Poznámka:
Přístup k této stránce vyžaduje autorizaci. Můžete se zkusit přihlásit nebo změnit adresáře.
Přístup k této stránce vyžaduje autorizaci. Můžete zkusit změnit adresáře.
Diracova notace je stručný a výkonný způsob popisu kvantových stavů a operací. Jmenoval se po fyzikovi Paulu Diracovi, který vyvinul notaci v roce 1930. Dirac notace se používá v kvantových výpočtech k popisu kvantových stavů, kvantových operací a kvantových měření.
Tento článek vás seznámí s diracovým zápisem a ukáže vám, jak ho použít k popisu kvantových stavů a operací.
Vektory v diracovém zápisu
V diracovém zápisu existují dva typy vektorů: vektor, který odpovídá vektoru řádku, a vektor ket, který odpovídá vektoru sloupce.
Pokud $\psi$ je vektor sloupce, můžete ho napsat do zápisu Dirac jako $\ket{\psi}$, kde $\ket{\cdot}$ označuje, že se jedná o vektor ket.
Podobně je vektor řádku $\psi^\dagger$ vyjádřen jako $\bra{\psi}$, což je vektor. Jinými slovy, $\psi^\dagger$ je získáno použitím komplexní konjugace po vstupu na prvky transponace $\psi$. Zápis bra-ket přímo naznačuje, že $\braket{\psi|\psi}$ je vnitřní součin vektoru $\psi$ se samotným, což je podle definice $1$.
Obecněji platí, že pokud $\psi$ a $\phi$ jsou kvantové stavové vektory, pak jejich vnitřní součin je $\braket{\phi|\psi}$. Tento vnitřní součin znamená, že pravděpodobnost měření stavu $\ket{\psi}$$\ket{\phi}$ je $|\braket{\phi|\psi}|^2$.
Výpočetní základní stavy $0$ a $1$ jsou reprezentovány jako $\begin{bmatrix} 1 \ 0 \end{bmatrix}=\ket{{0}$ a $\begin{bmatrix} 0 \ 1 \end{bmatrix}=\ket{1}$.
Příklad: Znázornění operace Hadamard pomocí Diracova zápisu
Pojďme použít bránu Hadamard $H$ kvantovým stavům $\ket{0}$ a $\ket{1}$ pomocí zápisu Dirac:
$$ \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}=H\ket{{0}=\ket{+}$$
$$ \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}=H\ket{{1}=\ket{-}$$
Výsledné stavy odpovídají jednotkovým vektorům ve směru $+x$ a $-x$ na Blochově sféře. Tyto stavy lze také rozšířit pomocí diracového zápisu jako součtů $\ket{0}$ a $\ket{1}$:
$$ \ket{ }+=\frac{{1}{\sqrt{2}}\ket{0}(\ket{1} + $$)
$$ \ket{-} = \frac{1}{\sqrt{ {2}}(\ket{0} - \ket{1}) $$
Výpočetní základní vektory
Každý kvantový stav může být vždy vyjádřen jako součet výpočetních vektorů základu a tyto součty se snadno vyjadřují pomocí diracového zápisu. Naopak platí také v tom, že stavy $\ket{+}$ a $\ket{-}$ také tvoří základ pro kvantové stavy. Tento základ můžete vidět z faktu, že
$$ \ket{0} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{+} + \ket{-}) $$
$$ \ket{1} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{+} - \ket{-}) $$
Jako příklad Diracova zápisu zvažte bra-ket $\braket{0 | 1}$, což je vnitřní produkt mezi $0$ a $1$. Lze ho napsat jako
$$ \braket{0 | 1 1 }=\begin{bmatrix}& amp; 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\\ 1\end{bmatrix}=0. $$
Tento příklad říká, že $\ket{{0}$ a $\ket{{1}$ jsou orthogonální vektory, což znamená, že $\braket{0 | 1 1 }=\braket{|0 0.}=$ Také podle definice $\braket{0 | 0}=\braket{1 | 1}=1$, což znamená, že dva výpočetní základní vektory mohou být také nazývány ortonormální.
