Pauliho měření s jedním a více qubity

Při práci s Q#nástrojem zjistíte, že Pauliho měření jsou běžným typem měření. Pauliho měření zobecní výpočetná základní měření tak, aby zahrnovala měření v jiných základech a paritu mezi různými qubity. V takových případech je běžné diskutovat o měření Pauliho operátoru, což je operátor, jako $je X, Y, Z$ nebo $Z\otimes Z, X\otimes X, X\otimes Y$ atd. Základní informace o kvantovém měření najdete v tématech Qubit a Multiple qubits.

Diskuse o měření z hlediska Pauliho operátorů je běžná v dílčím poli opravy kvantových chyb.
Q# průvodce se řídí podobnými konvencemi; tento článek vysvětluje toto alternativní zobrazení měření.

Tip

V Q#systému jsou operátory s více qubity Pauli obecně reprezentovány poli typu Pauli[]. Například k reprezentaci $X \otimes Z \otimes Y$ můžete použít pole [PauliX, PauliZ, PauliY].

Než se ponoříte do podrobností o pauliho měření, je vhodné se zamyslet nad tím, co měření jednoho qubitu uvnitř kvantového počítače s kvantovým stavem udělá. $Představte si n-qubitový$ kvantový stav. Měření jednoho qubitu okamžitě vylučuje polovinu $z možností 2^n$, ve kterých se stav může nacházet. Jinými slovy, měření promítá kvantový stav na jednu ze dvou polovičních mezer. Způsob, jakým o měření přemýšlíte, můžete zobecnit, aby odrážel tuto intuici.

K stručné identifikaci těchto podprostorů je potřeba jazyk pro jejich popis. Jedním ze způsobů, jak tyto dva podprostory popsat, je jejich určení prostřednictvím matice, která má pouze dvě jedinečné hodnoty, které se podle konvence považují za $\pm 1$. Jednoduchý příklad popisování podprostorů tímto způsobem najdete v tématu $Z$:

$$\begin{\begin{align} Z & =\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}. \end{align} $$

Čtením diagonálních prvků pauli-Z$$ matice lze zjistit, že $Z$ má dva vektory $\ket{0}$ a $\ket{1}$s odpovídajícími hodnotami vlastních čísel $\pm 1$. Pokud tedy výsledkem měření qubitu Zero je (odpovídající stavu $\ket{0}$), je známo, že stav qubitu je $+1$ předigenitu operátoru $Z$ . Podobně, pokud je Onevýsledek , je známo, že stav qubitu je $-1$ eigenstate Z$$. Tento proces se v jazyce Pauliho měření označuje jako " měření Pauliho $Z,quot$&; a je zcela ekvivalentní provedení výpočetního měření.

Tato kritéria splňuje také jakákoli $matice 2\times 2$, která je jednotnou transformací Z$$. To znamená, že by bylo možné použít také matici A U^\dagger Z U$, kde $U$ je jakákoli jiná unitární matice, a poskytnout tak matici, která definuje dva výsledky měření v vlastních $vektorech \pm 1$.=$ Zápis Pauliho měření odkazuje na tuto jednotkovou ekvivalenci tím, že identifikuje $měření X,Y,Z$ jako ekvivalentní měření, která by bylo možné udělat pro získání informací z qubitu. Tato měření jsou zde uvedena pro usnadnění.

Pauli měření Jednotná transformace
$Z$ $\mathbf{1}$
$X$ $H$
$Y$ $HS^{\dagger}$

To znamená, že pomocí tohoto jazyka, " míra $Y$" je ekvivalentem použití $HS^\dagger$ a následného měření ve výpočetní bázi, kde S je vnitřní kvantová operace někdy označovaná &jako quot; fázová brána,quot&; a lze simulovat pomocí unitární matice

$$\begin{\begin{align}S =1 amp; 0 \\ 0 & i \end{bmatrix}.&\begin{bmatrix} \end{align} $$

Je to také ekvivalent použití $HS^\dagger$ na kvantový vektor stavu a následné měření $Z$, takže následující operace je ekvivalentní Measure([PauliY], [q])k :

operation MeasureY(qubit : Qubit) : Result {
    mutable result = Zero;
    within {
        Adjoint S(q);
        H(q);
    } apply {
        set result = M(q);
    }
    return result;
}

Správný stav se pak najde transformací zpět na výpočetní základ, což představuje použití $SH$ na kvantový vektor stavu; ve fragmentu kódu se transformace zpět na výpočetní základ zpracuje automaticky pomocí within … apply bloku.

