Sdílet prostřednictvím

Měření Pauli s jedním qubitem a více qubity

  • Článek

Když pracujete Q#, zjistíte, že pauli měření jsou běžným typem měření. Pauli měření generalizují výpočetná základní měření tak, aby zahrnovala měření v jiných základech a parity mezi různými qubity. V takových případech je běžné hovořit o měření operátoru Pauli, což je operátor, například X,Y,Z$ nebo $Z\otimes, X X\otimes, X\otimes Y$ atd.$ Základy kvantového měření najdete v tématu Qubit a Více qubitů.

Probíráme měření z hlediska operátorů Pauli běžně v podpole opravy kvantových chyb.
Q# průvodce se řídí podobnou konvencí; tento článek vysvětluje toto alternativní zobrazení měření.

Tip

In Q#, multi-qubit Pauli operátory jsou obecně reprezentovány polemi typu Pauli[]. Pokud chcete například znázorňovat $X \otimes Z \otimes Y$, můžete použít pole [PauliX, PauliZ, PauliY].

Než se ponoříte do podrobností o tom, jak si představit měření Pauli, je užitečné přemýšlet o tom, co měření jednoho qubitu uvnitř kvantového počítače dělá s kvantovým stavem. $Představte si kvantový stav n-qubitu$. Měření jednoho qubitu okamžitě vytáhlo polovinu z $2^n$ možností, ve kterých by mohl být stav. Jinými slovy, měření projektuje kvantový stav na jeden ze dvou polovičních mezer. Můžete zobecnit způsob, jakým uvažujete o měření, aby odrážela tuto intuici.

K stručné identifikaci těchto podprostorů potřebuje jeden jazyk pro jejich popis. Jedním ze způsobů, jak popsat dva podprostory, je jejich určením prostřednictvím matice, která má pouze dvě jedinečné hodnoty eigenvalue, které jsou převzaty konvencí jako $\pm 1$. Pro jednoduchý příklad popisu podprostorů tímto způsobem zvažte $Z$:

$$\begin{\begin{align} Z & =\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}. \end{align} $$

Čtením diagonálních prvků matice Pauli-Z$$ lze zjistit, že $Z$ má dva eigenvectory, $\ket{0}$ a $\ket{1}$s odpovídajícími hodnotami $\pm 1$. Pokud tedy výsledkem měření qubitu Zero (odpovídajícího stavu $\ket{0}$), je známo, že stav qubitu je $+1$ eigenstate operátoru $Z$ . Podobně platí, že pokud je Onevýsledkem , je známo, že stav qubitu je $-1$ eigenstate Z$$. Tento proces je označován v jazyce Pauli měření jako " měření Pauli $Z,quot$&; a je zcela ekvivalentní k provádění výpočetního měření základu.

Každá $2\times 2$ matice, která je jednotkovou transformací $Z$ , splňuje také tato kritéria. To znamená, že jeden by mohl také použít matici $A=U^\dagger Z,$ kde $U$ je jakákoli jiná jednotková matice, aby matici, která definuje dva výsledky měření v jeho $\pm 1$ eigenvectors. Zápis měření Pauli odkazuje na tuto jednotkovou ekvivalenci tím, že identifikuje $měření X,Y,Z$ jako ekvivalentní měření, která by mohla udělat pro získání informací z qubitu. Tato měření jsou zde uvedena pro usnadnění.

Pauli Měření Unitární transformace
$Z$ $\mathbf{1}$
$X$ $H$
$Y$ $HS^{\dagger}$

To znamená, že pomocí tohoto jazyka quot &; míra $Y$&; je ekvivalentní použití $HS^\dagger$ a následně měření ve výpočetním základu, kde S je vnitřní kvantová operace někdy označovaná jako " fázová brána,quot&; a lze ji simulovat pomocí jednotkové matice.

$$\begin{\begin{align}S =1 amp; 0 \\ 0 & i \end{bmatrix}.&\begin{bmatrix} \end{align} $$

