Sdílet prostřednictvím

Jednoqubitová a vícequbitová měření Pauliho

  • Článek

Když pracujete s Q#, zjistíte, že Pauli měření jsou běžná. Pauli měření generalizují výpočetná základní měření tak, aby zahrnovala měření v jiných základech a parity mezi různými qubity. V takových případech je běžné hovořit o měření operátoru Pauli, což je operátor, například $X,Y,Z$ nebo $Z\otimes Z, X\otimes X, X\otimes Y$atd. Základy kvantového měření najdete v tématu Qubit a Více qubitů.

Probíráme měření z hlediska operátorů Pauli běžně v podpole opravy kvantových chyb.
Q# průvodce se řídí podobnou konvencí; tento článek vysvětluje toto alternativní zobrazení měření.

Tip

V Q# jsou vícequbitové Pauli operátory obecně reprezentovány poli typu Pauli[]. Pokud chcete například znázorňovat $X \otimes Z \otimes Y$, můžete použít pole [PauliX, PauliZ, PauliY].

Než se ponoříte do podrobností o tom, jak si představit měření Pauli, je užitečné přemýšlet o tom, co měření jednoho qubitu uvnitř kvantového počítače dělá s kvantovým stavem. $Představte si n-qubitový kvantový stav$; při měření jednoho qubitu se okamžitě vyloučí polovina z $2^n$ možností, ve kterých by mohl být stav. Jinými slovy, měření projektuje kvantový stav na jeden ze dvou polovičních mezer. Můžete zobecnit způsob, jakým uvažujete o měření, aby odrážela tuto intuici.

K stručné identifikaci těchto podprostorů potřebuje jeden jazyk pro jejich popis. Jedním ze způsobů, jak popsat dva podprostory, je jejich určením prostřednictvím matice, která má pouze dvě jedinečné hodnoty eigenvalue, které jsou převzaty konvencí jako $\pm 1$. Pro jednoduchý příklad popisu podprostorů tímto způsobem zvažte $Z$:

$$ \begin{ \begin{align} Z & =\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}. \end{align} $$

Při čtení diagonálních prvků matice Pauli-$Z$ můžete vidět, že $Z$ má dva vlastní vektory, $\ket{0}$ a $\ket{1}$, s odpovídajícími vlastními hodnotami $\pm 1$. Pokud tedy výsledkem měření qubitu je Zero (odpovídající stavu $\ket{0}$), je známo, že stav qubitu je $+1$ eigenstate operátoru $Z$. Podobně, pokud je výsledek One, je známo, že stav qubitu je $-1$ vlastní stav $Z$. Tento proces je označován v jazyce Pauli měření jako &„měření Pauli $Z$“&, a je zcela ekvivalentní s prováděním výpočetního měření základu.

Každá $2\times 2$ matice, která je jednotkovou transformací $Z$ , splňuje také tato kritéria. To znamená, že můžete také použít matici $A=U^\dagger Z U$, kde $U$ je jakákoli jiná unitární matice, která poskytuje matici definující dva výsledky měření ve svých vlastní vektorech $\pm 1$. Zápis měření Pauli odkazuje na tuto jednotkovou ekvivalenci identifikací $X,Y,Z$ měření jako ekvivalentních měření, která můžete udělat, abyste získali informace z qubitu. Tato měření jsou zde uvedena pro usnadnění.

Pauli Měření Unitární transformace
$Z$ $\mathbf{1}$
$X$ $H$
$Y$ $HS^{\dagger}$

To znamená, že pomocí tohoto jazyka &„míra $Y$&” je ekvivalentní použití $HS^\dagger$ a následně měření ve výpočetním základu, kde S je vnitřní kvantová operace někdy označovaná jako &„fázová brána”&, a lze ji simulovat pomocí jednotkové matice.

$$ \begin{ \begin{align}S =\begin{bmatrix}1 amp; 0 &0 \\amp; i &.\end{bmatrix} \end{align} $$