Tyto ortonormální vlastnosti se používají v následujícím příkladu. Pokud máte stav $\ket{\psi}={\frac{3}{5}}\ket{{1}+{\frac{{4}{5}}\ket{0}$ , pak protože $\braket{1 | 0}=0$ pravděpodobnost měření $1 je$
$$ \big|\braket{1 |\psi}\big|^2=\left|\frac{{3}{5}\braket{1 | 1} +\frac{{4}{5}\braket{1 | 0}\right|^2=\frac{{9}{{25}. $$
Zápis tenzorového součinu
Dirac notace je užitečná k vyjádření tensorového výrobku. Produkt Tensor je důležitý v kvantových výpočtech, protože vektor stavu popsaný dvěma nekoorálními kvantovými registry je tensorové produkty dvou stavových vektorů.
Tensorový produkt $\psi\otimes\phi$ pro všechny dva kvantové stavové vektory $\phi$ a $\psi$ je napsán v dirac notaci jako $\ket{\psi}\otimes\ket{\phi}$. Podle konvence můžete také napsat tenzorový produkt jako $\ket{\psi}\ket{\phi}=\ket{\psi\phi}$.
Například stav se dvěma qubity inicializovanými na nulový stav je $\ket{{0}\otimes\ket{0}=\ket{0}\ket{0}=\ket{00}$.
Příklad: Popis superpozice pomocí zápisu Dirac
Jako další příklad použití diracového zápisu k popisu kvantového stavu zvažte následující ekvivalentní způsoby zápisu kvantového stavu, který je stejnou superpozicí nad každým možným bitovým řetězcem délky $n.$
$$H^{\otimes n}\ket{0}=\frac{1}{2^{n/2}}\sum_{j=0}^{2^n-1}\ket{j}=\ket{+}^{\otimes n.} $$
Tady vás může zajímat, proč součet jde od $0$ do $2^{n-1}$ pro $n$ bitů. Nejprve existuje $2^{n}$ různých konfigurací, které může mít $n$ bitů. Tuto konfiguraci si můžete prohlédnout tak, že jeden bit může mít $2$ hodnoty, ale dva bity můžou mít $4$ hodnoty atd. Obecně to znamená, že existuje $2^n$ různých možných bitových řetězců, ale největší hodnota je zakódovaná v libovolném z nich $1 1\cdots= 2^n-1$, a proto je to horní limit součtu. V tomto příkladu jste také nepoužíli $\ket{+}^{\otimes n}=\ket{+}$ v analogii k{0}$\ket{ ^{\otimes n{0}$}=\ket{. Tato notační konvence je vyhrazena pro stav výpočetního základu s každým qubitem inicializovaným na nulu.
Vyjádřete linearitu s Diracovou notací
Další funkcí zápisu Dirac je skutečnost, že je lineární. Například pro dvě komplexní čísla $\alpha$ a $\beta$můžete psát
$$ \ket{\psi} \otimes ( \alpha\ket{\phi} + \beta\ket{\chi})=\alpha\ket{\psi}\ket{\phi} + \beta\ket{\psi}\ket{\chi}.$$
V Diracově zápisu můžete rozepsat tensorový zápis tak, že tvoření tensorových produktů mezi stavovými vektory vypadá jako běžné násobení.
Vektory bra se řídí podobnými konvencemi jako vektory ket. Například vektor $\bra{\psi}\bra{\phi}$ je ekvivalentní vektoru $\psistavu ^\dagger\otimes\phi^\dagger=(\psi\otimes\phi)^.\dagger$ Pokud je ket vektor $\ket{\psi}$$\alpha\ket{0} + \beta\ket{1}$, pak je jeho bra vektor $\bra{\psi}=\ket{\psi}^\dagger= (\bra{{0}\alpha^* + \bra{1}\beta^*)$.
