Álgebra lineal para la computación cuántica

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El álgebra lineal es el lenguaje de la computación cuántica. Aunque no es necesario que sepa implementar o escribir programas cuánticos, se usa mucho para describir los estados de los cúbits y las operaciones cuánticas, y para predecir lo que hace un equipo cuántico en respuesta a una secuencia de instrucciones.

Al igual que estar familiarizado con los conceptos básicos de la física cuántica puede ayudarle a entender la computación cuántica, conocer algunos aspectos básicos del álgebra lineal puede ayudarle a comprender cómo funcionan los algoritmos cuánticos. Como mínimo, querrá estar familiarizado con los vectores y la multiplicación de matrices. Si necesita actualizar su conocimiento de estos conceptos de álgebra, estos tutoriales cubren los aspectos básicos:

Vectores y matrices en la computación cuántica

Un cúbit puede estar en un estado de 1 o 0, o en una superposición de ambos. Mediante el álgebra lineal, el estado de un cúbit se describe como un vector y se representa mediante una sola matriz$\begin{bmatrix} de columnas a \\ b \end{bmatrix}$. También se conoce como vector de estado cuántico y debe cumplir el requisito de que $|a|^2 + |b|^2 = 1$.

Los elementos de la matriz representan la probabilidad de que el cúbit se contrae de una forma u otra, siendo $|a|^2$ la probabilidad de contraerse a cero y $|b|^2$ es la probabilidad de contraerse a uno. Todas las matrices siguientes representan vectores de estado cuántico válidos:

$$\begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix},{1}{\sqrt{2}}\frac{\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\\{1}{\sqrt{2}}\frac{ ,\frac{1}{\sqrt{\begin{bmatrix}{2}}\\\frac{{-1}{\sqrt{2}}\end{bmatrix} , \text{ y{2}}}\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{\frac{\\ -i.$$}{\sqrt{2}}\end{bmatrix} Las operaciones cuánticas también se pueden representar mediante una matriz. Cuando se aplica una operación cuántica a un cúbit, se multiplican las dos matrices que los representan y la respuesta resultante representa el nuevo estado del cúbit después de la operación.

A continuación, se muestran dos operaciones cuánticas comunes representadas con multiplicación de matrices.

La X operación se representa mediante la matriz $de Pauli X$,

$$X =0 amp; 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix},&\begin{bmatrix}$$

y se usa para cambiar el estado de un cúbit de 0 a 1 (o viceversa); por ejemplo:

$$\begin{bmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}=0 \\ 1 .\end{bmatrix}$$

La H operación se representa mediante la transformación $Hadamard H$,

$$H = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1 & 1\\ 1 &1\end{bmatrix},$$

que coloca un cúbit en un estado de superposición, en el que tiene una probabilidad uniforme de colapsar en cualquiera de los modos, como se muestra aquí.

$$\frac{{1}{\sqrt{{2}}\begin{bmatrix}1 & 1\\ 1 &-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}.$$

Observe que $|a|^2 =|b|^2 =\frac{1}{2}$, lo que significa que la probabilidad de contraerse a cero y un estado es el mismo.

Una matriz que representa una operación cuántica tiene un requisito: debe ser una matriz unitaria. Una matriz es unitaria si la inversa de la matriz es igual que la traspuesta conjugada de la matriz.

Representación de dos estados de cúbit

En los ejemplos anteriores, el estado de un cúbit se describió mediante una matriz de una sola columna $\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}$y la aplicación de una operación a él se describió multiplicando las dos matrices. Sin embargo, como los equipos cuánticos usan más de un cúbit, ¿cómo se describe el estado combinado de dos cúbits?

Nota

La potencia real de la computación cuántica proviene del aprovechamiento de varios cúbits para realizar cálculos. Para profundizar más en este tema, consulte Operaciones en varios cúbits.

Recuerde que cada cúbit es un espacio vectorial, por lo que no se puede multiplicar sin más. En su lugar, se usa un producto tensor, que es una operación relacionada que crea un nuevo espacio vectorial a partir de espacios vectoriales individuales, y se representa mediante el $\otimes$ símbolo . Por ejemplo, el producto tensor de dos estados cuánticos $\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}$ y $\begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix}$ se calcula.

$$\begin{bmatrix}a \\ b \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\otimesc \\ d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix}\\ c d \begin{bmatrix}c \\ d=\end{bmatrix}\end{bmatrix}\begin{bmatrix} ac \\ ad \\ bc \\ bd .\end{bmatrix} $$

El resultado es una matriz de cuatro dimensiones, en la que cada elemento representa una probabilidad. Por ejemplo, $ac$ es la probabilidad de los dos cúbits que se contrae a 0 y 0, $el anuncio$ es la probabilidad de 0 y 1, etc.

Al igual que un único estado $\begin{bmatrix} de cúbit, b \\\end{bmatrix}$ debe cumplir el requisito de que $|a|^2 + |b|^2 = 1$ para representar un estado cuántico, un estado $\begin{bmatrix} de dos cúbits ac \\ ad \\ bc \\ bd \end{bmatrix}$ debe cumplir el requisito de que $|ac|^2 + |ad|^2 + |bc|^2+ bd^2+ |bd|^2 = 1$.

Resumen

El álgebra lineal es el lenguaje estándar que se utiliza para describir la computación y la física cuánticas. Aunque la biblioteca estándar incluida con Microsoft Quantum Development Kit le ayuda a ejecutar algoritmos cuánticos avanzados sin profundizar en las matemáticas subyacentes, comprender los conceptos básicos le ayuda a empezar a trabajar rápidamente y proporcionar una base sólida sobre la que basarse.

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