Aracılığıyla paylaş

Kuantum bilişiminde gelişmiş matris kavramları

  • Makale

Bu makalede eigenvalues, eigenvectors ve exponentials kavramları incelenir. Bu kavramlar, kuantum algoritmalarını tanımlamak ve uygulamak için kullanılan temel bir matris araçları kümesini oluşturur. Kuantum bilişimi için geçerli olan vektörlerin ve matrislerin temelleri için bkz . Kuantum bilişimi için doğrusal cebir, Vektörler ve matrisler.

Eigenvalues ve eigenvectors

$M$ bir kare matris, $v$ ise tüm sıfır vektörleri olmayan bir vektör olsun (örneğin, tüm girişleri 0'a $$eşit olan vektör).

Vektör $v, bir sayı $c için Mv = cv$ ise $M'nin $$ bir eigenvektördür$.$ c tamsayısı$, eigenvector $v$ öğesine karşılık gelen eigenvalue değeridir.$ Genel olarak, M$ matrisi $bir vektörü başka bir vektöre dönüştürebilir. Bununla birlikte, bir eigenvektör bir sayı ile çarpılması dışında değişmeden bırakıldığı için özeldir. v$, eigenvalue c$ içeren bir eigenvector ise$, $av'nin$ aynı eigenvalue'ya $sahip bir eigenvector (sıfır olmayan $a$ için) olduğunu unutmayın.

Örneğin, kimlik matrisi için her vektör $v$ , eigenvalue $1$ ile bir eigenvector'dır.

Başka bir örnek olarak, yalnızca köşegende sıfır olmayan girişleri olan bir çapraz matris$D'yi$ düşünün:

$$\begin{bmatrix}&d_1 amp; 0 & 0 \\ 0 & d_2 & 0 0 \\& 0 & d_3\end{bmatrix}. $$

Vektörler

$$\begin{bmatrix}1 \\ 0 0 \end{bmatrix}\\ , \begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ 0\text{\end{bmatrix}ve\begin{bmatrix}}0 \\ 0 1 \\\end{bmatrix}$$

sırasıyla eigenvalues $d_1, $d_2$ ve $d_3$$ ile bu matrisin eigenvektörleridir. d_1$, $d_2$ ve $d_3$ ayrı sayılarsa$, bu vektörler (ve katları) D$ matrisinin $tek eigenvektörleridir. Genel olarak, çapraz matris için eigenvalues ve eigenvectors'ı okumak kolaydır. eigenvalues, çaprazta görünen tüm sayılardır ve bunların ilgili eigenvektörleri, bir girişi 1'e$, kalan girişleri 0'a$$$ eşit olan birim vektörleridir.

Yukarıdaki örnekte, D'nin eigenvektörlerinin $3$ boyutlu vektörler için $bir temel oluşturduğunu$ unutmayın. Temel, herhangi bir vektörünün doğrusal bir bileşimi olarak yazılabilmesini sağlayan bir vektör kümesidir. Daha açık bir şekilde, v_1, v_2 ve v_3$ bazı sayılar $$$$a_1, a_2$ ve $$a_3 için v a_1 v_1 + a_2 v_2 + a_3 v_3$ olarak $=yazılabilen bir$ vektör$$v temel oluşturur. $$$

Kuantum bilişiminde temelde yalnızca iki matrisle karşılaşabilirsiniz: Hermitian ve unitary. Hatırlayacağınız gibi, Hermitian matrisi (kendi kendine bitişik olarak da adlandırılır) kendi karmaşık konjugate transpose değerine eşit karmaşık bir kare matrisken, üniter matris ise tersini karmaşık eşleşik dönüşüme eşit olan karmaşık bir kare matristir.

Spektral teorem olarak bilinen ve şu ifadeleri ifade eden genel bir sonuç vardır: Hermitian veya uniter matris $M$ için, bazı çapraz matris $D$ için M=U^\dagger D U$ gibi $bir ünitesel $U$ vardır. Ayrıca, D'nin$ çapraz girişleri M'nin $$$eigenvalues değeri, U^\dagger$ sütunları $ise ilgili eigenvektörler olacaktır. Bu faktörizasyon spektral ayrıştırma veya eigendecomposition olarak bilinir.

