Megosztás a következőn keresztül:

Egy qubites és több qubites Pauli-mérések

  • Cikk

Ahogy dolgozik Q#, azt tapasztalja, hogy a Pauli-mérések gyakori mérési típusok. A Pauli-mérések általánosítják a számítási alapméréseket, hogy más alapértékekben és a különböző qubitek közötti paritásban is szerepeljenek mérések. Ilyen esetekben gyakori a Pauli operátor mérése, amely olyan operátor, mint $az X, Y, Z$ vagy $Z\otimes Z, X\otimes X, X\otimes Y$ stb. A kvantummérés alapjaiért tekintse meg a qubitet és a több qubitet.

A pauli operátorok mérésének megvitatása gyakori a kvantumhibák korrekciójának almezőjében.
Q# az útmutató hasonló konvenciót követ; ez a cikk a mérések alternatív nézetét ismerteti.

Tipp.

A Q#több qubites Pauli operátorokat általában típustömbök Pauli[]jelölik. Az X Z Y ábrázolásához $például használhatja a tömböt[PauliX, PauliZ, PauliY].$\otimes \otimes

Mielőtt részleteznénk a Pauli-mérésekről való gondolkodás részleteit, érdemes átgondolni, hogy a kvantumszámítógépen belüli egyetlen qubit mérése mit tesz a kvantumállapotban. Képzeljen el egy $n-qubit$ kvantumállapotot, majd egy qubit mérése azonnal kizárja annak a 2^n$ lehetőségnek a $felét, amelyben az állapot szerepelhet. Más szóval a mérés két féltér egyikére vetíti a kvantumállapotot. Általánosíthatja a méréssel kapcsolatos gondolkodást, hogy tükrözze ezt az intuíciót.

Ezeknek az altereknek a tömör azonosításához egy nyelvre van szükség a leírásukhoz. A két altér leírásának egyik módja, ha egy olyan mátrixon keresztül adja meg őket, amely csak két egyedi eigenvalue-t használ, amelyet konvenció szerint \pm 1-nek$ kell venni$. Az alterek ilyen egyszerű leírására a Z-t$ érdemes figyelembe venni$:

$$\begin{\begin{align} Z & =\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}. \end{align} $$

A Pauli-Z mátrix átlós elemeinek olvasásával látható, hogy $Z$ két eigenvektorsal rendelkezik, $\ket{0}$ és $\ket{1}$a megfelelő eigenvalues $\pm 1$.$$ Így ha a qubit mérése (az állapotnak $\ket{0}$megfelelő) eredményt ad Zero , akkor ismert, hogy a qubit $állapota a $Z$ operátor +1$ eigenstate-jának felel meg. Hasonlóképpen, ha az eredmény, Oneakkor ismert, hogy a qubit $állapota -1$ eigenstate A $Z$. Ezt a folyamatot a Pauli-mérések nyelvén idézőként említik &; a Pauli $Z$ mérése;& és teljes mértékben egyenértékű a számítási alapmérés elvégzésével.

Minden $olyan 2 2\times$ mátrix, amely a Z$ unitárius transzformációja$, szintén megfelel ennek a feltételnek. Ez azt is jelentheti, hogy egy A=U^\dagger Z U$ mátrixot $is használhatunk, ahol $az U$ bármely más unitárius mátrix, hogy megadjon egy mátrixot, amely meghatározza a \pm 1$ eigenvectorsben egy $mérés két kimenetét. A Pauli-mérések jelölése erre az egységes egyenértékűségre hivatkozik azáltal, hogy az X,Y,Z$ méréseket egyenértékű mérésekként azonosítja$, amelyeket egy qubitből nyerhetünk. Ezeket a méréseket itt adták meg a kényelem érdekében.

