Egy- és több qubites Pauli-mérési műveletek

  • Cikk

A használatával Q#végzett munka során azt tapasztalja, hogy a Pauli-mérések gyakori mérési típusok. A Pauli-mérések általánosítják a számítási alapméréseket, hogy a méréseket más alapokba és a különböző qubitek közötti paritásba foglalják. Ilyen esetekben gyakori a Pauli operátor mérése, amely olyan operátor, mint $az X, Y, Z$ vagy $Z\otimes Z, X\otimes X, X\otimes Y$ stb. A kvantummérés alapjaiért lásd : A qubit és a Több qubit.

A mérés pauli operátorok szempontjából való megvitatása gyakori a kvantumhibák korrekciójának almezőjében.
Q# az útmutató hasonló konvenciót követ; ez a cikk a mérések alternatív nézetét ismerteti.

Tipp

A rendszerben a Q#több qubites Pauli operátorokat általában a típusú Pauli[]tömbök képviselik. Az X Z Y ábrázolásához $például használhatja a tömböt[PauliX, PauliZ, PauliY].$\otimes\otimes

Mielőtt megismerkednénk a Pauli-mérésekkel kapcsolatos részletekkel, érdemes átgondolni, hogy a kvantumszámítógépen belüli egyetlen qubit mérése milyen hatással van a kvantumállapotra. Képzeljen el egy $n-qubit$ kvantumállapotot, majd egy qubit mérése azonnal kizárja annak a 2^n$ lehetőségnek a $felét, amelyben az állapot szerepelhet. Más szóval a mérés két féltér egyikére vetíti a kvantumállapotot. Általánosíthatja a méréssel kapcsolatos gondolkodást, hogy tükrözze ezt az intuíciót.

Ezeknek az altereknek a tömör azonosításához szükség van egy nyelvre a leírásukhoz. A két altér leírásának egyik módja, ha egy olyan mátrixon keresztül adja meg őket, amely csak két egyedi eigenvalues értékkel rendelkezik, amelyeket konvenció szerint \pm 1-nek$ kell venni$. Az alterek ilyen módon történő leírására egy egyszerű példaként tekintse meg $a Z-t$:

$$\begin{\begin{align} Z & =\begin{bmatrix} 1 & 0 0 \\& -1 \end{bmatrix}. \end{align} $$

A Pauli-Z$$ mátrix átlós elemeinek olvasásával látható, hogy $a Z$ két eigenvektort $\ket{0}$$\ket{1}$és , a megfelelő eigenvalues \pm 1$ értékekkel rendelkezik$. Így ha a qubit mérése (az állapotnak $\ket{0}$megfelelő) eredményt ad Zero , akkor ismert, hogy a qubit $állapota a $Z$ operátor +1$ eigenstate-je. Hasonlóképpen, ha az eredmény One, akkor ismert, hogy a qubit $állapota -1$ eigenstate a Z-ből$$. Ezt a folyamatot a Pauli-mérések nyelvén idézőjelként &említik; a Pauli $Z$ mérése;& és teljes mértékben egyenértékű a számítási alapmérés végrehajtásával.

Minden $22\times$ mátrix, amely a Z$ unitárius transzformációja$, szintén megfelel ennek a feltételnek. Ez azt is jelentheti, hogy egy A=U^\dagger Z U$ mátrixot $is használhatunk, ahol $az U$ bármely más unitáris mátrix, hogy megadjon egy mátrixot, amely meghatározza a \pm 1$ kiigenvekben lévő $mérések két eredményét. A Pauli-mérések jelölése erre az egységes egyenértékűségre hivatkozik azáltal, hogy az X,Y,Z$ méréseket egyenértékű mérésekként azonosítja$, amelyeket a qubitből történő információszerzéshez tehetünk. Ezeket a méréseket itt adták meg a kényelem érdekében.

