Megosztás a következőn keresztül:

Vektorok és mátrixok a kvantum-számítástechnikában

A kvantum-számítástechnika megértéséhez elengedhetetlen a lineáris algebra ismerete. Ez a cikk bemutatja a lineáris algebra alapfogalmait, valamint a vektorok és mátrixok kvantum-számítástechnikában való használatát.

Vektorok

Az (vagy röviden) v jelölésű, n dimenziójú (vagy méretű) oszlopvektor egy n darab komplex számot tartalmazó gyűjtemény (v_1,v_2,\ldots,v_n), amely oszlop formájában van rendezve.

$$v =\begin{bmatrix} v_1\\ v_2\\ \vdots\\ v_n \end{bmatrix}$$

A v vektor normája a következőképpen van definiálva: $\sqrt{\sum_i (v_i|^2}$). A vektort egységvektornak nevezzük, ha a normája $1$.

A adjungáltja egy oszlopvektornak $v$, egy sorvektor, melyet $v^*\dagger$-ként jelölünk, és amely a $v$ konjugált transzponáltjaként van definiálva. Az n dimenziójú v oszlopvektor adjungáltja egy 1 × n dimenziós sorvektor.

$$\begin{bmatrix}v_1 \ \vdots \ v_n \end{bmatrix}^\dagger=\begin{bmatrix}v_1^* & \cdots& v_n^* \end{bmatrix}$$

ahol $v_i^*$ a $v_i$ komplex konjugáltját jelöli.

Lineáris algebra használatával egy qubit $\psi= a \ket{0} + b \ket{1}$kvantumállapot-vektorként$\begin{bmatrix} a \ b \end{bmatrix}$, ahol $|a|^2 + |b|^2 = 1$. További információkért lásd: A qubit.

Skaláris szorzat

Két vektort meg lehet szorozni a skaláris szorzattal, ami más néven pontszorzat vagy belső szorzat. Ahogy a neve is mutatja, a két vektor skaláris szorzatának eredménye egy skaláris. A skaláris termék az egyik vektort egy másikra vetíti ki, és az egyik vektort más egyszerűbb vektorok összegeként fejezi ki. Az $u$ és $v$ oszlopvektorok közötti skaláris szorzatot $\langleúgy jelöljük, hogy \langle u, v\rangle = u^\dagger v$, és definíciója:

$$ \langle u, v \rangle = u^\dagger v = \begin{bmatrix} u_1^* & \cdots & u_n^* \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_1 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix} = u_1^* v_1 + \cdots + u_n^* v_n. $$ $$

A skaláris szorzattal a vektor $v$ normája $\sqrt{\langlev, v\rangle}$ alakban írható.

Egy vektort megszorozhat egy számmal $egy$ új vektor létrehozásához, amelynek bejegyzéseit megszorozza $az a$. Két u és $v vektort $$ is hozzáadhat egy új vektor létrehozásához, amelynek bejegyzései az u$ és $a v$ bejegyzéseinek $összegét$ képezik. Ezek a műveletek a következők:

$$ au+bv =\begin{bmatrix} au_1+bv_1\\ au_2+bv_2\\ \vdots\\ au_n+bv_n \end{bmatrix}$$

Mátrixok

Az mátrix, melynek mérete $m \times n$, m\cdot n$ komplex számok gyűjteménye, amit $m$ sorokba és $n$ oszlopba rendezünk az alábbiak szerint.

$$M =\begin{bmatrix} M_{11} M_{12}\cdots M_{1n}\\ M_{{21} M_{22}\cdots M_{2n}\\\ddots\\ M_{m1} M_{m2}\cdots M_{mn}\\\end{bmatrix}$$

Feljegyzés

Vegye figyelembe, hogy egy n dimenziós vektor egyszerűen egy n \times 1 méretű mátrix.

A kvantumműveleteket négyzetes mátrixok jelölik, azaz a sorok és oszlopok száma egyenlő. A például egy qubites műveleteket 2×2-es mátrixok jelölik, mint például a Pauli X művelet.

$$X =\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$$

Tipp.

A Q# Pauli $X$ műveletet a X művelet képviseli.