Je to také ekvivalentní s aplikací $HS^\dagger$ na kvantový stavový vektor a následným měřením $Z$, aby byla následující operace ekvivalentní s Measure([PauliY], [q]):

operation MeasureY(qubit : Qubit) : Result {
    mutable result = Zero;
    within {
        Adjoint S(q);
        H(q);
    } apply {
        result = M(q);
    }
    return result;
}

Správný stav se pak najde tak, že se transformuje zpět na výpočetní základ, což znamená, že se na kvantový stavový vektor aplikuje $SH$; ve fragmentu kódu je transformace zpět na výpočetní základ automaticky zpracována pomocí bloku within … apply.

VýsledekQ#---to znamená, klasické informace extrahované z interakce se stavem---je dáno pomocí Result hodnoty $j \in \{\texttt{Nula}, \texttt{Jedna}\}$ označující, $zda je výsledek ve $(-1)^j$ vlastním prostoru operátoru Pauli měřen.

Měření více qubitů

Měření operátorů Pauli s více qubity jsou definovány podobně, jak je vidět z:

$$ Z Z\otimes=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0& 0\\ 0&-1& 0& 0\\ 0& 0&-1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{bmatrix}. $$

Proto tenzorové součiny dvou operátorů Pauli-Z$$ tvoří matici skládající se ze dvou prostorů, které obsahují $+1$ a $-1$ vlastní hodnoty. Stejně jako u případu s jedním qubitem představují oba poloviční mezeru, což znamená, že polovina přístupné vektorové mezery patří do $+1$ eigenspace a zbývající polovina do $-1$ eigenspace. Obecně je z definice tensorového produktu snadno vidět, že jakýkoli tenzorový produkt Pauli-$Z$ operátory a identita to také dodržuje. Příklad:

$$ \begin{align}Z \otimes\mathbf{{1}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & -1 & 0 \\0 & 0 & 0 & -1\end{bmatrix}. \end{align} $$

Stejně jako předtím všechny jednotné transformace těchto matic také popisují dvě poloviční mezery označené znakem $\pm 1$ eigenvalues. Například $X\otimes X = H\otimes H(Z\otimes Z)H\otimes H$ z identity, kterou $Z=HXH$. Podobně jako v případě jednoho qubitu lze všechna dvouqubitová Pauli-měření zapisovat jako $U^\dagger (Z\otimes 1) U$ pro $4\times 4$ unitárních matic $U$. Transformace jsou uvedené v následující tabulce.

Poznámka:

V této tabulce $\operatorname{se funkce SWAP}$ používá k označení matice $$\begin{align}\operatorname{SWAP}& =\left(matice 1 a 0 \begin{amp; 0 }amp; 0 & amp; 0 amp; 0 && 1 \\amp; 0 & amp; &0 & 0 \\amp; & 0 & 0 & 0 amp; 0 \\amp; 1 &matice&)&\end{sloužící k simulaci vnitřní operace }\right.\end{align}$$SWAP

Pauliho Měření Unitární transformace
$Z\otimes\mathbf{1}$ $\mathbf{1}\otimes \mathbf{1}$
$X\otimes\mathbf{1}$ $H\otimes\mathbf{1}$
$Y\otimes\mathbf{1}$ $HS^\dagger\otimes\mathbf{1}$
$\mathbf{1} \otimes Z$ $\operatorname{VYMĚNIT}$
$\mathbf{1} \otimes X$ $(H\otimes\mathbf{1})\operatorname{VYMĚNIT}$
$\mathbf{1} \otimes Y$ $(HS^\dagger\otimes\mathbf{1})\operatorname{Vyměnit}$
$Z\otimes Z$ $\operatorname{CNOT}_{10}$
$X\otimes Z$ $\operatorname{CNOT}_{10}(H\otimes\mathbf{1})$
$Y\otimes Z$ $\operatorname{CNOT}_{10}(HS^\dagger\otimes\mathbf{1})$
$Z\otimes X$ $\operatorname{CNOT}_{10}(\mathbf{1}\otimes H)$
$X\otimes X$ $\operatorname{CNOT}_{10}(H\otimes )$
$Y\otimes X$ $\operatorname{CNOT}_{10}(HS^\dagger\otimes H)$
$Z\otimes Y$ $\operatorname{CNOT}_{10}(\mathbf{1}\otimes HS^\dagger)$
$X\otimes Y$ $\operatorname{CNOT}_{10}(H\otimes HS^\dagger)$
$Y\otimes Y$ $\operatorname{CNOT}_{10}(HS^\dagger\otimes HS^\dagger)$