Pauli-mérés Unitárius átalakítás
$Z$ $\mathbf{1}$
$X$ $H$
$Y$ $HS^{\dagger}$

Ez azt, hogy használja ezt a nyelvet, &hányadik; mérték $Y$" egyenértékű a HS^\dagger$ alkalmazásával$, majd a számítási alapban történő méréssel, ahol S egy belső kvantumműveletet is neveznek, amelyet néha idézőjelnek is neveznek&; fáziskapu;& és az unitáris mátrix használatával szimulálható

$$\begin{\begin{align}S =1 amp; 0 \\ 0 & i \end{bmatrix}.&\begin{bmatrix} \end{align} $$

A HS^\dagger$ kvantumállapot-vektorra való alkalmazásával$, majd a Z$ mérésével $is egyenértékű, így a következő művelet egyenértékű a következővelMeasure([PauliY], [q]):

operation MeasureY(qubit : Qubit) : Result {
    mutable result = Zero;
    within {
        Adjoint S(q);
        H(q);
    } apply {
        set result = M(q);
    }
    return result;
}

A helyes állapotot ezután a számítási alapra való visszaalakítással találja meg, amely az SH$ kvantumállapot-vektorra való alkalmazásának $összege. A kódrészletben a számítási alapra való visszaalakítás automatikusan történik a within … apply blokk használatával.

A -ben Q#az eredmény---that az állapottal való interakcióból kinyert klasszikus információ--- a j \in \{\texttt{Zero}, One}\}$ érték $használatávalResult, amely azt jelzi, \texttt{hogy az eredmény a Pauli operátor (-1)^j$ eigenterében van-e $megmérve.

Több qubites mérések

A több qubites Pauli operátorok mérései hasonlóan vannak meghatározva, mint a következőből:

$$ Z\otimes Z =\begin{bmatrix}1 & 0 & 0& 0\\ 0&-1& 0& 0\\ 0& 0&-1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{bmatrix}. $$

Így a két Pauli-Z$$ operátor tenzortermékei egy +1 és $-1$$ eigenvalues terekből álló $mátrixot alkotnak. Az egy qubites esethez hasonlóan mindkettő félteret jelent, ami azt jelenti, hogy az akadálymentes vektortér fele a $+1$ kiigentérhez, a maradék fele pedig a $-1$ kiigentérhez tartozik. Általánosságban elmondható, hogy a tenzor termék definíciójából könnyen látható, hogy a Pauli-Z$$ operátorok bármely tenzorterméke és az identitás is ezt követi. Példa:

$$\begin{align}Z \otimes\begin{bmatrix}{1}=\mathbf{1 & 0 & 0 & 0 &\\ amp; 1 & 0 & 0 0 &\\ amp; 0 & -1 & 0 0 \\& 0 & 0 & -1 .\end{bmatrix} \end{align} $$

A korábbiakhoz hasonlóan az ilyen mátrixok bármilyen egységes átalakítása a \pm 1$ eigenvalues címkével $ellátott két félteret is leírja. Például $x\otimes X = H H\otimes(Z Z\otimes)H H$\otimes a Z=HXH$ identitásból$. Az egy qubites esethez hasonlóan az összes két qubites Pauli-mérés U^ (Z\otimes 1) U$$for 4 4\times$ unitary matrices $U$ néven írható$.\dagger Az átalakítások felsorolása az alábbi táblázatban található.

Megjegyzés

Ebben a táblázatban $\operatorname{a SWAP}$ a swap}& mátrix $$\operatorname{\begin{align}jelzésére szolgál. =\left(\begin{mátrix 1 & 0 & 0 & 0 \\& 0 & 1 & 0 0 \\& 1 & 0 & 0 \\& 0 amp; 0 && 1 \end{mátrix}\right) \end{align}$$ a belső művelet SWAPszimulálásához.}

Pauli-mérés Unitárius átalakítás
$Z\otimes\mathbf{1}$ $\mathbf{1}\otimes \mathbf{1}$
$X\otimes\mathbf{1}$ $H\otimes\mathbf{1}$
$Y\otimes\mathbf{1}$ $HS^\dagger\otimes\mathbf{1}$
$\mathbf{1}\otimes Z$ $\operatorname{SWAP}$
$\mathbf{1}\otimes X$ $(H\otimes\mathbf{1})\operatorname{SWAP}$
$\mathbf{1}\otimes Y$ $(HS^\dagger\otimes\mathbf{1})\operatorname{SWAP}$
$Z\otimes Z$ $\operatorname{CNOT}_{10}$
$X\otimes Z$ $\operatorname{CNOT}_{10}(H\otimes\mathbf{1})$
$Y\otimes Z$ $\operatorname{CNOT}_{10}(HS^\dagger\otimes\mathbf{1})$
$Z\otimes X$ $\operatorname{CNOT}_{10}(\mathbf{1}\otimes H)$
$X\otimes X$ $\operatorname{CNOT}_{10}(H H\otimes )$
$Y\otimes X$ $\operatorname{CNOT}_{10}(HS^\dagger\otimes H)$
$Z\otimes Y$ $\operatorname{CNOT}_{10}(\mathbf{1}\otimes HS^\dagger)$
$X\otimes Y$ $\operatorname{CNOT}_{10}(H\otimes HS^\dagger)$
$Y\otimes Y$ $\operatorname{CNOT}_{10}(HS^\dagger\otimes HS^\dagger)$

