Aracılığıyla paylaş

Kuantum bilişiminde vektörler ve matrisler

  • Makale

Doğrusal cebir hakkında bilgi sahibi olmak, kuantum bilişimini anlamak için gereklidir. Bu makalede doğrusal cebir ile ilgili temel kavramlar ve kuantum bilişiminde vektörler ve matrislerle nasıl çalışılması anlatmaktadır.

Vektör

Kısa, $boyut v$ (veya boyut) $n$ için sütun vektör veya vektör, sütun olarak düzenlenmiş n$ karmaşık sayı $(v_1,v_2,\ldots,v_n)$ koleksiyonudur$:

$$v=\begin{bmatrix}\\\vdots\\ v_n v_2\\ v_1\end{bmatrix}$$

Vektör $v normu _i v_i||^2}$ olarak $\sqrt{\sum$ tanımlanır. Normu 1$ ise $vektöre birim vektör denir.

v sütun vektörünün $bitişik olması, v$^\dagger$ olarak $belirtilen bir satır vektördür ve v'nin$ eşlem çevirisi $olarak tanımlanır. N boyutunun $sütun vektör $v'sinde$, bitişik boyut 1 \times n'nin$$ satır vektördür:$

$$\begin{bmatrix}\\ v_1 \vdots \\ v_n \end{bmatrix}^\dagger=\begin{bmatrix}v_1^* & \cdots&Amp; v_n^*\end{bmatrix}$$

burada $v_i^*$ v_i$ karmaşık eşlemini $belirtir.

Doğrusal cebir kullanıldığında, a + b kubitinin $\psi= durumu, bir ^2 + |b|\ket{1}$^=2 1$ olan|$| b \end{bmatrix}$kuantum durum vektöru \\$\begin{bmatrix} olarak tanımlanır.\ket{0} Daha fazla bilgi için bkz . Kubit.

Skaler ürün

noktalı ürün veya iç ürün olarak da bilinen skaler ürün aracılığıyla iki vektör birlikte çarpılabilir. Adından da anlaşılacağı gibi, iki vektör skaler çarpımının sonucu bir skalerdir. Skaler ürün, bir vektörünün başka bir vektöre projeksiyonunu verir ve bir vektöri diğer basit vektörlerin toplamı olarak ifade etmek için kullanılır. u ve $v sütun vektörleri arasındaki skaler $ürün u$, v\right\rangle= u^\dagger v $ olarak $\left\langle$ belirtilir ve

$$\left\langleu, v\right\rangle= u^\dagger v=\begin{bmatrix}u_1^* & \cdots&Amp; u_n^* \end{bmatrix}v_1 \vdots\\ v_n u_1\end{bmatrix}=^* v_1 + + \cdots u_n^* v_n.\\\begin{bmatrix} $$

Skaler ürün ile bir vektör $v$ normu v, v\rangle}$ olarak $\sqrt{\langle yazılabilir.

Girdileri ile çarpılan yeni bir vektör oluşturmak için bir vektörle a sayısını $çarpabilirsiniz$$.$ Girdileri u ve v girdilerinin $$toplamı olan yeni bir vektör oluşturmak için u$ ve $v$ olmak üzere iki vektör de ekleyebilirsiniz.$ $$ Bu işlemler şunlardır:

$$\mathrm{u u_1 u_2 \vdots\\ u_n \end{bmatrix}~\mathrm{ve}~ v =\begin{bmatrix} v_1\\ v_2 \vdots\\ v_n\\ ,\end{bmatrix}~\mathrm{au}~+bv =\begin{bmatrix} au_1+bv_1\\ au_2+bv_2\\ \vdots\\ au_n+bv_n\\\\ =\begin{bmatrix}}~\end{bmatrix}$$

Matris

m n boyut matrisi, aşağıda gösterildiği gibi m satırları ve $n sütunlarında $düzenlenmiş m$\cdot n$$ karmaşık sayılardan oluşan $bir koleksiyondur:$$ \times

$M =\begin{bmatrix} M_{11}{~~ M_~~{12}\cdots~~ M_{1n}\\ M_ M_{{21}~~ M_~~{22}{~~\cdots2n\ddots\\}\\ M_{{m1}~~ M_{m2~~\cdots}~~ M_{mn}\\\end{bmatrix}$

Not

N boyutunun $vektörünün yalnızca n \times boyutu $1$ olan bir matris olduğunu$ unutmayın.

Kuantum işlemleri kareli matrisler tarafından temsil edilir, yani satır ve sütun sayısı eşittir. Örneğin, tek kubitli işlemler Pauli $X$ işlemi gibi 2 \times 2$ matrisle $temsil edilir

$$X =\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$$

İpucu

içinde Q#Pauli $X$ işlemi, işlem tarafından X temsil edilir.

Vektörlerde olduğu gibi, her girişin c ile çarpıldığı yeni bir matris elde etmek için bir matrisi c$$ sayısıyla $$çarpabilirsiniz ve girişleri iki matrisin ilgili girişlerinin toplamı olan yeni bir matris oluşturmak için aynı boyutta iki matris eklenebilir.