Tady se CNOT operace zobrazí z následujícího důvodu. Každé měření Pauli, které neobsahuje matici $\mathbf{1}$, odpovídá jednotce $Z\otimes Z$ dřívějším odůvodněním. Eigenvalues $Z\otimes Z$ závisí pouze na paritě qubitů, které tvoří každý výpočetní základní vektor, a řízené operace slouží k výpočtu této parity a uložení do prvního bitu. Jakmile se změří první bit, můžete obnovit identitu výsledné poloviny mezery, která je ekvivalentní měření operátoru Pauli.

Ačkoli může být lákavé předpokládat, že měření $Z\otimes Z$ je totéž jako sekvenční měření $Z\otimes\mathbb{{1}$ a potom $\mathbb{1}\otimes Z$, tento předpoklad by byl nesprávný. Důvodem je, že měření Z$ Z\otimes promítá kvantový stav buď do +1$ nebo -1$ eigenstavu těchto operátorů. Měření $Z\otimes\mathbb{1}$ a potom $\mathbb{1}\otimes Z$ nejprve promítá kvantový stavový vektor do poloprostoru $Z\otimes\mathbb{{1}$ a pak do poloprostoru $\mathbb{{1}\otimes Z$. Vzhledem k tomu, že existují čtyři výpočetní základní vektory, provádění obou měření snižuje stav na čtvrtinovou mezeru, a proto ho snižuje na jeden výpočetní základní vektor.

Korelace mezi qubity

Dalším způsobem, jak se podívat na měření tensorových produktů pauliových matic, například $X\otimes X$ nebo $Z\otimes Z$, je, že tato měření umožňují podívat se na informace uložené v korelacích mezi dvěma qubity. Měření $X\otimes 1$ umožňuje podívat se na informace, které jsou místně uložené v prvním qubitu. I když jsou oba typy měření stejně cenné v kvantových výpočtech, bývalý prosvítí výkon kvantového computingu. Ukazuje, že v kvantových výpočtech se často informace, které chcete naučit, nejsou uložené v jednom qubitu, ale ukládají se nemístně ve všech qubitech najednou, a proto se tyto informace projeví pouze při společném měření (např. $Z\otimes Z$).

Lze také měřit libovolné operátory Pauli, jako $X\otimes Y \otimes Z \otimes\mathbf{1}$. Všechny takové tenzorové produkty Pauli operátorů mají pouze dvě vlastní čísla $\pm 1$ a oba vlastní prostory představují poloprostory celého vektorového prostoru. Proto se shodují s požadavky, které byly uvedeny dříve.

V Q# takových měřeních se vrátí $j$, pokud měření přinese výsledek v eigenspace znamení $(-1)^j$. Pauli měření jako integrovaná funkce v Q# je užitečná, protože měření takových operátorů vyžaduje dlouhé řetězy bran kontrolovaných-NOT a základních transformací, které popisují potřebnou diagonální bránu $U$, aby bylo možné operaci vyjádřit jako tensorový součin $Z$ a $1$. Díky tomu, že budete moct určit, že chcete provést některou z těchto předdefinovaných měření, nemusíte se starat o to, jak transformovat základ tak, aby měření výpočetního základu poskytovalo potřebné informace. Q# zpracovává všechny nezbytné základní transformace pro vás automaticky.