Itt a CNOT művelet a következő okból jelenik meg. Minden olyan Pauli-mérés, amely nem tartalmazza a $\mathbf{1}$ mátrixot, a korábbi érvelés szerint a Z-nek $\otimes$ egy egységesnek felel meg. A Z\otimes Z$ eigenvaluái $csak az egyes számítási alapvektorokat alkotó qubitek paritásától függenek, és a szabályozott-nem műveletek a paritás kiszámítására és az első bitben való tárolására szolgálnak. Ezután az első bit mérése után helyreállítható az eredményül kapott féltér identitása, ami egyenértékű a Pauli operátor mérésével.

Emellett, bár csábító lehet feltételezni, hogy a Z Z mérése $megegyezik a Z, majd $\mathbb{1}\otimes a Z{1}$\mathbb{\otimes$ szekvenciális mérésével$, ez a feltételezés hamis lenne.$\otimes Ennek az az oka, hogy a Z Z mérése $ezeknek az operátoroknak a +1$ vagy $-1$ eigenstate értékére alakítja a $kvantumállapotot.$\otimes A Z\otimes, majd $\mathbb{1}\otimes a Z$ mérése $először a kvantumállapot-vektort vetíti a Z\otimes{1}$\mathbb{ egy félterére$, majd a Z$ egy félterére$\mathbb{{1}\otimes.\mathbb{1}$ Mivel négy számítási alapvektor van, mindkét mérés elvégzése negyedtérre csökkenti az állapotot, és így egyetlen számítási alapvektorra csökkenti azt.

Qubitek közötti korreláció

A Pauli-mátrixok tenzoros termékeinek( például $X\otimes X$ vagy $Z\otimes Z$ ) mérésének másik módja, hogy ezek a mérések lehetővé teszik a két qubit közötti korrelációban tárolt információk vizsgálatát. Az X\otimes 1$ mérése $lehetővé teszi az első qubitben helyileg tárolt információk áttekintését. Bár mindkét méréstípus egyformán értékes a kvantum-számítástechnikában, az előbbi megvilágítja a kvantum-számítástechnika erejét. Ebből kiderül, hogy a kvantum-számítástechnikában a tanulni kívánt információk gyakran nem egyetlen qubitben vannak tárolva, hanem az összes qubitben egyszerre, és ezért csak közös méréssel (pl. $Z\otimes Z$) nyilvánulnak meg ezek az információk.

Tetszőleges Pauli-operátorok, például $X\otimes Y \otimes Z \otimes\mathbf{1}$ is mérhetők. A Pauli-operátorok összes ilyen tenzorterméke csak két eigenvalues $\pm 1$ , és mindkét eigentér a teljes vektortér félterét alkotja. Így egybeesnek a korábban ismertetett követelményekkel.

A -ben Q#az ilyen mérések j$ értéket adnak vissza$, ha a mérés eredménye a jel $(-1)^j$ kiigenterében van. A Pauli-mérések beépített funkcióként Q# való használata azért hasznos, mert az ilyen operátorok mérése szabályozott-NOT kapuk hosszú láncait és alapátalakításokat igényel a művelet Z$ és $1$ tenzoros termékeként $való kifejezéséhez szükséges átlós $U$ kapu leírásához. Ha meg tudja adni, hogy szeretne-e ilyen előre definiált méréseket végezni, nem kell aggódnia amiatt, hogyan alakíthatja át az alapokat úgy, hogy a számítási alapmérés a szükséges információkat adja meg. Q# automatikusan kezeli az összes szükséges alapátalakítást.

