Tek kubitli ve çok kubitli Pauli ölçümleri
ile Q#çalışırken, Pauli ölçümlerinin ortak bir ölçüm türü olduğunu fark edebilirsiniz. Pauli ölçümleri, hesaplama temeli ölçümlerini, diğer tabanlardaki ölçümleri ve farklı kubitler arasındaki eşliği içerecek şekilde genelleştirir. Bu gibi durumlarda, X, Y, Z veya Z Z, X X,\otimes X Y$ gibi $bir işleç olan Pauli işlecinin ölçülmesi yaygın bir durumdur.\otimes\otimes $$ Kuantum ölçümünün temelleri için bkz . Kubit ve Birden çok kubit.
Ölçümün Pauli işleçleri açısından tartışılması, kuantum hata düzeltmesinin alt alanında yaygındır.
Q# kılavuz benzer bir kuralı izler; bu makalede ölçümlerin bu alternatif görünümü açıklanmaktadır.
İpucu
içinde Q#, çok kubitli Pauli işleçleri genellikle türünde Pauli[]dizilerle temsil edilir.
Örneğin, X \otimes Z \otimes Y'yi$ temsil $etmek için dizisini [PauliX, PauliZ, PauliY]kullanabilirsiniz.
Pauli ölçümünün nasıl düşüneceğinin ayrıntılarını gözden geçirmeden önce, kuantum bilgisayarın içindeki tek bir kubiti ölçmenin kuantum durumuna ne yaptığını düşünmek yararlıdır. $N$ kubit kuantum durumunu düşünün; ardından bir kubitin ölçülmesi, bu durumda olabilecek 2^n$ olasılığın $yarısını hemen dikkate alır. Başka bir deyişle ölçüm, kuantum durumunu iki yarım alandan birine projeler. Bu sezgiyi yansıtacak şekilde ölçü hakkında düşünme şeklinizi genelleştirebilirsiniz.
Bu alt alanları kısa bir şekilde tanımlamak için, bunları tanımlamak için bir dile ihtiyaç vardır. İki alt alanı tanımlamanın bir yolu, bunları yalnızca iki benzersiz eigenvalue değeri olan ve kural tarafından \pm 1$ olarak alınan bir matris aracılığıyla belirtmektir$. Alt uzayları bu şekilde $açıklamaya yönelik basit bir örnek için Z$:
$$\begin{\begin{align} Z & =\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}. \end{align} $$
Pauli-Z$$ matrisinin çapraz öğelerini okuyarak, Z'nin$ iki eigenvektöre $\ket{0}$ ve $\ket{1}$karşılık gelen eigenvalues $\pm 1'e$ sahip olduğunu $görebilirsiniz.
Bu nedenle, kubitin ölçümü ile sonuçlanırsa Zero (duruma $\ket{0}$karşılık gelir), kubitin durumunun Z$ işlecinin $+1$ eigenstate değeri olduğu $bilinir.
Benzer şekilde, sonuç Oneise, kubitin $durumunun Z'nin$ -1$ eigenstate olduğu $bilinmektedir.
Bu işlem, Pauli ölçümlerinin dilinden alıntı olarak &adlandırılır; Pauli $Z,quot&$;'un ölçülmesi ve hesaplama temeli ölçümü gerçekleştirmekle tamamen eşdeğerdir.
$Z'nin$ ünitesel dönüşümü $olan 2\times 2$ matris de bu ölçütleri karşılar. Başka bir deyişle, bir ölçümün $\pm 1$ eigenvectors içindeki iki sonucunu tanımlayan bir matris vermek için, U'nun başka bir birim matris olduğu $A=U$^\dagger Z U$ matrisini $de kullanabilirsiniz. Pauli ölçümlerinin gösterimi, X,Y,Z$ ölçümlerini bir kubitten bilgi almak için yapabilecekleri eşdeğer ölçümler olarak tanımlayarak $bu ünitesel denkliğe başvurur. Bu ölçümler kolaylık sağlamak için burada verilmiştir.