Představte si například, že chcete vypočítat pravděpodobnost měření stavu $\ket{\psi}=\frac{3}{5}\ket{{1}+ \frac{4}{5}\ket{0}$ pomocí kvantového programu pro měření stavů buď $\ket{+}$ nebo .$\ket{{-}$ Pak pravděpodobnost, že zařízení vypíše, že stav je $\ket{-}$
$$|\braket{- |\psi}|^2=\left|\frac{{1}{\sqrt{{2}}(\bra{0} - \bra{{1})(\frac{3}{5}\ket{{1} + \frac{{4}{5}\ket{0}) \right|^2-=\left|5\frac{3}{\sqrt{ + {2}}\frac{{4}{5^2\sqrt{2}}\right|=\frac{{1}{{50}$$
Skutečnost, že se při výpočtu pravděpodobnosti vyskytuje záporné znaménko, je projevem kvantové interference, což je jeden z mechanismů, kterými kvantové výpočty získávají výhody oproti klasickému computingu.
ketbra nebo vnější výrobek
Poslední položkou, která stojí za zmínku v Diracově notaci, je ketbra nebo vnější produkt. Vnější výrobek je reprezentován v zápisech Dirac jako $\ket{\psi}\bra{\phi}$. Vnější součin je definován prostřednictvím násobení matice jako $\ket{\psi}\bra{\phi}=\psi\phi^\dagger$ pro kvantové stavové vektory $\psi$ a .$\phi$ Nejjednodušším a pravděpodobně nejběžnějším příkladem tohoto zápisu je
$$ \ket{0} \bra{ {0} = \begin{bmatrix}1\\ 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1& 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 0\end{bmatrix}\qquad\ket{1}\bra{1}=\begin{bmatrix}0\\ 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}0& 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}. $$
Ketbra se často označují jako projektory, protože projektují kvantový stav na pevnou hodnotu. Vzhledem k tomu, že tyto operace nejsou jednotná (a ani neuchovávají normu vektoru), nemůže kvantový počítač deterministicky použít projektor. Projektory ale odvádějí krásnou práci při popisu účinku, který má měření na kvantový stav. Pokud například změříte stav $\ket{\psi}$ na $hodnotu 0$, stav následně projde transformací v důsledku tohoto měření.
$$\ket{\psi} \rightšipka \frac{(\ket{{0}\bra{{0})\ket{\psi}}{|\braket{,0|\psi}|}=\ket{{0}$$
jak byste očekávali, pokud byste změřili stav a zjistili, že je $\ket{0}$. Je třeba připomenout, že takové projektory nelze aplikovat na stav v kvantovém počítači deterministicky. Místo toho je možné je nejlépe použít náhodně s výsledkem $\ket{0}$ , který se zobrazí s pevnou pravděpodobností. Pravděpodobnost takového měření může být zapsána jako očekávaná hodnota kvantového projektoru ve stavu
$$ \bra{\psi}(\ket{0}\bra{0})\ket{\psi}=|\braket{\psi| 0}|^2,$$
což znázorňuje, že projektory poskytují nový způsob vyjádření procesu měření.
Pokud místo toho zvažujete situaci, kdy měříte první qubit v rámci kvantového stavu s více qubity na $1$, můžete tento proces také pohodlně popsat pomocí projektorů a Diracova zápisu.
$$P(\text{první qubit = 1})=\bra{\psi}\left(\ket{{1}\bra{{1}\otimes \mathbf{\mathbf{1}^{\otimes n-1}\right)\ket{\psi}. $$
Zde lze matici identity pohodlně napsat v zápisu Dirac jako
$$ \mathbb{I}=\ket{{0}\bra{0}+\ket{{1}\bra{1}=\begin{bmatrix}1& 0\\ 0& 1 \end{bmatrix}. $$
V případě, že existují dva qubity, lze projektor rozšířit jako
$$ \ket{1} \bra{1} \otimes \mathbb{I}=\ket{{1}\bra{1}\otimes (\ket{0}\bra{0}+\ket{1}\bra{{1})=\ket{10}\bra{{10} + . \ket{{11}\bra{{11} $$
A vidíte, že tento projektor odpovídá diskuzi o pravděpodobnostech měření pro vícequbitové stavy pomocí zápisu sloupcového vektoru.
$$P(\text{první qubit = 1})=\psi^\dagger (e_{10}e_{10}^\dagger + e_{{11}e_{{11}^\dagger)\psi=|e_{{10}^\dagger\psi|^2 + |e_{11}^\dagger\psi|^2,$$
která odpovídá diskusi o měření více qubitů. Zobecnění tohoto výsledku pro případ více qubitů je však o něco jednodušší vyjádřit pomocí diracového zápisu než zápis ve sloupcovém vektoru a je zcela ekvivalentní předchozí léčbě.