Pauli-mérés Unitárius átalakítás
$Z$ $\mathbf{1}$
$X$ $H$
$Y$ $HS^{\dagger}$

Ez azt, hogy használja ezt a nyelvet, &hányadik; az Y mértéket$; egyenértékű a HS^\dagger$ alkalmazásával$, majd a számítás alapjául szolgáló méréssel, ahol S egy belső kvantumműveletet neveznek néha idézőjelnek&;$& fáziskapu,quot&; és az egységmátrix használatával szimulálható

$$\begin{\begin{align}S =1 amp; 0 \\ 0 & i \end{bmatrix}.&\begin{bmatrix} \end{align} $$

A HS^\dagger$ kvantumállapot-vektorra való alkalmazásával$, majd a Z$ mérésével $is egyenértékű, így a következő művelet egyenértékű a következővelMeasure([PauliY], [q]):

operation MeasureY(qubit : Qubit) : Result {
    mutable result = Zero;
    within {
        Adjoint S(q);
        H(q);
    } apply {
        set result = M(q);
    }
    return result;
}

A helyes állapotot ezután a számítási alapra való visszaalakítással találjuk meg, amely az SH$ kvantumállapot-vektorra való alkalmazásának $összegét adja meg. A kódrészletben a blokk használatával within … apply automatikusan kezelik a számítási alapra való visszaalakítást.

Az Q#eredmény---that: az állapottal való interakcióból kinyert klasszikus információ--- Result j \{\texttt{Zero}, One}\}$ értékkel $\in , amely azt jelzi, \texttt{hogy az eredmény a pauli operátor (-1)^j$ eigenterében van-e $mérve.

Több qubites mérések

A több qubites Pauli operátorok mérései hasonlóképpen vannak meghatározva, ahogyan az a következőből látható:

$$ Z\otimes Z =\begin{bmatrix}1 & 0 & 0& 0\\ 0&-1& 0& 0\\ 0& 0&-1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{bmatrix}. $$

Így két Pauli-Z$$ operátor tenzortermékei egy +1 és $-1$$ eigenvalues szóközből álló $mátrixot alkotnak. Az egy qubites esethez hasonlóan mindkettő félteret alkot, ami azt jelenti, hogy az akadálymentes vektortér fele a $+1$ kiigentérhez, a fennmaradó fele pedig a $-1$ kiigentérhez tartozik. Általánosságban elmondható, hogy a tensor termék definíciójából könnyen látható, hogy a Pauli-Z$$ operátorok bármely tenzorterméke és az identitás is ezt követi. Például,

$$\begin{align}Z \otimes\begin{bmatrix}{1}\mathbf{=1 & 0 & 0 & 0 \\ & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 0 \\ & 0 amp; 0 && -1 .\end{bmatrix} \end{align} $$

A korábbiakhoz hasonlóan az ilyen mátrixok minden egyes átalakítása a \pm 1$ eigenvalues címkével $ellátott két félteret is leírja. Például X X H H(Z\otimes Z)H H$\otimes a Z=HXH$ identitásából$.\otimes =\otimes $ Az egy qubites esethez hasonlóan az összes két qubites Pauli-mérés U^ (Z\otimes 1) U$ formátumban $írható 4 4$\times unitary matrices $U$ értékre$.\dagger Az átalakítások felsorolása az alábbi táblázatban található.

Feljegyzés

Ebben a táblázatban a SWAP}$ a swap amp; mátrix}$$\operatorname{\begin{align}& jelzésére szolgál. =\left $\operatorname{(\begin{mátrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ & 0 & 1 & 0 0 \\ & 1 & 0 & 0 \\ & 0 amp; 0 & 0 & 1 \end{mátrix}\right) \end{align}$$ a belső művelet SWAPszimulálásához .

Pauli-mérés Unitárius átalakítás
$Z\otimes\mathbf{1}$ $\mathbf{1}\otimes \mathbf{1}$
$X\otimes\mathbf{1}$ $H\otimes\mathbf{1}$
$Y\otimes\mathbf{1}$ $HS^\dagger\otimes\mathbf{1}$
$\mathbf{1}\otimes Z$ $\operatorname{ELCSERÉL}$
$\mathbf{1}\otimes X$ $(H\otimes\mathbf{1})\operatorname{ELCSERÉL}$
$\mathbf{1}\otimes Y$ $(HS^\dagger\otimes\mathbf{1})\operatorname{ELCSERÉL}$
$Z\otimes Z$ $\operatorname{CNOT}_{10}$
$X\otimes Z$ $\operatorname{CNOT}_{10}(H\otimes\mathbf{1})$
$Y\otimes Z$ $\operatorname{CNOT}_{10}(HS^\dagger\otimes\mathbf{1})$
$Z\otimes X$ $\operatorname{CNOT}_{10}(\mathbf{1}\otimes H)$
$X\otimes X$ $\operatorname{CNOT}_{10}(H H\otimes )$
$Y\otimes X$ $\operatorname{CNOT}_{10}(HS^\dagger\otimes H)$
$Z\otimes Y$ $\operatorname{CNOT}_{10}(\mathbf{1}\otimes HS^\dagger)$
$X\otimes Y$ $\operatorname{CNOT}_{10}(H\otimes HS^\dagger)$
$Y\otimes Y$ $\operatorname{CNOT}_{10}(HS^\dagger\otimes HS^\dagger)$

