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Vectores y matrices en la computación cuántica

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Cierta familiaridad con el álgebra lineal es esencial para comprender la computación cuántica. En este artículo se presentan los conceptos básicos del álgebra lineal y cómo trabajar con vectores y matrices en la computación cuántica.

Vectores

Un vector de columna, o vector para short, $v$ de dimensión (o tamaño) $n$ es una colección de $n$ números $complejos (v_1,v_2,\ldots,v_n)$ organizados como una columna:

$$v=\begin{bmatrix} v_1\\ v_2\\ \vdots\\ v_n \end{bmatrix}$$

La norma de un vector $v$ se define como $\sqrt{\sum_i |v_i|^2}$. Un vector se denomina vector de unidad si su norma es $1$.

El adyacente de un vector $de columna v$ es un vector de fila que se indica como $v^\dagger$ y se define como la transposición conjugada de $v$. Para un vector $de columna v$ de dimensión $n$, el adyacente es un vector de fila de la dimensión $1 \times n$:

$$\begin{bmatrix}\\ v_1 \vdots \\ v_n \end{bmatrix}^\dagger=\begin{bmatrix}v_1^* & \cdots&erio; v_n^*\end{bmatrix}$$

donde $v_i^*$ denota el conjugado complejo de $v_i$.

Mediante el álgebra lineal, el estado de un cúbit $\psi= a \ket{0} + b \ket{1}$ se describe como un vector$\begin{bmatrix} de estado cuántico a \\ b \end{bmatrix}$, donde $|a|^2 + |b|^2 = 1$. Para obtener más información, consulte El cúbit.

Producto escalar

Dos vectores se pueden multiplicar juntos a través del producto escalar, también conocido como producto de punto o producto interno. Como indica el nombre, el resultado del producto escalar de dos vectores es un escalar. El producto escalar proporciona la proyección de un vector a otro y se usa para expresar un vector como una suma de otros vectores más sencillos. El producto escalar entre dos vectores $de columna u$ y $v$ se denota como $\left\langle u, v\right\rangle= ^\dagger v $ y se define como

$$\left\langleu, v u\right\rangle=^\dagger v=\begin{bmatrix}u_1^* & \cdots&erio; u_n^* \end{bmatrix}v_1 \vdots\\ v_n= \end{bmatrix}u_1^* v_1 + \cdots + u_n^* v_n.\\\begin{bmatrix} $$

Con el producto escalar, la norma de un vector $v$ se puede escribir como $\sqrt{\langle v, v\rangle}$.

Puede multiplicar un vector con un número $$ a para formar un nuevo vector cuyas entradas se multiplican por .$$ También se pueden sumar dos vectores $u$ y $v$ para formar un nuevo vector cuyas entradas son la suma de las entradas $u$ y $v$. Estas son las operaciones siguientes:

$$\mathrm{Si u u_1 u_2 \vdots\\ u_n \end{bmatrix}~\mathrm{y =\begin{bmatrix}}~ v v_1\\\\ v_2 \vdots\\ v_n \end{bmatrix},}~~\mathrm{ au+bv =\begin{bmatrix} au_1+bv_1\\ au_2+bv_2\\ \vdots\\ au_n+bv_n\\\\ =\begin{bmatrix}}~\end{bmatrix}$$

Matrices

Una matriz de tamaño $m \times n$ es una colección de $números complejos m\cdot n$ organizados en $filas m$ y $n$ columnas, como se muestra a continuación:

$M =\begin{bmatrix} M_{~~{11} M_{12}\cdots~~~~ M_{1n}\\ M_~~{{21} M_\cdots{22}~~{~~ M_{2n}\\\ddots\\ M_{m1}~~ M_{m2~~\cdots}~~ M_{mn}\\\end{bmatrix}$

Nota:

Tenga en cuenta que un vector de dimensión $n$ es simplemente una matriz de tamaño $n \times 1$.

Las operaciones cuánticas se representan mediante matrices cuadradas, es decir, el número de filas y columnas es igual. Por ejemplo, las operaciones de un solo cúbit se representan mediante $2 2$ \times matrices, como la operación Pauli $X$.

$$X =\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$$

Sugerencia

En Q#, la operación Pauli $X$ se representa mediante la X operación .

Al igual que con los vectores, puede multiplicar una matriz con un número $c$ para obtener una nueva matriz donde cada entrada se multiplica con $c$ y se pueden agregar dos matrices del mismo tamaño para generar una nueva matriz cuyas entradas son la suma de las entradas respectivas de las dos matrices.