Matris çarpımı

Ayrıca m n boyutunun M matrisini $ve n p boyutunun matris $N'sini$ çarparak m p$ boyutunun $$ \times $\times $\times yeni bir matris P'sini $$ aşağıdaki gibi alabilirsiniz:$$

$$\begin{\begin{align}&Amp;\begin{bmatrix} M_ M_ M_~~\cdots~~{12}{1n}\\ M_ M_{~~{21} M_~~{~~\cdots{22}{2n\ddots\\}\\ M_{m1}~~ M_{m2\cdots}~~~~ M_{mn\begin{bmatrix}\end{bmatrix}} N_~~{11} N_ N_~~{\cdots~~{{12}1p}\\ N_ N_{{21}{22}\cdots~~~~~~ N_{2p}\\\ddots\\ N_{n1}~~ N_n2~~~~\cdots} N_{{np}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} P_ P_{11}{~~{{11}~~ {12}~~\cdots~~ {P_1p}\\ P_{~~{21} P_ P_\cdots{{22}~~{~~2p}\\\ddots\\ P_{m1}~~ P_{m2~~\cdots}~~ P_mp{}\end{bmatrix}\end{align}$$

burada P$ $girdileri $P_{ik=\sum}_j M_{ij}N_{jk'dir}$. Örneğin, giriş P_ ilk M$ satırının $ilk sütunu N$ olan skaler ürünüdür$.{11}$ $ Vektör yalnızca matrisin özel bir durumu olduğundan, bu tanımın matris vektör çarpmasına kadar genişlediğini unutmayın.

Özel matris türleri

Özel bir kare matris, tüm çapraz öğelerinin 1'e$, $\mathbb{\mathbb{I}$kalan öğelerinin ise 0'a $$$eşit olduğu belirtilen kimlik matrisidir:

$\mathbb{\mathbb{I}=\begin{bmatrix}1 ~~ 0 0 ~~\cdots~~\\ 0 ~~ 1~~ ~~\cdots0\ddots\\\\~~ 0 ~~ 0\cdots~~~~ 1 .\end{bmatrix}$

A kare matrisi $için, B$ matrisi $AB = BA\mathbb{I}$\mathbb{= ise $onun tersidir.$ A$ matrisinin $tersi varsa, ters matris benzersizdir ve A^{-1}$olarak $yazılır.

Herhangi bir M matrisi $için M'nin $$ bitişik veya eşlemli çevirisi, N_ij}= M_{{ji}^*$ olacak $şekilde bir N$ matrisidir.$$ M'nin bitişik olması $M^\dagger$ olarak belirtilir$.$

UU^ U^ U veya eşdeğeri, U^={-1}{=\dagger U=\mathbb{I}$^\dagger ise$, $bir matris $U\dagger$ birimidir.$ Ünite matrislerinin önemli bir özelliği, vektör normunu korumalarıdır. Bunun nedeni

$\langlev,v\rangle=^\dagger v v=^ U^\dagger{-1} U v v=^ U^\dagger\dagger U v=\langle, U v.\rangle$

Not

Kuantum işlemleri, bitişikliği tersine eşit olan kareli matrisler olan birim matrisleriyle temsil edilir.

M$^\dagger$ ise $=M matrisi $Hermitian olarak adlandırılır.

Kuantum bilişiminde temelde yalnızca iki matrisle karşılaşabilirsiniz: Hermitian ve unitary.

Tensor ürünü

Başka bir önemli işlem, matris doğrudan ürünü veya Kronecker ürünü olarak da adlandırılan tensor ürünüdür.

İki vektör $=\begin{bmatrix}v a \\ b \end{bmatrix}$ ve $u =\begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix}$göz önünde bulundurun. Tensor ürünleri v \otimes u$ olarak $belirtilir ve bir blok matrisi ile sonuçlanır.

$$\begin{bmatrix}a \\ b \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\otimesc d \end{bmatrix}\begin{bmatrix}=\begin{bmatrix} a \\ c d \end{bmatrix}\\\\[1.5em] b \begin{bmatrix} c d\begin{bmatrix} \\=\end{bmatrix}\end{bmatrix}a c a d \\ b \\ c \\ b d\end{bmatrix}$$

Not

Tensor ürününün matris çarpmasından ayırt edilerek tamamen farklı bir işlem olduğunu unutmayın.

Tensor ürünü, birden çok kubitin birleşik durumunu temsil etmek için kullanılır. Kuantum bilişiminin gerçek gücü, hesaplamalar gerçekleştirmek için birden çok kubitten yararlanmaktan gelir. Daha fazla bilgi için bkz . Birden çok kubit üzerindeki işlemler.

İki kare matrisin M ve N boyutunun $n n tensor çarpımı, n$\times^2 n^$2 \times boyutunda $daha büyük bir P=M$\otimes N matrisidir.$$ $$ $ Örneğin:

$$\begin{bmatrix}a\ b \\ c\ d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\otimes\ f\\ g\ h\begin{bmatrix}=\end{bmatrix} a\begin{bmatrix} e\ f\\ g\ h b\ h \end{bmatrix}\begin{bmatrix} e\ f\\ g\ h\\\end{bmatrix} [1em] c\begin{bmatrix} e\ f\\ g\ h \end{bmatrix} d\begin{bmatrix} e\ f\\ g\ h \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\end{bmatrix}=ae\ af\ be\ bf \\ ag\ ah\ bg\ bh \\ ce\ cf\ de\ df \\ cg\ ch\ dg\ dh .\end{bmatrix} $$

İlgili içerik