A vektorokhoz hasonlóan egy mátrixot megszorozhat egy számmal $c$, hogy egy új mátrixot kapjon, ahol minden elem szorzatként szerepel $c$-vel, és két azonos méretű mátrixot is összeadhat, hogy egy új mátrixot kapjon, amelynek elemei a két mátrix megfelelő elemeinek összegét alkotják.

Mátrix szorzása

A $M$ mátrix $m \times n$ dimenzióval és az $N$ mátrix $n \times p$ dimenzióval való szorzatával kaphat új, $P$ mátrixot $m \times p$ dimenzióval az alábbiak szerint:

$$ \begin{ \begin{align} &\begin{bmatrix} M_{{11} M_{12}\cdots M_{1n}\\ M_{{21} M_{22}\cdots M_{2n}\\\ddots\\ M_{m1} M_{m2}\cdots M_{mn}\end{bmatrix}\begin{bmatrix} N_{{11} N_{{12}\cdots N_{1p}\\ N_{{21} N_{22}\cdots N_{2p}\\\ddots\\ N_{n1} N_{n2}\cdots N_{np}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} P_{{11} P_{12}\cdots P_{1p}\\ P_{21} P_{{22}\cdots P_{2p}\\\ddots\\ P_{m1} P_{m2}\cdots P_{mp}\end{bmatrix}\end{align}$$

ahol a $P$ P_$ik{}=\sum_j M_{ij}N_{jk}$ bejegyzései. Például a $P_{11}$ bejegyzés az $M$ első sorának skaláris szorzata az $N$ első oszlopával. Vegye figyelembe, hogy mivel a vektor egy mátrix speciális esete, ez a definíció a mátrix-vektor szorzásra is kiterjed.

Speciális mátrixtípusok

Az egyik speciális négyzetmátrix az identitásmátrix, amelynek minden átlós eleme 1, a fennmaradó elemek pedig 0-k:

$\mathbb{ \mathbb{I}=\begin{bmatrix} 1 0 \cdots 0\\ 0 1 \cdots 0\\\ddots\\ 0 0 \cdots 1 \end{bmatrix}.$

Négyzetes mátrix A esetén a mátrix B az inverze, ha $AB = BA = I$. Ha egy mátrixnak A az inverzével rendelkezik, az inverz mátrix egyedi, és A^{-1}-ként írjuk.

Bármely mátrix M adjungált vagy konjugált transzponáltja az az N mátrix, amelyre igaz, hogy N_{ij} = M_{ji}^*. Az M melléknevét $M^\dagger$-nek nevezzük$.$

Az U mátrix unitér, ha $UU^\dagger = \mathbb{I}$ vagy ezzel egyenértékűen, $U^\dagger U = \mathbb{I}$. Az egység mátrixok egyik fontos tulajdonsága, hogy megőrzik a vektorok normát. Ez azért történik, mert

$\langle v,v \rangle=v^{\dagger} v = v^{\dagger} U^{{-1} U v = v^{\dagger} U^{\dagger} U v =\langle U v, U v\rangle.$

Feljegyzés

A kvantumműveleteket unitárius mátrixok jelölik, amelyek négyzetes mátrixok, amelyek mellékjele megegyezik az inverzükkel.

Az $M$ mátrixot Hermitikusnak nevezik, ha $M = M^†{\dagger}$.

A kvantum-számítástechnikában lényegében csak két mátrixszal találkozunk: Hermitikus és unitér.

Tensor termék

Egy másik fontos művelet a tenzor szorzat, más néven mátrix direkt szorzat vagy Kronecker-szorzat.

Vegyük figyelembe a két vektort $v=\begin{bmatrix}a \\ b \end{bmatrix}$ és $u =\begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix}$. Az ő tenzor szorzatuk ⱽ ⊗ ᵤ-ként jelöljük, és az eredmény egy blokkmátrix.

$$ \begin{bmatrix} \\ b \end{bmatrix}\otimes\begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix} b \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a c \\ a d \\ b c \\ b d \end{bmatrix}$$

Feljegyzés

Vegye figyelembe, hogy a tenzor termék megkülönböztethető a mátrix szorzásától, ami teljesen más művelet.

A tensor termék több qubit együttes állapotát jelöli. A kvantum-számítástechnika valódi ereje abból fakad, hogy több qubitet használ a számítások végrehajtásához. További információkért lásd: Műveletek több qubiten.

Kapcsolódó tartalom