Operátory hustoty
Dalším užitečným operátorem pro vyjádření pomocí diracového zápisu je operátor hustoty, který se někdy označuje také jako operátor stavu. Jako vektor kvantového stavu popisuje operátor hustoty kvantový stav systému. I když kvantové stavové vektory můžou představovat pouze čisté stavy, operátory hustoty mohou také reprezentovat smíšené stavy.
Obecněji platí, že daná matice $\rho$ je platný operátor hustoty, pokud jsou splněny následující podmínky:
- $\rho$ je matice komplexních čísel
- $\rho = \rho^{\dagger}$ (to znamená, že $\rho$ je Hermitiánský)
- Každá hodnota eigenvalue $p$ z $\rho$ je nezáporná
- Všechny vlastní hodnoty $\rho$ sečtou do 1
Tyto podmínky společně zaručují, že $\rho$ lze považovat za soubor. Operátor hustoty pro kvantový vektor stavu $\ket{\psi}$ má tvar $\rho =\sum_i p_i \ket{\psi_i}\bra{\psi_i}$ je rozklad na vlastní hodnoty $\rho$, pak $\rho$ popisuje soubor $\rho ={\ket{\psi_i}\text{ s pravděpodobností }p_i}$.
Čisté kvantové stavy jsou charakterizovány jedním vektorem ket nebo vlnovou funkcí a nelze je zapsat jako statistickou směs nebo konvexní kombinaci jiných kvantových stavů. Smíšený kvantový stav je statistický soubor čistých stavů.
Blochova sféra představuje čisté stavy jako body na povrchu koule a smíšené stavy jako body uvnitř koule. Střed sféry představuje smíšený stav jednoho qubitu podle symetrie. Čistotu stavu lze vizualizovat jako míru toho, jak blízko je povrchu koule.
Tento koncept představuje stav jako matici, nikoli vektor, je často pohodlný, protože poskytuje pohodlný způsob reprezentace výpočtů pravděpodobnosti. Umožňuje také popsat statistickou nejistotu i kvantovou nejistotu ve stejném formalismu.
Operátor $hustoty \rho$ představuje čistý stav, pokud a pouze pokud:
- $\rho$ lze zapsat jako vnější součin stavového vektoru, $\rho=\ket{\psi}\bra{\psi}$
- $\rho \rho =^2$
- $tr(\rho^2)=1$
Pokud chcete zjistit, jak blízko je daný operátor hustoty $\rho$ k tomu, aby byl čistý, můžete se podívat na stopu – součet diagonálních prvků – $\rho^2$. Operátor hustoty představuje čistý stav, pokud a pouze pokud $tr(\rho ^{2})=1$.
Q# sekvence bran ekvivalentní kvantovým stavům
Poslední bod, který stojí za zmínku ohledně kvantové notace a programovacího Q# jazyka: v tomto článku bylo dříve zmíněno, že kvantový stav je základním objektem informací v kvantových výpočtech. Může být překvapivé, že v Q# neexistuje žádný koncept kvantového stavu. Q# Místo toho popisuje všechny stavy pouze operacemi použitými k jejich přípravě. Předchozí příklad je vynikající ilustrací této definice. Místo vyjádření jednotné superpozice nad každým kvantovým bitovým řetězcem v registru můžete výsledek vyjádřit jako $H^{\otimes n}\ket{0}$. Tento exponenciálně kratší popis stavu má výhodu, kterou můžete klasicky zdůvodnět. Také stručně definuje operace, které je potřeba rozšířit prostřednictvím softwarového zásobníku pro implementaci algoritmu. Z tohoto důvodu je Q# navržena tak, aby emitovala sekvence bran namísto kvantových stavů; na teoretické úrovni jsou však tyto dvě perspektivy ekvivalentní.