Je také ekvivalentní použití $HS^\dagger$ u kvantového stavového vektoru a následné měření $Z$, aby následující operace byla ekvivalentní Measure([PauliY], [q]):

operation MeasureY(qubit : Qubit) : Result {
    mutable result = Zero;
    within {
        Adjoint S(q);
        H(q);
    } apply {
        set result = M(q);
    }
    return result;
}

Správný stav se pak najde tak, že se transformuje zpět na výpočetní základ, který se použije sh$ u $kvantového stavového vektoruwithin … apply. V fragmentu kódu se transformace zpět na výpočetní základ zpracuje automaticky pomocí použití bloku.

VýsledekQ#---těž je, že klasické informace extrahované z interakce se stavem---is dané pomocí Result hodnoty $j \in \{\texttt{Nula}, 1}\}$ označující, \texttt{zda je výsledek v $(-1)^j$ eigenspace operátoru Pauli měřen.

Měření více qubitů

Měření operátorů Pauli s více qubity jsou definovány podobně, jak je vidět z:

$$ Z Z\otimes =\begin{bmatrix}1 & 0 & 0& 0\\ 0&-1& 0& 0\\ 0& 0&-1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{bmatrix}. $$

Proto tensorové produkty dvou operátorů Pauli-Z$$ tvoří matici složenou ze dvou mezer sestávajících z $+1$ a $-1$ eigenvalue. Stejně jako u případu s jedním qubitem představují obě poloviny mezery, což znamená, že polovina přístupného vektorového prostoru patří do $prostoru +1$ eigenspace a zbývající polovina do $prostoru -1$ eigenspace. Obecně je snadno vidět z definice tensorového produktu, že jakýkoli tenzorový produkt pauli-Z$$ operátorů a identita také toto dodržuje. Příklad:

$$\begin{align}Z \otimes\begin{bmatrix}{1}\mathbf{=1 & 0 & 0 & 0 \\ & 1 & 0 & 0 amp; 0 \\ amp; 0 && -1 & 0 \\ amp; 0 & 0 & 0 amp; 0 & -1 .\end{bmatrix} \end{align} $$

Stejně jako předtím všechny jednotné transformace těchto matic také popisují dvě poloviční mezery označené znakem $\pm 1$ eigenvalues. Například X X H H\otimes(Z\otimes)H\otimes h$ z identity, kterou $Z=HXH$.=\otimes $ Podobně jako u jednoho qubitu mohou být všechny dva qubity Pauli-measurements zapsány jako $U^\dagger (Z\otimes 1) U$ pro $4\times 4$ jednotkové matice $U$. Transformace jsou uvedené v následující tabulce.

Poznámka:

V této tabulce $\operatorname{se funkce SWAP}$ používá k označení matice $$\begin{align}\operatorname{SWAP}& =\left(matice 1 a 0 & 0 & 0 \\ amp; 0 amp; 0 && 1 & 0 \\ amp; &0 & 0 & \\ 0 & 0 & 0 amp; 0 & 1 \end{matice}\right)$$ \end{align}sloužící k simulaci vnitřní operace SWAP.&}\begin{

Pauli Měření Unitární transformace
$Z\otimes\mathbf{1}$ $\mathbf{1}\otimes \mathbf{1}$
$X\otimes\mathbf{1}$ $H\otimes\mathbf{1}$
$Y\otimes\mathbf{1}$ $HS^\dagger\otimes\mathbf{1}$
$\mathbf{1}\otimes Z$ $\operatorname{VYMĚNIT}$
$\mathbf{1}\otimes X$ $(H\otimes\mathbf{1})\operatorname{VYMĚNIT}$
$\mathbf{1}\otimes Y$ $(HS^\dagger\otimes\mathbf{1})\operatorname{VYMĚNIT}$
$Z\otimes Z$ $\operatorname{CNOT}_{10}$
$X\otimes Z$ $\operatorname{CNOT}_{10}(H\otimes\mathbf{1})$
$Y\otimes Z$ $\operatorname{CNOT}_{10}(HS^\dagger\otimes\mathbf{1})$
$Z\otimes X$ $\operatorname{CNOT}_{10}(\mathbf{1}\otimes H)$
$X\otimes X$ $\operatorname{CNOT}_{10}(H\otimes )$
$Y\otimes X$ $\operatorname{CNOT}_{10}(HS^\dagger\otimes H)$
$Z\otimes Y$ $\operatorname{CNOT}_{10}(\mathbf{1}\otimes HS^\dagger)$
$X\otimes Y$ $\operatorname{CNOT}_{10}(H\otimes HS^\dagger)$
$Y\otimes Y$ $\operatorname{CNOT}_{10}(HS^\dagger\otimes HS^\dagger)$