Itt a művelet a CNOT következő okból jelenik meg. Minden olyan Pauli-mérés, amely nem tartalmazza a $\mathbf{1}$ mátrixot, a korábbi érvelés szerint egy Z$ $\otimes egységnek felel meg. A Z\otimes Z$ eigenvaluái $csak az egyes számítási alapvektorokat alkotó qubitek paritásától függenek, és a szabályozott-nem műveletek a paritás kiszámítására és az első bitben való tárolására szolgálnak. Ezután az első bit mérése után helyreállítható az eredményül kapott féltér identitása, ami egyenértékű a Pauli operátor mérésével.

Emellett bár csábító lehet feltételezni, hogy a Z Z mérése $megegyezik a Z, majd $\mathbb{1}\otimes a Z{1}$\mathbb{\otimes$ szekvenciális mérésével$, ez a feltételezés hamis lenne.$\otimes Ennek az az oka, hogy a Z Z mérése $ezeknek az operátoroknak a $+1$ vagy $-1$ eigenstate-jába alakítja a kvantumállapotot.$\otimes A Z\otimes\mathbb{1}$, majd $\mathbb{1}\otimes a Z$ mérése $először a kvantumállapot-vektort z egy fél terére$, majd a Z\mathbb{${1}$\otimes egy fél terére vetíti\otimes $\mathbb{{1}ki. Mivel négy számítási alapvektor van, a két mérés végrehajtása negyedre csökkenti az állapotot, és így egyetlen számítási alapvektorra csökkenti azt.

Qubitek közötti korreláció

A Pauli-mátrixok , például $X\otimes X$ vagy $Z Z$\otimes tenzoros termékeinek mérésének másik módja, hogy ezek a mérések lehetővé teszik a két qubit közötti korrelációkban tárolt információk vizsgálatát. Az X\otimes 1$ mérése $lehetővé teszi az első qubitben helyileg tárolt információk áttekintését. Bár mindkét méréstípus egyformán értékes a kvantum-számítástechnikában, az előbbi megvilágítja a kvantum-számítástechnika hatékonyságát. Kiderül, hogy a kvantum-számítástechnikában a tanulni kívánt információk gyakran nem egyetlen qubitben vannak tárolva, hanem nem helyben, az összes qubitben egyszerre vannak tárolva, és ezért csak közös méréssel (például $Z Z\otimes$) nyilvánul meg ez az információ.

Tetszőleges Pauli operátorok, például $X\otimes Y \otimes Z \otimes\mathbf{1}$ is mérhetők. A Pauli operátorok összes ilyen tenzorterméke csak két eigenvalues $\pm 1$ , és mindkét eigenspace a teljes vektortér félterét alkotja. Így egybeesnek a korábban meghatározott követelményekkel.

Ebben Q#az esetben az ilyen mérések j$ értéket adnak vissza$, ha a mérés eredménye a (-1)^j$ jel $kiigenterében van. A Pauli-mérések beépített funkcióként Q# való használata azért hasznos, mert az ilyen operátorok mérése hosszú láncokat igényel ellenőrzött-NOT kapukból és alapátalakításokból, hogy leírják a művelet Z$ és $1$ tenzoros termékeként $való kifejezéséhez szükséges átlós $U$ kaput. Ha meg tudja adni, hogy szeretne-e ilyen előre meghatározott mérések egyikét elvégezni, nem kell aggódnia amiatt, hogy hogyan alakíthatja át az alapokat, hogy a számítási alapmérés a szükséges információkat adja meg. Q# automatikusan kezeli az összes szükséges alapátalakítást.