V Q#--- výsledek je, že klasická informace extrahovaná z interakce se stavem--- je daná pomocí Result hodnoty $j \in \{\texttt{Nula}, Jedna}\}$ označující, \texttt{jestli je výsledek v $(-1)^j$ eigenspace pauliho operátoru měřené.

Měření s více qubity

Měření více qubitových Pauliho operátorů jsou definována podobně, jak je vidět na těchto příkladech:

$$ Z\otimes Z =\begin{bmatrix}1 & 0 & 0& 0\\ amp&;-1& 0& 0\\ 0& 0&-1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{bmatrix}. $$

Proto tenzorové součiny dvou Pauli-Z$$ operátorů tvoří matici složenou ze dvou mezer skládajících se z $+1$ a $-1$ vlastních hodnot. Stejně jako u případu s jedním qubitem představují obě poloviny mezery, což znamená, že polovina přístupného vektorového prostoru patří do $emogenspace +1$ a zbývající polovina do $-1$ znaku. Obecně je z definice tensorového produktu snadno vidět, že tomu také podléhá jakýkoli tenzorový součin operátorů Pauli-Z$$ a identita. Třeba

$$\begin{align}Z \otimes\begin{bmatrix}{1}=\mathbf{1 & 0 & 0 & 0 amp; 0 &\\ amp; 1 & 0 & 0 &\\ amp; 0 & -1 & 0 amp; 0 \\& 0 & 0 amp; 0 & -1 .\end{bmatrix} \end{align} $$

Stejně jako předtím každá jednotná transformace takových matic popisuje také dvě poloviční mezery označené $\pm 1$ eigenvalues. Například X X H H(Z\otimes Z)H$\otimes z identity, která $Z=HXH$.\otimes=\otimes$ Podobně jako u případu s jedním qubitem mohou být všechna dvou qubitová Pauliho měření zapsána jako $U^\dagger (Z\otimes 1) U$ pro $4\times 4$ unitární matice $U$. Transformace jsou uvedené v následující tabulce.

Poznámka

V této tabulce se $\operatorname{swap}$ používá k označení matice\operatorname{$$\begin{align} SWAP&}amp; =\left(matice 1 amp; 0 & 0 & 0 amp; 0 &\\ amp; 0 & 1 & 0 &\\ amp; 1 & 0 & 0 amp&; 0 \\ amp; 0 & 0 & 1 \end{matice}\right) \end{align}$$ slouží k simulaci vnitřní operace SWAP.&}\begin{

Pauli měření Jednotná transformace
$Z\otimes\mathbf{1}$ $\mathbf{1}\otimes \mathbf{1}$
$X\otimes\mathbf{1}$ $H\otimes\mathbf{1}$
$Y\otimes\mathbf{1}$ $HS^\dagger\otimes\mathbf{1}$
$\mathbf{1}\otimes Z$ $\operatorname{SWAP}$
$\mathbf{1}\otimes X$ $(H\otimes\mathbf{1})\operatorname{SWAP}$
$\mathbf{1}\otimes Y$ $(HS^\dagger\otimes\mathbf{1})\operatorname{SWAP}$
$Z\otimes Z$ $\operatorname{CNOT}_{10}$
$X\otimes Z$ $\operatorname{CNOT}_{10}(H\otimes\mathbf{1})$
$Y\otimes Z$ $\operatorname{CNOT}_{10}(HS^\dagger\otimes\mathbf{1})$
$Z\otimes X$ $\operatorname{CNOT}_{10}(\mathbf{1}\otimes H)$
$X\otimes X$ $\operatorname{CNOT}_{10}(H\otimes H)$
$Y\otimes X$ $\operatorname{CNOT}_{10}(HS^\dagger\otimes H)$
$Z\otimes Y$ $\operatorname{CNOT}_{10}(\mathbf{1}\otimes HS^\dagger)$
$X\otimes Y$ $\operatorname{CNOT}_{10}(H\otimes HS^\dagger)$
$Y\otimes Y$ $\operatorname{CNOT}_{10}(HS^\dagger\otimes HS^\dagger)$