| Pauli Ölçümü | Birimsel dönüşüm |
|---|---|
| $Z$ | $\mathbf{1}$ |
| $X$ | $H$ |
| $Y$ | $HS^{\dagger}$ |
Yani, bu dili kullanarak, " ölçü $Y$" HS^\dagger$ uygulama $ve ardından hesaplama temelinde ölçme ile eşdeğerdir; burada S bazen çekirdek olarak da adlandırılan &iç kuantum işlemidir; faz kapısı,& quot; ve birim matris kullanılarak simülasyon yapılabilir
$$\begin{\begin{align}S =1 amp; 0 \\ 0 & i \end{bmatrix}.&\begin{bmatrix} \end{align} $$
Ayrıca HS^\dagger$ öğesini kuantum durumu vektöre uygulamak $ve Z'yi$ ölçmekle $de eşdeğerdir; böylece aşağıdaki işlem ile Measure([PauliY], [q])eşdeğerdir:
operation MeasureY(qubit : Qubit) : Result {
mutable result = Zero;
within {
Adjoint S(q);
H(q);
} apply {
set result = M(q);
}
return result;
}
Daha sonra doğru durum, kuantum durumu vektörü için SH$ uygulama miktarı olan hesaplama temeline geri dönüştürülerek $bulunur; kod parçacığında hesaplama tabanına dönüştürme, bloğun within … apply kullanımıyla otomatik olarak işlenir.
içinde Q#sonuç--- yani durumla etkileşimden ayıklanan klasik bilgiler--- sonucun Pauli işlecinin ölçülen (-1)^j$ eigenspace içinde $olup olmadığını belirten j \in \{\texttt{Zero}, \texttt{One}\}$ değeri $kullanılarak Result verilir.
Çoklu kubit ölçümleri
Çok kubitli Pauli işleçlerinin ölçümleri aşağıdakilerden görüldüğü gibi benzer şekilde tanımlanır:
$$Z\otimes Z =\begin{bmatrix}1 & 0 & 0& 0\\ 0&-1& 0& 0\\ 0& 0&-1& 0\\ 0& 0& 0& 1.\end{bmatrix} $$
Bu nedenle, iki Pauli-Z$$ işlecinin tensor ürünleri +1 ve $-1$$ eigenvalue'lardan oluşan iki alandan $oluşan bir matris oluşturur. Tek kubitli durumda olduğu gibi, her ikisi de yarı boşluk oluşturur, yani erişilebilir vektör alanının yarısı +1 eigenspace'e$, kalan yarısı da -1$ eigenspace'e $aittir.$ Genel olarak, Pauli-Z$$ operatörlerinin herhangi bir tensor ürününün ve kimliğin de buna uyduğu tensor ürününün tanımından görmek kolaydır. Örneğin,
$$\begin{align}Z \otimes\begin{bmatrix}{1}\mathbf{=1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 0 \\ & 0 amp; 0 && -1.\end{bmatrix} \end{align} $$
Daha önce olduğu gibi, bu tür matrislerin herhangi bir birimsel dönüşümü de \pm 1$ eigenvalues ile $etiketlenmiş iki yarım boşluğu açıklar. Örneğin, $Z HXH\otimes$ kimliğinden $X\otimes X = H H(Z\otimes= Z)\otimes$H. Tek kubitli örneğe benzer şekilde, iki kubitli Pauli ölçümlerinin tümü 4 4\times$ birimli matris $U için $U^\dagger (Z\otimes 1)$ U$ olarak $yazılabilir. Dönüştürmeler aşağıdaki tabloda numaralandırılmıştır.
Not
Bu tabloda SWAP, $\operatorname{matris\operatorname{\begin{align}$$ SWAP}& =\left}$(\begin{matris} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 &\\ amp; 0 & 0 amp; &1 \end{matris}\right) \end{align}$$ iç işlemin SWAPsimülasyonunu yapmak için kullanılır.
| Pauli Ölçümü | Birimsel dönüşüm |
|---|---|
| $Z\otimes\mathbf{1}$ | $\mathbf{1}\otimes \mathbf{1}$ |
| $X\otimes\mathbf{1}$ | $H\otimes\mathbf{1}$ |
| $Y\otimes\mathbf{1}$ | $HS^\dagger\otimes\mathbf{1}$ |
| $\mathbf{1}\otimes Z$ | $\operatorname{Değiş tokuş etmek}$ |
| $\mathbf{1}\otimes X$ | $(H\otimes\mathbf{1})\operatorname{Değiş tokuş etmek}$ |
| $\mathbf{1}\otimes Y$ | $(HS^\dagger\otimes\mathbf{1})\operatorname{Değiş tokuş etmek}$ |
| $Z\otimes Z$ | $\operatorname{CNOT}_{10}$ |
| $X\otimes Z$ | $\operatorname{CNOT}_{10}(H\otimes\mathbf{1})$ |
| $Y\otimes Z$ | $\operatorname{CNOT}_{10}(HS^\dagger\otimes\mathbf{1})$ |
| $Z\otimes X$ | $\operatorname{CNOT}_{10}(\mathbf{1}\otimes H)$ |
| $X\otimes X$ | $\operatorname{CNOT}_{10}(H\otimes H)$ |
| $Y\otimes X$ | $\operatorname{CNOT}_{10}(HS^\dagger\otimes H)$ |
| $Z\otimes Y$ | $\operatorname{CNOT}_{10}(\mathbf{1}\otimes HS^\dagger)$ |
| $X\otimes Y$ | $\operatorname{CNOT}_{10}(H\otimes HS^\dagger)$ |
| $Y\otimes Y$ | $\operatorname{CNOT}_{10}(HS^\dagger\otimes HS^\dagger)$ |
Burada, CNOT işlem aşağıdaki nedenden dolayı görüntülenir.
