger$ se získá použitím komplexní konjugace u prvků transpozice $\psi$. Z zápisu bra-ket přímo vyplývá, že $\braket{\psi|\psi}$ je vnitřní součin vektoru $\psi$ sám o sobě, což je podle definice $1$.

Obecněji platí, že pokud $\psi$ a $\phi$ jsou kvantovými stavovými vektory, jejich vnitřní součin je $\braket{\phi|\psi}$. Tento vnitřní součin znamená, že pravděpodobnost měření stavu $\ket{\psi}$ je $\ket{\phi}$$|\braket{\phi|\psi}|^2$.

Následující konvence se používá k popisu kvantových stavů, které kódují hodnoty nula a jedna (výpočetní základní stavy s jedním qubitem):

$$\begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix}{0}\ket{=,\qquad\begin{bmatrix} 0 \\ 1 .\end{bmatrix}=\ket{{1} $$

Příklad: Reprezentace hadamardové operace s diracovou notací

Následující zápis se často používá k popisu stavů, které jsou výsledkem použití hadamardské brány na $\ket{0}$ a $\ket{1}$. Tyto stavy odpovídají vektorům jednotek ve $směrech +x$ a $-x$ na Blochově kouli:

$$\frac{1}{\sqrt{{2}}\begin{bmatrix}1 \\ 1 \end{bmatrix}=H\ket{=\ket{0}+},\qquad\frac{1}{\sqrt{{2}}\begin{bmatrix} 1 \\ -1=\end{bmatrix} H .\ket{{1}=\ket{{-} $$

Tyto stavy lze také rozšířit pomocí zápisu Dirac jako součtů $\ket{0}$ a $\ket{1}$:

$$\ket{+}={1}{\sqrt{2}}\frac{(\ket{0} + \ket{1}),\qquad\frac{={1}{\sqrt{\ket{{2}}{-}(\ket{{0} - ). \ket{1} $$

Výpočetně základní vektory

To ukazuje, proč se tyto stavy často označují jako výpočetní základ: každý kvantový stav může být vždy vyjádřen jako součty výpočetních bázových vektorů a tyto součty se snadno vyjadřují pomocí diracové notace. Naopak platí také v tom, že stavy $\ket{+}$ a $\ket{-}$ také tvoří základ pro kvantové stavy. Můžete to vidět z faktu, že

$$\ket{{0}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{+} + \ket{-}),\qquad\frac{{1}{\sqrt{=\ket{{1}{2}}(\ket{+} - ). \ket{-} $$

Jako příklad zápisu Dirac zvažte brzdu 0 1, což je vnitřní součin mezi $0$ a $1$.}$|$\braket{ Může být napsáno jako

$$\braket{0 | 1}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\\ 1\end{bmatrix}=0. $$

Tento příklad říká, že $\ket{{0}$ a{1}$$\ket{jsou orthogonální vektory, což znamená, že $\braket{0 | 1}\braket{=1 | 0}=0.$ Podle definice $\braket{0 0\braket{|=} 1 | 1 1}=$, což znamená, že tyto dva výpočetní vektory základu mohou být také nazývány orthonormální.

Tyto orthonormální vlastnosti se používají v následujícím příkladu. Pokud máte stav $\ket{\psi}{1}=\ket{{\frac{3}{5}}+ {\frac{{4}{5}}\ket{0}$, pak vzhledem k tomu, že $\braket{je 1 | 0}=0$, je pravděpodobnost měření 1$$

$$\big|\braket{1 |^2\left|\frac{{3}{5}\braket{=1 | 1} +\frac{{4}{5}\braket{1 | 0}\right|^2{25}=\frac{{9}{.\psi}\big| $$

Zápis produktu Tensor

Zápis Dirac obsahuje také implicitní strukturu produktu tensoru . Tato struktura je důležitá, protože v kvantových výpočtech je vektor stavu, který popisuje dva nekorelované kvantové registry, tenzorovými produkty těchto dvou stavových vektorů. Pokud chcete vysvětlit kvantový výpočet, je důležité výstižně popsat strukturu tensorového produktu nebo jeho nedostatek. Struktura součinu tensoru znamená, že můžete psát $\psi\otimes\phi$ pro libovolný dva vektory $\phi$ kvantového stavu a $\psi$ jako .$\ket{\psi}\otimes\ket{\phi}$ Podle konvence je však zápis $\otimes$ mezi vektory zbytečný a můžete napsat\ket{\psi$\ket{\psi}$\ket{\phi}=\phi} . Další informace o vektorech a produktech tenzoru najdete v tématu Vektory a matice v kvantových výpočtech. Například stav se dvěma qubity inicializovanými do nulového stavu je:

$$\ket{0}\otimes\ket{0}=\ket{{0}\ket{{0}=\ket{{00}=\begin{bmatrix}1 \\ 0\otimes\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 .\end{bmatrix} $$