Tady se CNOT operace zobrazí z následujícího důvodu. Každé Pauliho měření, které neobsahuje $\mathbf{1}$ matici, je podle dřívějšího odůvodnění ekvivalentní jednotce ke $Z\otimes Z$ . Vlastní hodnoty Z $\otimes$ závisí pouze na paritě qubitů, které tvoří každý vektor výpočetní báze, a operace řízené-ne slouží k výpočtu této parity a jejímu uložení v prvním bitu. Po změřeném prvním bitu je možné obnovit identitu výsledného polovičního prostoru, což odpovídá měření Pauliho operátoru.

I když může být lákavé předpokládat, že měření Z Z je stejné jako sekvenční měření $Z{1}$\otimes\mathbb{ a potom $\mathbb{1}\otimes Z$, tento předpoklad by byl nepravdivý.$\otimes$ Důvodem je to, že měření $Z\otimes Z$ promítá kvantový stav do $1$ nebo $-1$ vlastních stavů těchto operátorů. Měření $Z\otimes\mathbb{1}$ a potom $\mathbb{1}\otimes Z$ promítá kvantový vektor stavu nejprve do poloviny $prostoru Z\mathbb{\otimes{1}$ a pak na polovinu $\mathbb{{1}\otimes prostoru Z.$ Vzhledem k tomu, že existují čtyři výpočetní základní vektory, zmenšuje provedení obou měření stav na čtvrtinovou mezeru, a proto ho zmenšuje na jeden vektor výpočetní báze.

Korelace mezi qubity

Dalším způsobem, jak se podívat na měření tenzorových součinů Pauliho matic, jako $je X\otimes X$ nebo $Z\otimes Z$ , je, že tato měření umožňují podívat se na informace uložené v korelacích mezi dvěma qubity. Měření $X\otimes 1$ umožňuje podívat se na informace, které jsou místně uložené v prvním qubitu. Oba typy měření jsou v kvantových výpočtech stejně cenné, ale ty první osvěcují sílu kvantových výpočtů. Ukazuje, že v kvantových výpočtech často nejsou informace, které se chcete naučit, uloženy v žádném qubitu, ale spíše ne místně ve všech qubitech najednou, a proto se tyto informace projeví pouze při společném měření (např. $Z Z\otimes$).

Lze také měřit libovolné Pauli operátory, jako $je X\otimes Y \otimes Z \otimes\mathbf{1}$ . Všechny takové tenzorové produkty Pauliho operátorů mají pouze dvě hodnoty vlastních hodnot $\pm 1$ a oba prostory představují poloviční mezery celého vektorového prostoru. Proto se shodují s výše uvedenými požadavky.

V Q#vrátí $taková měření hodnotu j$ , pokud měření vrátí výsledek v prostoru znaménka $(-1)^j$. Pauliho měření jako integrovanou funkci v Q# nástroji je užitečné, protože měření takových operátorů vyžaduje dlouhé řetězy kontrolovaných bran a transformací základu, které popisují diagonální $hradlo U$ potřebné k vyjádření operace jako tenzorový součin Z $$ a $1$. Když budete moct určit, že chcete provést jedno z těchto předdefinovaných měření, nemusíte se starat o to, jak transformovat základ tak, aby výpočetní základní měření poskytovalo potřebné informace. Q# automaticky zpracuje všechny potřebné základní transformace za vás.