Matris üstelleri

Matris üstel , üstel işleve tam benzetmeyle de tanımlanabilir. A$ matrisinin matris $üstel değeri şöyle ifade edilebilir:

$$ e^A=\mathbf{1} + A + \frac{A^2}{2!}+\frac{A^3}{3!}+\cdots$$

Kuantum mekanik zaman evrimi Hermitian matris B$ için e^{iB}$ formunun $birim matrisi $ile açıklandığından bu önemlidir. Bu nedenle matris üstelleri gerçekleştirmek, kuantum bilişiminin temel bir parçasıdır ve bu nedenle Q# bu işlemleri açıklamaya yönelik temel yordamlar sunar. Klasik bir bilgisayarda matrisi üstel olarak hesaplamanın pratikte birçok yolu vardır ve genel olarak bu tür bir üstel öğeyi sayısal olarak tahmin etmek tehlikelerle doludur. Cleve Moler ve Charles Van Loan'a bakın . &Quot; Matrisin üstel değerini hesaplamanın on dokuz şüpheli yolu.&Quot; SIAM inceleme 20.4 (1978): 801-836 ilgili zorluklar hakkında daha fazla bilgi için.

Bir matrisin üstel değerini hesaplamanın en kolay yolu, bu matrisin eigenvalues ve eigenvectors aracılığıyla yapılır. Özellikle, yukarıda bahsedilen spektral teorem, her Hermitian veya üniter matris $A$ için bir birim matris $U$ ve A=^\dagger D U$ gibi $bir çapraz matris $D$ olduğunu söyler. Unitarity özellikleri nedeniyle, $A^2 = U^\dagger D^2 U$ ve benzer şekilde herhangi bir güç $p A^p$=$ U^\dagger D^p U$ için. Bunu üstel işlecin işleç tanımına eklerse:

$$ e^A= U^\dagger\left(\mathbf{1} +D +\frac{D^2 2}{!}+\cdots\right)U= ^\dagger\begin{bmatrix}\exp(D_{{11}) & 0 &\cdots&Amp; 0\\ 0 & \exp(D_{22})&\cdots&Amp; 0\\ \vdots &\vdots &\ddots&\vdots\\ 0& 0&\cdots&&\exp(D_{NN}) \end{bmatrix} U. $$

Başka bir deyişle, A$ matrisinin $eigenbasisine dönüşürseniz matris üstel hesaplaması, matrisin eigenvalues değerinin sıradan üstel değerini hesaplamaya eşdeğerdir. Kuantum bilişimindeki birçok işlem matris üstelleri gerçekleştirmeyi içerdiğinden, işleci üstel gerçekleştirmeyi basitleştirmek için matrisin eigenbasis'ine dönüştürmenin bu hilesi sık sık ortaya çıkar. Bu kılavuzun ilerleyen bölümlerinde ele alınan Trotter-Suzuki stili kuantum simülasyonu yöntemleri gibi birçok kuantum algoritmasının temelini oluşturur.

Başka bir kullanışlı özellik, involutory matrisleri için barındırır. B involutory matrisi hem üniter hem de Hermityan(B=^B^\dagger${-1}=) matrisidir$$.$ Ardından, bir involutory matrisI^2=\mathbf{1}$ olan kendi tersine $eşit bir kare matristir. Bu özelliği matris üstel olarak yukarıdaki genişletmeye uygulayarak, ve $B terimlerini birlikte gruplandırarak $\mathbf{1}$ ve Maclaurin teoremini kosinüs ve sinüs işlevlerine uygulayarak$, kimlik

$$e^{iBx}=\mathbf{1} \cos(x)+ iB\sin(x)$$

herhangi bir gerçek değer $için tutar x$. Bu püf noktası özellikle yararlıdır çünkü B'nin boyutu üstel olarak büyük olsa bile matris üstellerinin eylemleri hakkında, B'nin $$$ faturalı olduğu $özel durum için düşünmenize olanak tanır.

Sonraki adımlar