A No-Cloning tétel

A kvantuminformációk hatékonyak. Lehetővé teszi, hogy olyan csodálatos dolgokat hajthat végre, mint például a faktorszámok exponenciálisan gyorsabbak, mint a legismertebb klasszikus algoritmusok, vagy hatékonyan szimulálhatja a korrelált elektronrendszereket, amelyek klasszikusan exponenciális költségeket igényelnek a pontos szimuláláshoz. A kvantum-számítástechnika ereje azonban korlátozott. Az egyik ilyen korlátozást a Nem klónozás tétel adja meg.

A No-Cloning tétel neve találó. Letiltja az általános kvantumállapotok kvantumszámítógép általi klónozását. A tétel bizonyítéka rendkívül egyszerű. Bár a klónozás nélküli tétel teljes igazolása túl technikai a cikkhez, a további kiegészítő qubitek hiányában a bizonyíték a hatókörön belül van.

Egy ilyen kvantumszámítógép esetében a klónozási műveletet egy egységmátrixmal kell leírni. A kvantummérés nem engedélyezett, mivel az rontaná a klónozni kívánt kvantumállapotot. A klónozási művelet szimulálásához a használt unitáris mátrixnak rendelkeznie kell az U{0}\ket{=$$\ket{\psi}\ket{\psi}\ket{\psi} tulajdonságmal $$ bármely állapothoz.$\ket{\psi}$ A mátrix-szorzás linearitási tulajdonsága azt jelenti, hogy bármely második kvantumállapot $\ket{\phi}$esetében a

$$\begin{\begin{align}U \left[ \frac{{1}{\sqrt{{2}}\left(\ket{\phi}+\ket{\psi}\right) \right] \ket{{0}& =\frac{1}{\sqrt{2}} U\ket{\phi}\ket{{0} + \frac{1}{\sqrt{{2}} U\ket{\psi}\ket{0}\\& =\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \ket{\phi}\ket{\phi} + \ket{\psi}\ket{\psi}\right) \\& \ne\left( \frac{{2}}\left{1}{\sqrt{(\ket{\phi}+\ket{\psi}\right) \right) \otimes\left( \frac{1}{\sqrt{{2}}\left(\ket{\phi}+\ket{\psi}\right) \right). \end{align} $$

Ez biztosítja a No-Cloning Tétel mögötti alapvető intuíciót: minden olyan eszköznek, amely ismeretlen kvantumállapotot másol, hibát kell előidéznie legalább néhány általa másolt állapotban. Bár a fő feltételezés, hogy a klónozó lineárisan viselkedik a bemeneti állapoton, a kiegészítő qubitek hozzáadásával és mérésével megsérthető, az ilyen interakciók a mérési statisztikákon keresztül is információt szivárognak a rendszerről, és ilyen esetekben is megakadályozzák a pontos klónozást.

A No-Cloning tétel fontos a kvantum-számítástechnika minőségi megértéséhez, mert ha olcsón klónozhatná a kvantumállapotokat, akkor szinte varázslatos képességet kapna a kvantumállapotokból való tanulásra. Sőt, megsértheti Heisenberg vaunted bizonytalansági elvét. Másik lehetőségként egy optimális klónozóval egyetlen mintát vehet fel egy összetett kvantumeloszlásból, és mindent megtudhat, amit csak egy mintából tudhat meg erről az eloszlásról. Ez olyan lenne, mintha egy érmét tükröznél, és megfigyelnéd a fejeket, majd amikor elmondod egy barátodnak, hogy az eredményre válaszolnak &; Ah eloszlása, hogy az érme kell Bernoulli $p=0,512643\ldots$!" Egy ilyen állítás nem ensical lenne, mert egy kis információ (a fej eredménye) egyszerűen nem tudja biztosítani a sok bitnyi információ szükséges kódolásához az eloszlás anélkül, hogy jelentős előzetes információk. Hasonlóképpen, előzetes információk nélkül nem lehet tökéletesen klónozni a kvantumállapotokat, mint ahogy az ilyen érmék együttesét sem lehet előkészíteni anélkül, hogy ismerné $a p-t$.

Az információ nem ingyenes a kvantum-számítástechnikában. Minden mért qubit egyetlen kis információt ad, és a No-Cloning Tétel azt mutatja, hogy nincs olyan háttér, amely kihasználható lenne, hogy megkerülje a rendszerről szerzett információk és az arra hivatkozó zavar közötti alapvető kompromisszumot.

Következő lépések