The No-Cloning Theorém

Kvantové informace jsou výkonné. Umožňuje provádět úžasné věci, například čísla faktoru exponenciálně rychleji než nejznámější klasické algoritmy, nebo efektivně simulovat korelované elektronové systémy, které klasicky vyžadují exponenciální náklady, aby bylo možné přesně simulovat. Existují však omezení výkonu kvantových výpočtů. Jedno z takových omezení je dáno teorémem bez klonování.

No-Cloning věta má výstižný název. Zakáže klonování obecných kvantových stavů kvantovým počítačem. Důkaz teorému je pozoruhodně jednoduchý. I když úplný důkaz teorému bez klonování je pro tento článek příliš technický, důkaz v případě žádných dalších pomocných qubitů spadá do rozsahu.

Pro takový kvantový počítač musí být operace klonování popsána pomocí unitární matice. Kvantové měření je zakázáno, protože by poškozovalo klonování kvantového stavu. Aby bylo možné simulovat operaci klonování, musí použitá unitární matice mít vlastnost $$ U=\ket{\ket{\psi}\ket{\psi}\ket{\psi}{0}$$ pro libovolný stav .$\ket{\psi}$ Vlastnost linearity násobení matice pak znamená, že pro jakýkoli druhý kvantový stav $\ket{\phi}$:

$$\begin{\begin{align}U \left[ \frac{{1}{\sqrt{{2}}\left(\ket{\phi}+\ket{\psi}\right) \right] \ket{{0}& =\frac{1}{\sqrt{2}} U\ket{\phi}\ket{{0} + \frac{1}{\sqrt{{2}} U\ket{\psi}\ket{0}\\& =\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \ket{\phi}\ket{\phi} + \ket{\psi}\ket{\psi}\right) \\& \ne\left( \frac{{2}}\left{1}{\sqrt{(\ket{\phi}+\ket{\psi}\right) \right) \otimes\left( \frac{1}{\sqrt{{2}}\left(\ket{\phi}+\ket{\psi}\right) \right). \end{align} $$

To poskytuje základní instinkt, který stojí za No-Cloning větou: každé zařízení, které kopíruje neznámý kvantový stav, musí vyvolat chyby alespoň v některých stavech, které kopíruje. Zatímco klíčový předpoklad, že kloner působí lineárně na vstupní stav, může být porušen sčítáním a měřením pomocných qubitů, takové interakce také unikají informace o systému prostřednictvím statistik měření a v takových případech brání přesnému klonování.

No-Cloning věta je důležitá pro kvalitativní porozumění kvantovému computingu, protože kdybyste mohli klonovat kvantové stavy levně, získali byste téměř magickou schopnost učit se z kvantových stavů. Vskutku, mohl bys porušit Heisenbergův pronásledovaný princip nejistoty. Alternativně můžete pomocí optimálního kloneru odebrat jeden vzorek z komplexní kvantové distribuce a zjistit vše, co byste se o této distribuci mohli dozvědět jen z jednoho vzorku. To by bylo, jako byste hodil mince a pozoroval hlavy a pak, když řekl příteli o výsledku, aby odpověděli " Rozdělení této mince musí být Bernoulli s $p=0,512643\ldots$!&Quot; Takové tvrzení by bylo nesmyslné, protože jeden bit informací (hlavní výsledek) jednoduše nemůže poskytnout mnoho bitů informací potřebných ke kódování distribuce bez podstatných předchozích informací. Stejně tak bez předchozí informace nelze dokonale klonovat kvantový stav, stejně jako nelze připravit soubor takových mincí bez znalosti $p$.

Informace nejsou v kvantových výpočtech zadarmo. Každý měřený qubit poskytuje jeden kousek informací a No-Cloning věta ukazuje, že neexistuje žádná zadní vrátka, která by se daly využít k obcházení základního kompromisu mezi informacemi získanými o systému a poruchami, které jsou v systému vyvolány.

Další kroky