Tady se CNOT operace zobrazí z následujícího důvodu. Každé měření Pauli, které neobsahuje $\mathbf{1}$ matici, je ekvivalentní jednotce k $Z\otimes Z$ dřívějším odůvodněním. Eigenvalues $Z\otimes Z$ závisí pouze na paritě qubitů, které tvoří každý výpočetní základní vektor, a řízené operace slouží k výpočtu této parity a uložení do prvního bitu. Jakmile se první bit změří, jeden může obnovit identitu výsledné poloviny mezery, která je ekvivalentní měření operátoru Pauli.

I když může být lákavé předpokládat, že měření Z Z je stejné jako sekvenční $měření $Z\otimes{1}$\mathbb{ a pak\otimes $\mathbb{1}Z$, tento předpoklad by byl nepravdivý.$\otimes Důvodem je, že měření Z\otimes Z$ projekci $kvantového stavu buď $do +1$, nebo $-1$ eigenstate těchto operátorů. Měření $Z\otimes\mathbb{1}$ a potom $\mathbb{1}\otimes Z$ nejprve promítá kvantový stavový vektor do poloviny mezery $od Z\mathbb{\otimes{1}$ a pak do poloviny mezery{1}$\mathbb{\otimes Z.$ Vzhledem k tomu, že existují čtyři výpočetní základní vektory, provádění obou měření snižuje stav na čtvrtinovou mezeru, a proto ho snižuje na jeden výpočetní základní vektor.

Korelace mezi qubity

Dalším způsobem, jak se podívat na měření tensorových produktů pauliových matic, jako $je X\otimes X$ nebo $Z\otimes ,$ je to, že tato měření umožňují podívat se na informace uložené v korelacích mezi těmito dvěma qubity. Měření $X\otimes 1$ umožňuje podívat se na informace, které jsou místně uložené v prvním qubitu. I když jsou oba typy měření stejně cenné v kvantových výpočtech, bývalý prosvítí výkon kvantového computingu. Ukazuje, že v kvantových výpočtech se často informace, které chcete naučit, nejsou uložené v žádném qubitu, ale ukládají se nemístně ve všech qubitech najednou, a proto se tyto informace projeví pouze při společném měření (např. $Z\otimes Z$).

Lze také měřit libovolné operátory Pauli, jako $je X\otimes Y \otimes Z \otimes\mathbf{1}$ . Všechny takové tensorové produkty Pauli operátory mají pouze dvě eigenvalues $\pm 1$ a oba eigenspaces představují poloviční mezery celého vektorového prostoru. Proto se shodují s požadavky, které byly uvedeny dříve.

V Q#případě, že tato měření vrátí $j$ , pokud měření vrátí výsledek v eigenspace znaménka $(-1)^j$. Pauli měření jako integrovaná funkce Q# je užitečná, protože měření takových operátorů vyžaduje dlouhé řetězy kontrolovaných bran a základových transformací, které popisují diagonální $$ U bránu potřebnou k vyjádření operace jako tensorového součinu $Z$ a $1$. Díky tomu, že budete moct určit, že chcete provést některou z těchto předdefinovaných měření, nemusíte se starat o to, jak transformovat základ tak, aby měření výpočetního základu poskytovalo potřebné informace. Q# zpracovává všechny nezbytné základní transformace pro vás automaticky.