Podobně stav $\ket{p}$ pro celé číslo $p$ představuje kvantový stav, který kóduje celé číslo $p$ v binární reprezentaci. Pokud například chcete vyjádřit číslo $5$ pomocí binárního kódování bez znaménka, můžete ho stejně vyjádřit jako

$$\ket{1}\ket{0}\ket{1}=\ket{101}=\ket{5}. $$

V tomto zápisu nemusí odkazovat na stav s jedním qubitem, $\ket{0}$ ale spíše na registr qubitů , který obsahuje binární kódování $0$. Rozdíly mezi těmito dvěma zápisy jsou zřejmé z kontextu. Tato konvence je užitečná pro zjednodušení prvního příkladu, který lze napsat některým z následujících způsobů:

$$\begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix}\otimes\otimes\begin{bmatrix}\cdots1 \\ 0{0}\ket{\otimes\cdots|=\end{bmatrix}\otimes\ket{0}= 0\cdots 0=\ket{\rangle{0}^ n{\otimes}$$

kde $\ket{0}^{\otimes n}$ představuje tenzorový součin $n$$\ket{0}$ kvantových stavů.

Příklad: Popis superpozice s diracovou notací

Jako další příklad použití zápisu Dirac k popisu kvantového stavu zvažte následující ekvivalentní způsoby zápisu kvantového stavu, který je stejnou superpozicí nad každým možným bitovým řetězcem o délce $n.$

$$H^{\otimes n}=\frac{1}{\ket{0}2^{n/2\sum}}_{j=0}^{2^n-1\ket{}j}=\ket{+}^{\otimes n.} $$

Tady se můžete divit, proč se součet pro n bitů pohybuje od $0$ do $2^{n-1}$.$$ Nejprve si všimněte, že existuje $2^{n}$ různých konfigurací, které $může mít n$ bitů. Můžete to vidět tak, že jeden bit může mít $2$ hodnoty, ale dva bity můžou mít $4$ hodnoty atd. Obecně to znamená, že existuje $2^n$ různých bitových řetězců, ale největší hodnota zakódovaná v některém z nich $je 1\cdots 1=2^n-1$ , a proto se jedná o horní limit pro součet. Poznámka na okraj: v tomto příkladu jste nepoužili $\ket{+}^{\otimes n}=\ket{+}$ v analogii k{0}$\ket{ ^{\otimesn{0}$}=\ket{. Tato notační konvence je vyhrazena pro výpočetní základní stav s každým qubitem inicializovaným na nulu. I když je taková konvence v tomto případě rozumná, v kvantových výpočtech se nepoužívá.

Vyjádření linearity pomocí diracové notace

Další vlastností zápisu Dirac je skutečnost, že je lineární. Například pro dvě komplexní čísla $\alpha$ a $\beta$můžete zapsat

$$\ket{\psi}\otimes ( \alpha\ket{\phi} + \beta\ket{\chi})=\alpha\ket{\psi}\ket{\phi} + \beta\ket{\psi}\ket{\chi}.$$

To znamená, že můžete distribuovat zápis tenzorového součinu v zápisu Dirac tak, aby součinky tensoru mezi stavovými vektory vypadaly stejně jako běžné násobení.