Matrisi içermeyen $\mathbf{1}$ her Pauli ölçümü, önceki mantık gereği Z Z'ye $\otimes$ kadar bir birime eşdeğerdir.
Z Z'nin $\otimes$ eigenvalues değeri yalnızca her hesaplama temel vektörü oluşturan kubitlerin eşliğine bağlıdır ve denetimli olmayan işlemler bu eşliği hesaplamaya ve ilk bitte depolamaya hizmet eder.
Ardından ilk bit ölçüldükten sonra elde edilen yarım alanın kimliğini kurtarabilir ve bu da Pauli işlecini ölçmeye eşdeğerdir.
Ayrıca, Z Z'yi ölçmenin $sıralı olarak Z'yi$ ve ardından Z'yi{1}$\mathbb{\otimes\otimes ölçmekle $aynı olduğunu varsaymak cazip olsa da$\mathbb{1}\otimes$, bu varsayım yanlış olacaktır. Bunun nedeni, Z Z ölçümünün $kuantum durumunu bu işleçlerin $+1$ veya $-1$ eigenstate'ine dönüştürmesidir.$\otimes Z\mathbb{1}$ ve Z\otimes $\mathbb{1}$ ölçülmesi$, kuantum durumu vektörünün ilk olarak Z'nin yarım alanına, ardından da Z'nin ${1}$\mathbb{\otimesyarım alanına yansıtılması$\mathbb{{1}\otimes$.\otimes Dört hesaplama temeli vektörü olduğundan, her iki ölçümün de gerçekleştirilmesi durumu çeyrek alana düşürür ve böylece tek bir hesaplama temeli vektörü haline getirir.
Kubitler arasındaki bağıntılar
X\otimes X$ veya $Z Z\otimes$ gibi $Pauli matrislerinin tensor ürünlerini ölçmenin bir diğer yolu da bu ölçümlerin iki kubit arasındaki bağıntılarda depolanan bilgilere bakmanıza olanak tanıyor olmasıdır. X\otimes 1'in$ ölçülmesi$, ilk kubitte yerel olarak depolanan bilgilere bakmanızı sağlar. Her iki ölçüm türü de kuantum bilişiminde eşit derecede değerli olsa da, ilki kuantum bilişiminin gücünü aydınlatıyor. Kuantum bilişiminde, genellikle öğrenmek istediğiniz bilgilerin tek bir kubitte depolanmadığını, bunun yerine yerel olmayan bir şekilde tüm kubitlerde aynı anda depolandığını ve bu nedenle yalnızca ortak bir ölçümle (örneğin $Z\otimes$) bakarak bu bilgilerin bildirim haline geldiğini ortaya koyar.
X\otimes Y \otimes Z\mathbf{1}$ \otimesgibi $rastgele Pauli işleçleri de ölçülebilir. Pauli işleçlerinin tüm bu tensor ürünleri yalnızca iki eigenvalues $\pm 1'e$ sahiptir ve her iki eigenspace de vektör alanının tamamının yarım boşluklarını oluşturur. Bu nedenle, daha önce belirtilen gereksinimlerle çakışırlar.
içindeQ#, ölçüm işareti $(-1)^j'nin eigenspace değeriyle sonuç verirse bu tür ölçümler j$$ döndürür$. Bu tür operatörlerin ölçülmesi, işlemi Z$ ve 1'in$ tensor ürünü $olarak ifade etmek için gereken çaprazlaştırıcı $U$ geçidini tanımlamak için uzun denetimli DEĞİl kapı zincirleri ve $temel dönüşümler gerektirdiğinden, içinde yerleşik bir özellik Q# olarak Pauli ölçümlerine sahip olmak yararlıdır. Bu önceden tanımlanmış ölçümlerden birini yapmak istediğinizi belirterek, hesaplama temeli ölçümü gerekli bilgileri sağlayacak şekilde temelinizi nasıl dönüştüreceğiniz konusunda endişelenmeniz gerekmez. Q# sizin için gerekli tüm temel dönüştürmeleri otomatik olarak işler.