Teorém bez klonování

Kvantové informace jsou výkonné. Umožňuje provádět úžasné věci, jako jsou faktorová čísla exponenciálně rychleji než nejlepší známé klasické algoritmy, nebo efektivně simulovat korelované elektronové systémy, které klasicky vyžadují exponenciální náklady, aby bylo možné přesně simulovat. Existují však omezení výkonu kvantových výpočtů. Jedno takové omezení je dáno theorémem Bez klonování.

Theorém no-cloning je aptly pojmenovaný. Zakáže klonování obecných kvantových stavů kvantovým počítačem. Důkaz věty je výrazně jednoduchý. I když je úplný důkaz neklonování teorému příliš technický pro tento článek, důkaz v případě žádného dalšího pomocného qubitu je v rozsahu.

Pro takový kvantový počítač musí být operace klonování popsána s jednotkovou maticí. Kvantové měření je zakázáno, protože by poškodilo klonování kvantového stavu. K simulaci operace klonování musí použitá jednotková matice mít vlastnost $$ U=\ket{\ket{\psi}\ket{\psi}\ket{\psi}{0}$$ pro libovolný stav .$\ket{\psi}$ Vlastnost linearity násobení matice pak znamená, že pro jakýkoli druhý kvantový stav $\ket{\phi}$,

$$\begin{\begin{align}U \left[ \frac{{1}{\sqrt{{2}}\left(\ket{\phi}+\ket{\psi}\right) \right] \ket{{0}& =\frac{1}{\sqrt{2}} U + \frac{1}{\sqrt{{2}} U\ket{\psi}\ket{0}{0}&\\\ket{\phi}\ket{ amp; =\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \ket{\phi}\ket{\phi} +\ket{\psi}\ket{\psi}\right) \\& \ne\left( \frac{{2}}\left{1}{\sqrt{(\ket{\phi}+\ket{\psi}\right) \right) \otimes\left( \frac{1}{\sqrt{{2}}\left(\ket{\phi}+\ket{\psi}\right) \right). \end{align} $$

To poskytuje základní intuitivní znaméno za teorémem Bez klonování: jakékoli zařízení, které kopíruje neznámý kvantový stav, musí indukovat chyby alespoň u některých stavů, které kopíruje. I když klíčový předpoklad, že klonovací nástroj funguje lineárně ve vstupním stavu, může být porušen přidáním a měřením pomocných qubitů, tyto interakce také unikly informace o systému prostřednictvím statistik měření a zabránit přesnému klonování v takových případech.

K kvalitativnímu porozumění kvantovým výpočtům je důležité teorém bez klonování, protože pokud byste mohli kvantové stavy naklonovat levně, pak byste získali téměř magickou schopnost učit se z kvantových stavů. Věru bys mohl porušit zásadu nejistoty Heisenberga. Alternativně můžete použít optimální klonovací nástroj k pořízení jediného vzorku ze složité kvantové distribuce a zjistit vše, co byste se o této distribuci mohli dozvědět jen z jedné ukázky. To by bylo jako byste převrátili mince a pozorovali hlavy a pak řekl příteli o výsledku, který by jim odpověděl &. Ah rozdělení této mince musí být Bernoulli s $p=0,512643\ldots$!&Quot; Takový výrok by byl nesmyslný, protože jeden bit informací (výsledek hlavy) jednoduše nemůže poskytnout mnoho bitů informací potřebných ke kódování distribuce bez podstatných předchozích informací. Podobně bez předchozích informací nelze dokonale naklonovat kvantový stav, stejně jako jeden nemůže připravit soubor takových mincí bez znalosti $p$.

Informace nejsou v kvantových výpočtech zadarmo. Každý qubit měřený poskytuje jeden bit informací a klonování teorému No-Cloning ukazuje, že neexistuje žádný zadní vrátek, který by mohl být zneužit k získání základní kompromisu mezi informacemi získanými o systému a narušením vyvolaným na něm.

Související obsah