Vektory podprůžek se řídí podobnými konvencemi jako vektory ketů. Například vektor $\bra{\psi}\bra{\phi}$ je ekvivalentní vektoru stavu $\psi^\otimes\phi\dagger^\dagger=(\psi\otimes\phi)^.\dagger$ Pokud je $\alphaketový vektor $\ket{\psi}$ + \beta\ket{1}$, je verze $\bra{\psi}=\ket{\psi}vektoru bra ^\dagger= (\bra{{0}\alpha^* +\bra{1}\beta^*)$.\ket{0}

Představte si například, že chcete vypočítat pravděpodobnost měření stavu $\ket{\psi}\frac{3}{5}\ket{{1}=+ \frac{4}{5}\ket{0}$ pomocí kvantového programu pro měření stavů buď $\ket{+}$ nebo .$\ket{{-}$ Pak je pravděpodobnost, že výstupem zařízení bude $\ket{-}$ stav, je

$$|\braket{- |^2\left|\frac{={1}{\sqrt{{2}}(\bra{0} -{1}\bra{ )(\frac{3}{5}{1}\ket{ +{4}{5}\frac{\ket{0} ) \right|^2-5=\left|{2}}\frac{3}{\sqrt{ +{4}{\frac{ 5\sqrt{2}}\right|^2.=\frac{{1}{{50}\psi}|$$

Skutečnost, že se záporné znaménko objevuje ve výpočtu pravděpodobnosti, je projevem kvantové interference, která je jedním z mechanismů, kterými kvantový computing získává výhody oproti klasickým výpočtům.

ketbra nebo vnější výrobek

Poslední položkou, kterou stojí za to prodiskutovat v diracové notaci, je ketbra nebo vnější produkt. Vnější produkt je v diracových notacích vyjádřen jako $\ket{\psi}\bra{\phi}$, a někdy se nazývá ketbras, protože podprsenky a keets se vyskytují v opačném pořadí jako brzdy. Vnější součin je definován pomocí násobení matice jako $\ket{\psi}\phi=\bra{\phi}\psi^\dagger$ pro kvantové stavové vektory $\psi$ a .$\phi$ Nejjednodušším a pravděpodobně nejběžnějším příkladem tohoto zápisu je

$$\ket{0}\bra{{0}=\begin{bmatrix}1\\ 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1& 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 0\end{bmatrix}\bra{1}=\qquad\ket{1}\begin{bmatrix}0\\ 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}0& 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}. $$

Ketbra se často nazývají projektory, protože promítají kvantový stav na pevnou hodnotu. Vzhledem k tomu, že tyto operace nejsou unitární (a ani nezachovávají normu vektoru), nemůže kvantový počítač deterministicky použít projektor. Projektory ale skvěle popisují akci, kterou měření provede na kvantovém stavu. Pokud například změříte stav $\ket{\psi}$ na $hodnotu 0$, výsledná transformace, kterou stav provede jako výsledek měření, je

$$\ket{\psi}\rightšipka \frac{(\ket{{0}{0}\bra{)\ket{\psi}}{|\braket{0 ,|\psi}|}=\ket{{0}$$

jak byste očekávali, pokud jste změřili stav a zjistili jste, že je $\ket{0}$. Znovu připomínáme, že takové projektory nelze deterministicky aplikovat na stav v kvantovém počítači. Místo toho je možné je použít při nejlepším případě náhodně s výsledkem $\ket{0}$ , který se zobrazí s určitou pevnou pravděpodobností. Pravděpodobnost úspěšného měření může být zapsána jako očekávaná hodnota kvantového projektoru ve stavu .

$$\bra{\psi}(\ket{0}\bra{0})\ket{\psi}|=|\braket{\psi 0}|^2,$$

což ukazuje, že projektory poskytují nový způsob vyjádření procesu měření.

Pokud místo toho změříte první qubit více qubitů na $1$, můžete tento proces také pohodlně popsat pomocí projektorů a diracových zápisů:

$$P(\text{první qubit = 1})=\bra{\psi}\left(\ket{{1}\bra{{1}\otimes \mathbf{\mathbf{1}^{\otimes n-1}\right) . \ket{\psi} $$

Zde lze matici identit pohodlně zapsat do diracového zápisu jako

$$\mathbf{1}=\ket{0}\bra{0}+\ket{1}\begin{bmatrix}\bra{{1}=1& 0\\ 0& 1 \end{bmatrix}. $$

V případě, že existují dva qubity, je možné projektor rozšířit jako

$$\ket{1}\bra{1}\otimes\id=\ket{{1}\bra{1}\otimes(\ket{{0}{0}\bra{+\ket{1}{1}\bra{)={10}\ket{10}\bra{ + . \ket{{11}\bra{{11} $$

Pak uvidíte, že je to konzistentní s diskuzí o pravděpodobnosti měření pro vícequbitové stavy pomocí zápisu sloupcového vektoru:

$$P(\text{první qubit = 1})\psi=^\dagger (e_{10}e_{10}^\dagger + e_{{11}e_{11}{^\dagger)|\psi=e_{10}{^\psi|\dagger^2 + |e_{11}^\dagger\psi|^2,$$

což odpovídá diskuzi o měření s více qubity. Zobecnění tohoto výsledku na případ s více qubity je však o něco jednodušší vyjádřit pomocí diracové notace než zápisu sloupcového vektoru a je zcela ekvivalentní předchozí léčbě.