Klonlama Yok Teorem
Kuantum bilgileri güçlüdür. En iyi bilinen klasik algoritmalardan üstel olarak daha hızlı faktör sayıları gibi şaşırtıcı şeyler yapmanıza veya doğru simülasyon yapmak için klasik olarak üstel maliyet gerektiren bağıntılı elektron sistemlerinin simülasyonunu verimli bir şekilde yapmanıza olanak tanır. Ancak kuantum bilişiminin gücünde sınırlamalar vardır. Böyle bir sınırlama, Klonlama Yok Teorem'i tarafından verilir.
Klonlama Yok Teoreminin adı düzgün bir şekilde verilmiştir. Bir kuantum bilgisayar tarafından genel kuantum durumlarının kopyalanmasına izin vermemektedir. Teorem kanıtı son derece basittir. Kopyalama yok teoreminin tam kanıtı bu makale için çok teknik olsa da, ek yardımcı kubit olmaması durumunda kanıt kapsam dahilindedir.
Böyle bir kuantum bilgisayar için kopyalama işlemi bir birim matrisle açıklanmalıdır. Kopyalanacak kuantum durumunu bozabileceğinden kuantum ölçümüne izin verilmez. Kopyalama işleminin benzetimini yapmak için kullanılan birim matrisin herhangi bir durum için U{0}\ket{\psi}\ket{\psi}\ket{\psi}$$\ket{= özelliğine $$ sahip olması gerekir.$\ket{\psi}$ Matris çarpmasının doğrusallık özelliği daha sonra herhangi bir ikinci kuantum durumu $\ket{\phi}$için bunu ifade eder.
$$\begin{\begin{align}U \left[ \frac{{1}{\sqrt{{2}}\left(\ket{\phi}+\ket{\psi}\right) \right] \ket{{0}& =\frac{1}{\sqrt{2}} U\ket{\phi}\ket{{0} + \frac{1}{\sqrt{{2}} U\ket{\psi}\ket{0}\\& =\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \ket{\phi}\ket{\phi} + \ket{\psi}\ket{\psi}\right) \\& \ne\left( \frac{{2}}\left{1}{\sqrt{(\ket{\phi}+\ket{\psi}\right) \right) \otimes\left( \frac{1}{\sqrt{{2}}\left(\ket{\phi}+\ket{\psi}\right) \right). \end{align} $$
Bu, Kopyalama Yok Teoreminin arkasındaki temel sezgiyi sağlar: Bilinmeyen bir kuantum durumunu kopyalayan tüm cihazlar, kopyalanan durumların en az bazılarında hatalara neden olmalıdır. Kopyalayıcının giriş durumu üzerinde doğrusal olarak hareket ettiğinin temel varsayımı yardımcı kubitlerin eklenmesi ve ölçülmesi yoluyla ihlal edilebilir, ancak bu etkileşimler ölçüm istatistikleri aracılığıyla sistemle ilgili bilgileri de sızdırır ve bu gibi durumlarda tam kopyalamayı önler.
Kopyalama Yok Teorem'i kuantum bilişimini nitel anlamak için önemlidir çünkü kuantum durumlarını ucuz bir şekilde klonlayabilirseniz kuantum durumlarından öğrenmeniz için size neredeyse sihirli bir yetenek verilir. Heisenberg'ün alaycı belirsizlik ilkesini ihlal edebilirsiniz. Alternatif olarak, karmaşık bir kuantum dağıtımından tek bir örnek almak ve tek bir örnekten bu dağıtım hakkında öğrenebileceğiniz her şeyi öğrenmek için en uygun kopyalayıcıyı kullanabilirsiniz. Bu, yazı tura atıp kafaları gözlemlemeniz ve ardından bir arkadaşınıza sonucun &ne olduğunu söylemeniz gibi olur. Ah bu madeni paranın dağılımı p=0,512643\ldots$ ile $Bernoulli olmalıdır!&Quot; Bir bilgi parçası (kafa sonucu) yalnızca önemli bir önceki bilgi olmadan dağıtımı kodlamak için gereken çok sayıda bilgiyi sağlayamadığından, bu tür bir ifade gereksiz olacaktır. Benzer şekilde, önceden bilgi olmadan, bir kuantum durumunu mükemmel bir şekilde klonlayamaz, tıpkı p'yi bilmeden $$bu tür madeni paraların bir dizisini hazırlayamadığı gibi.
Kuantum bilişiminde bilgiler ücretsiz değildir. Ölçülen her kubit tek bir bilgi verir ve Klonlama Yok Teoremi, sistem hakkında elde edilen bilgilerle buna çağrılan rahatsızlık arasındaki temel dengeyi aşabilmek için kötüye kullanılabilecek bir arka kapı olmadığını gösterir.