A klónozás nélküli tétel

A kvantuminformációk hatékonyak. Ez lehetővé teszi, hogy csodálatos dolgokat, például a faktorszámokat exponenciálisan gyorsabb, mint a legismertebb klasszikus algoritmusok, vagy hatékonyan szimulálja korrelált elektron rendszerek, amelyek klasszikusan igényel exponenciális költségek szimulálása pontosan. A kvantum-számítástechnika teljesítményére azonban korlátozások vonatkoznak. Az egyik ilyen korlátozást a Nem klónozás tétel adja meg.

A No-Cloning Theorem neve találó. Letiltja az általános kvantumállapotok kvantumszámítógép általi klónozását. A tétel bizonyítéka rendkívül egyszerű. Bár a klónozás nélküli tétel teljes igazolása túl technikai a cikkhez, a további kiegészítő qubitek hiányában a bizonyíték a hatókörön belül van.

Egy ilyen kvantumszámítógép esetében a klónozási műveletet egységmátrixmal kell leírni. A kvantummérés nem engedélyezett, mivel az rontaná a klónozni kívánt kvantumállapotot. A klónozási művelet szimulálásához a használt unitáris mátrixnak rendelkeznie kell az U{0}\ket{=$$\ket{\psi}\ket{\psi}\ket{\psi} tulajdonságmal $$ bármilyen állapothoz.$\ket{\psi}$ A mátrix-szorzás linearitási tulajdonsága azt jelenti, hogy bármely második kvantumállapot $\ket{\phi}$esetén

$$\begin{\begin{align}U \left[ \frac{{1}{\sqrt{{2}}\left(\ket{\phi}+\ket{\psi}\right) \right] \ket{{0}& =\frac{1}{\sqrt{2}} U\ket{\phi}\ket{{0} + \frac{1}{\sqrt{{2}} U\ket{\psi}\ket{0}\\& =\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \ket{\phi}\ket{\phi} + \ket{\psi}\ket{\psi}\right) \\& \ne\left( \frac{{2}}\left{1}{\sqrt{(\ket{\phi}+\ket{\psi}\right) \right) \otimes\left( \frac{1}{\sqrt{{2}}\left(\ket{\phi}+\ket{\psi}\right) \right). \end{align} $$

Ez biztosítja a klónozás nélküli tétel mögötti alapvető intuíciót: minden olyan eszköznek, amely ismeretlen kvantumállapotot másol, hibát kell előidéznie legalább az általa másolt állapotok némelyikén. Bár a fő feltételezés, hogy a klónozó lineárisan hat a bemeneti állapotra, a kiegészítő qubitek hozzáadásával és mérésével megsérthető, az ilyen interakciók a mérési statisztikákon keresztül információkat is kiszivárogtatnak a rendszerről, és ilyen esetekben is megakadályozzák a pontos klónozást.

A klónozás nélküli tétel fontos a kvantum-számítástechnika minőségi megértéséhez, mert ha olcsón klónozná a kvantumállapotokat, akkor szinte varázslatos képességet kapna a kvantumállapotok megismerésére. Sőt, megsértheti Heisenberg vaunted bizonytalanság elvét. Másik lehetőségként használhat optimális klónozót, hogy egyetlen mintát vegyen egy összetett kvantumeloszlásból, és mindent megtanuljon, amit csak egyetlen mintából tudhat meg az eloszlásról. Ez olyan lenne, mintha egy érmét tükröznél, és megfigyelnéd a fejeket, majd amikor elmondod egy barátodnak az eredményt, hogy ők válaszolnak &; Ah az érme eloszlásának Bernoulli-nak $kell lennie p=0,512643\ldots$!&idéző; Egy ilyen állítás nem lenne etikátlan, mert egy bit információ (a fej kimenete) egyszerűen nem tudja biztosítani a sok bitnyi információt, amely a disztribúció lényegi előzetes információk nélkül történő kódolásához szükséges. Hasonlóképpen, előzetes információk nélkül nem lehet tökéletesen klónozni egy kvantumállapotot, ahogy az ilyen érmék együttesét sem lehet előkészíteni anélkül, hogy ismerné $a p-t$.

Az információ nem ingyenes a kvantum-számítástechnikában. Minden mért qubit egyetlen kis információt ad, és a Klónozás nélküli tétel azt mutatja, hogy nincs olyan háttér, amelyet ki lehet használni, hogy megkerülje a rendszerről szerzett információk és a rá vonatkozó zavar közötti alapvető kompromisszumot.

Kapcsolódó tartalom