Teorém bez klonování

Kvantové informace jsou výkonné. Umožňuje provádět úžasné věci, jako jsou faktorová čísla exponenciálně rychleji než nejlepší známé klasické algoritmy, nebo efektivně simulovat korelované elektronové systémy, které klasicky vyžadují exponenciální náklady, aby bylo možné přesně simulovat. Existují však omezení výkonu kvantových výpočtů. Jedno takové omezení je dáno theorémem Bez klonování.

Theorém no-cloning je aptly pojmenovaný. Zakáže klonování obecných kvantových stavů kvantovým počítačem. Důkaz věty je výrazně jednoduchý. Když je úplný důkaz teorému o nemožnosti klonování příliš technický pro tento článek, důkaz v případě, kdy nejsou k dispozici žádné pomocné qubity, je v rozsahu.

Pro takový kvantový počítač musí být operace klonování popsána s jednotkovou maticí. Kvantové měření je zakázáno, protože by poškodilo kvantový stav, který má být klonován. K simulaci operace klonování musí použitá jednotková matice mít vlastnost $$ U\ket{\psi}\ket{{0}=\ket{\psi}\ket{\psi}$$ pro libovolný stav .$\ket{\psi}$ Vlastnost linearity násobení matice pak znamená, že pro jakýkoli druhý kvantový stav $\ket{\phi}$,

$$ \begin{ \begin{align}U \left[ \frac{{1}{\sqrt{{2}}\left(\ket{\phi}+\ket{\psi}\right) \right] \ket{{0}& =\frac{1}{\sqrt{2}} U\ket{\phi}\ket{{0} + \frac{1}{\sqrt{{2}}U\ket{\psi}\ket{0}\\& amp; =\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \ket{\phi}\ket{\phi} +\ket{\psi}\ket{\psi}\right) \\& \ne\left( \frac{{1}{\sqrt{{2}}\left(\ket{\phi}+\ket{\psi}\right) \right) \otimes\left( \frac{1}{\sqrt{{2}}\left(\ket{\phi}+\ket{\psi}\right) \right). \end{align} $$

To poskytuje základní intuitivní pochopení za teorémem Bez klonování: jakékoli zařízení, které kopíruje neznámý kvantový stav, musí indukovat chyby u některých ze stavů, které kopíruje. Pokud klíčový předpoklad, že klonovací nástroj působí lineárně na vstupní stav, může být porušen přidáním a měřením pomocných qubitů, pak takové interakce unikají informace o systému prostřednictvím statistik měření a navíc také zabraňují přesnému klonování v těchto případech.

K kvalitativnímu porozumění kvantovým výpočtům je důležité teorém bez klonování, protože pokud byste mohli kvantové stavy naklonovat levně, pak byste získali téměř magickou schopnost učit se z kvantových stavů. Opravdu bys mohl porušit vychvalovaný Heisenbergův princip neurčitosti. Alternativně můžete použít optimální klonovací nástroj k pořízení jediného vzorku ze složité kvantové distribuce a zjistit vše, co byste se o této distribuci mohli dozvědět jen z jedné ukázky. To by bylo jako byste převrátili mince a pozorovali hlavy a pak řekl příteli o výsledku, který jim odpoví " Ah rozdělení této mince musí být Bernoulli s $p=0,512643\ldots$!" Takový výrok by byl nesmyslný, protože jeden bit informací (výsledek hlavy) prostě nemůže poskytnout mnoho bitů informací potřebných ke kódování distribuce bez podstatných předchozích informací. Podobně bez předchozích informací nemůžete dokonale naklonovat kvantový stav, stejně jako nemůžete připravit soubor takových mincí, aniž byste věděli, $p$.

Informace nejsou v kvantových výpočtech zadarmo. Každý měřený qubit poskytuje jeden bit informace a teorém No-Cloning ukazuje, že neexistují žádná zadní vrátka, která by mohla být zneužita k obcházení základního kompromisu mezi získanými informacemi o systému a narušením na něj vyvolaným.

Související obsah