Operátory hustoty

Dalším užitečným operátorem pro vyjádření pomocí diracové notace je operátor hustoty, který se někdy označuje také jako stavový operátor. Jako vektor kvantového stavu popisuje operátor hustoty kvantový stav systému. Zatímco vektory kvantového stavu mohou představovat pouze čisté stavy, operátory hustoty mohou také reprezentovat smíšené stavy.

Obecněji je daná matice $\rho$ platným operátorem hustoty, pokud jsou splněny následující podmínky:

$\rho$ je matice komplexních čísel.
$\rho = \rho^{\dagger}$ (to znamená, $\rho$ je poustevník)
Každá eigenvalue $p$ of $\rho$ je $0 <= p <= 1$
Všechny hodnoty $\rho$ součtu na 1

Společně tyto podmínky zaručují, že $\rho$ lze považovat za soubor. Operátor hustoty pro vektor $\ket{\psi}$ kvantového stavu má tvar $\rho\sum= _i p_i \ket{\psi_i\bra{\psi}_i}$ je dekompozice $hodnoty \rho$, \$rho$ popisuje soubor $\rho ={\ket{\psi_i\text{}s pravděpodobností} p_i .}$

Čisté kvantové stavy jsou ty, které jsou charakterizovány jedním ketovým vektorem nebo vlnovou funkcí a nelze je zapsat jako statistickou kombinaci (nebo konvexní kombinaci) jiných kvantových stavů. Smíšený kvantový stav je statistický soubor čistých stavů.

Na Blochové kouli jsou čisté stavy reprezentovány bodem na povrchu koule, zatímco smíšené stavy jsou reprezentovány vnitřním bodem. Smíšený stav jednoho qubitu je reprezentován středem koule, symetrií. Čistotu stavu lze vizualizovat jako stupeň, ve kterém je blízko povrchu koule.

Tento koncept reprezentace státu jako matice, nikoli vektoru, je často vhodný, protože poskytuje pohodlný způsob reprezentace výpočtů pravděpodobnosti a také umožňuje popsat statistickou i kvantovou nejistotu v rámci stejného formalismu.

Operátor $hustoty \rho$ představuje čistý stav pouze v následujících případech:

$\rho$ lze zapsat jako vnější součin vektoru stavu, $\rho=\ket{\psi}\bra{\psi}$
$\rho =\rho^2$
$tr(\rho^2)=1$

Chcete-li zjistit, jak blízko daný operátor $hustoty \rho$ je čistý, můžete se podívat na trasování (tj. součet diagonálních prvků) $\rho^2$. Operátor hustoty představuje čistý stav, pokud a pouze pokud $tr(\rho ^{2})=1$.

Q# sekvence brány ekvivalentní kvantovým stavům

Poslední bod, který stojí za zmínku o kvantovém zápisu a programovacím Q# jazyce: na začátku tohoto dokumentu se zmínil, že kvantový stav je základním objektem informací v kvantových výpočtech. Pak může být překvapením, že v Q# ní neexistuje žádný pojem o kvantovém stavu. Místo toho jsou všechny stavy popsány pouze operacemi použitými k jejich přípravě. Předchozí příklad to skvěle ilustruje. Místo vyjádření jednotné superpozice nad každým řetězcem kvantových bitů v registru můžete výsledek reprezentovat jako $H^{\otimes n}\ket{0}$. Tento exponenciálně kratší popis stavu má nejen výhodu, že o něm můžete klasicky uvažovat, ale také stručně definuje operace, které je potřeba rozšířit prostřednictvím softwarového zásobníku k implementaci algoritmu. Z tohoto důvodu je navržen tak, Q# aby místo kvantových stavů vygenerovávala hradlové sekvence, ale na teoretické úrovni jsou tyto dvě perspektivy ekvivalentní.