Multiplicación de matrices

También puede multiplicar una matriz $M$ de dimensión $m\times n$ y una matriz $N$ de dimensión $n \times p$ para obtener una nueva matriz $P$ de dimensión $m \times p$ de la siguiente manera:

$$\begin{\begin{align}&erio;\begin{bmatrix} {\cdots~~{11}{12}~~~~ M_ M_ M_{1n}\\ M_{21}{~~ M_~~\cdots{~~{22} M_{2n}\\\ddots\\ M_{m1~~} M_{m2}~~~~\cdots M_{mn\end{bmatrix}\begin{bmatrix}} N_~~~~~~{{11}{12}\cdots N_ N_1p}\\ N_{21}~~{ N_~~\cdots{22}~~ N_2p\ddots\\}\\ N_{{n1~~{} N_n2}~~{\cdots~~ N_n P_~~{{11}p P_{}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {12}~~\cdots~~ {P_1p}\\ P_~~{{21} P_\cdots{22}~~{~~ P_{2p}\\\ddots\\ P_{m1}~~ P_{m2~~\cdots}~~ P_mp{}\end{bmatrix}\end{align}$$

donde las entradas de $P$ son $P_{ik}=\sum_j M_{ij}N_{jk}$. Por ejemplo, la entrada $P_{11}$ es el producto escalar de la primera fila de $M$ con la primera columna de $N$. Tenga en cuenta que, dado que un vector es simplemente un caso especial de una matriz, esta definición se extiende a la multiplicación matriz-vector.

Tipos especiales de matrices

Una matriz cuadrada especial es la matriz de identidad, indicada como $\mathbb{\mathbb{I}$, que tiene todos sus elementos diagonales iguales a $1$ y los elementos restantes iguales a $0$:

$\mathbb{\mathbb{I}=\begin{bmatrix} 1 ~~ 0 ~~\cdots~~ 0\\ 0 ~~ 1 ~~\cdots~~ 0\\~~\ddots\\ 0 ~~ 0 ~~\cdots~~ 1 \end{bmatrix}.$

Para una matriz cuadrada A$, una matriz $$B$ es su inversa si $AB = BA =\mathbb{\mathbb{I}$. Si una matriz $A$ tiene un inverso, la matriz inversa es única y se escribe como $A^{-1}$.

Para cualquier matriz $M$, la transposición contigua o conjugada de $M$ es una matriz $N$, tal como $N_{ij}= M_{ji}^*$. El adyacente de $M se indica $M^\dagger$$.

Una matriz$U$ es unitaria si $UU^\dagger= U^\dagger U =\mathbb{I}$ o de forma equivalente, $U^{{-1}= U^\dagger$. Una propiedad importante de las matrices unitarias es que conservan la norma de un vector. Esto ocurre porque

$\langle v,v \rangle=v^\dagger v = v^\dagger U^{-1} U v = v^\dagger U^\dagger U v =\langle U v, U v\rangle.$

Nota:

Las operaciones cuánticas se representan mediante matrices unitarias, que son matrices cuadradas cuyo adyacente es igual a su inversa.

Una matriz $M$ se denomina Hermitian si $M=^\dagger$.

En la computación cuántica, básicamente solo se encuentran dos matrices: hermítica y unitaria.

Producto tensorial

Otra operación importante es el producto tensor, también denominado producto directo de matriz o producto Kronecker.

Considere los dos vectores $v=\begin{bmatrix}a \\ b \end{bmatrix}$ y $u =\begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix}$. Su producto tensorial se indica como $v \otimes u$, y da como resultado una matriz de bloques.

$$\begin{bmatrix}a \\ b \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\otimesc \\ d \end{bmatrix}\begin{bmatrix}=a \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix}\\[1.5em] b \begin{bmatrix} c \\ d\begin{bmatrix}=\end{bmatrix}\end{bmatrix} a c \\ a d \\ d b c \\ b d\end{bmatrix}$$

Nota:

Tenga en cuenta que el producto tensor se distingue de la multiplicación de matriz, que es una operación completamente diferente.

El producto tensor se usa para representar el estado combinado de varios cúbits. La eficacia real de la computación cuántica proviene del aprovechamiento de varios cúbits para realizar cálculos. Para más información, consulte Operaciones en varios cúbits.

El producto tensor de dos matrices cuadradas M y N de tamaño $n n$\times es una matriz $P=M\otimes N$ mayor de tamaño $n^2 \times n^2$.$ $$ $ Por ejemplo:

$$\begin{bmatrix}a\ b \\ c\ d \end{bmatrix}\otimes\begin{bmatrix} e\ f g\\\ h \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a\begin{bmatrix} e\ f g\\\ h \end{bmatrix} b\begin{bmatrix} e\ f g\\\ h \end{bmatrix}\\[1em] c\begin{bmatrix} e\ f\\ g\ h e\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\ f\\ g\ h=\begin{bmatrix} \end{bmatrix}\end{bmatrix}ae\ af\ be\ bf \\ ag\ ah\ bg\ bh \\ ce\ cf\ de\ df \\ cg\ ch\ dg\ dh .\end{bmatrix} $$

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