單量子位元和多量子位元 Pauli 測量作業

  • 發行項

當您使用 Q#時，您會發現 Pauli度量 是常見的度量類型。 Pauli 度量會將計算基礎測量一般化，以包含其他基底中的度量，以及不同量子位之間的同位。 在這種情況下，通常會討論測量 Pauli 運算符，也就是 X、Y、Z 或 Z\otimes Z、X X\otimes、X\otimes Y$ 等運算子$。$$ 如需量子測量的基本概念，請參閱 量子位 和 多個量子位。

在量子錯誤修正的子欄位中，討論Pauli運算符的度量很常見。
Q# 指南遵循類似的慣例；本文說明這種測量觀點以供選擇。

提示

在 Q# 中，多量子位元的 Pauli 運算子通常是以型別 Pauli[] 的陣列表示。 例如，若要表示 $ X \otimes Z \otimes Y $，您可以使用陣列 [PauliX, PauliZ, PauliY]。

在詳究如何思考 Pauli 測量之前，建議請先考慮測量量子電腦內的單量子位元對量子狀態的作用。 想像一下 $n$-量子位元量子狀態，測量一個量子位元會立即排除狀態所在的 $2^n$ 可能性的一半。 換句話說，測量會將量子狀態投射到兩個半空間中的其中一者。 您可以將您思考測量的方式一般化，以反映此直覺。

為了簡單扼要識別這些子空間，需要使用一種語言來描述它們。 描述這兩個子空間的其中一種方式，就是透過只有兩個唯一特徵值的矩陣來指定它們，採用的慣例為 $\pm 1$。 如需以這種方式描述子空間的簡單範例，請考慮 $Z$：

$$\begin{\begin{align}Z & 1 & =\begin{bmatrix} 0 0 \\& -1 \end{bmatrix}。 \end{align} $$

藉由讀取 Pauli-$Z$ 矩陣的對角線元素，您可以看到 $Z$ 有兩個特徵向量，亦即 $\ket{0}$ 和 $\ket{1}$，其對應的特徵值為 $\pm 1$。 因此，如果量子位的測量結果 Zero (對應至狀態 $\ket{0}$) ，則已知量子位的狀態是 $Z$ 運算子的 $+1$ 特徵。 同樣地，如果結果是 One，已知量子位的狀態是 $Z$ 的 $-1$ eigenstate。 這個過程在 Pauli 測量語言中稱做 "測量 Pauli $Z$"，完全等同於執行計算基礎測量。

任何為 $Z$ 其單一轉換的 $2\times 2$ 矩陣也滿足此準則。 也就是說，您也可以使用矩陣 $A=U^\dagger Z U$，其中 $U$ 是任何其他的單一矩陣，以提供矩陣在其 $\pm 1$ 特徵向量中定義測量的兩個結果。 Pauli 測量的標記法會藉由識別 $ X、Y、Z $ 測量作為等同的測量來參考此單一等價，您可以這麼做以從量子位元中得到資訊。 為了方便起見，這裡提供這些度量。

Pauli 測量 單一轉換
$Z$ $\mathbf{1}$
$X$ $H$
$Y$ $HS^{\dagger}$

也就是說，使用此語言、 &商號;measure $Y$" 相當於套用 $HS^\dagger$ ，然後在計算基礎中測量，其中 S 是內建量子運算有時稱為 &商數;階段閘道、"和 可以使用單位矩陣來模擬

$$\begin{\begin{align}S =1 amp; 0 \\ 0 & i \end{bmatrix}。&\begin{bmatrix} \end{align} $$

亦等同於先將 $HS^\dagger$ 套用至量子狀態向量，然後再測量 $Z$，讓下列作業等同於 Measure([PauliY], [q])：

operation MeasureY(qubit : Qubit) : Result {
    mutable result = Zero;
    within {
        Adjoint S(q);
        H(q);
    } apply {
        set result = M(q);
    }
    return result;
}

然後，藉由轉換回計算基礎，將SH$套用$至量子狀態向量，然後找到正確的狀態;在代碼段中，轉換回到計算基礎會自動處理within … apply使用區塊。

在 Q#中，結果---也就是說，從與狀態互動所擷取的傳統資訊---是使用Result值 $j \in \{\texttt{Zero，One}}\texttt{\}$ 表示結果是否在$所測量的 Pauli 運算符 (-1) ^j$ eigenspace 中。

多量子位元測量

多量子位元 Pauli 運算子測量的定義方式類似，如下所示：

$$ Z\otimes Z =\begin{bmatrix}1 &0 &0&0\\ 0&-1&0&0\\ 0&0&-1&0\\ 0&0&0&1\end{bmatrix}. $$

因此，兩個 Pauli-$Z$ 運算子的張量積會形成一個矩陣，這個矩陣由兩個包含 $+1$ 與 $-1$ 特徵值的空間所組成。 如同單量子位元案例，兩者都構成一半的空間，這表示可存取向量空間的一半屬於 $+1$ 特徵空間，另一半則屬於 $-1$ 特徵空間。 一般來說，從張量積的定義很容易看出，Pauli-$Z$ 運算子的任何張量積及身分識別也會遵守這一點。 例如

$$\begin{align}Z \otimes=\mathbf{{1}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \\ 0 & 1 & 0 amp; 0 \\&0 & 0 & -1 & 0 0 amp; 0 amp; &&\\ 0 amp; 0 & -1 。\end{bmatrix} \end{align} $$

如同先前一樣，這類矩陣的任何一元轉換也會描述兩個標示 $為 \pm 1$ eigenvalues 的半空格。 例如，來自身分識別 $Z=HXH$ 的 $X\otimes X = H\otimes H(Z\otimes Z)H\otimes H$。 與一個量子位案例類似，所有雙量子位 Pauli 測量都可以以 $U^\dagger (Z\otimes 1) U 寫入 $4\times 4$ 個單位矩陣 $U$$。 下表列舉轉換。

注意

在此數據表中，$\operatorname{SWAP}$ 用來表示矩陣 $$\operatorname{\begin{align}SWAP}& =\left (\begin{矩陣} 1 & 0 amp; 0 & 0 0&&\\&& amp; 0 amp; 0 0 amp; 0 amp;&&\\\\&&&0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 & 1 \end{矩陣}\right) \end{align}$$ 用來模擬內建運算 。SWAP

Pauli 測量 單一轉換
$Z\otimes\mathbf{1}$ $\mathbf{1}\otimes \mathbf{1}$
$X\otimes\mathbf{1}$ $H\otimes\mathbf{1}$
$Y\otimes\mathbf{1}$ $HS^\dagger\otimes\mathbf{1}$
$\mathbf{1}\otimes Z$ $\operatorname{SWAP}$
$\mathbf{1}\otimes X$ $(H\otimes\mathbf{1})\operatorname{SWAP}$
$\mathbf{1}\otimes Y$ $(HS^\dagger\otimes\mathbf{1})\operatorname{SWAP}$
$Z\otimes Z$ $\operatorname{CNOT}_{10}$
$X\otimes Z$ $\operatorname{CNOT}_{10}(H\otimes\mathbf{1})$
$Y\otimes Z$ $\operatorname{CNOT}_{10}(HS^\dagger\otimes\mathbf{1})$
$Z\otimes X$ $\operatorname{CNOT}_{10}(\mathbf{1}\otimes H)$
$X\otimes X$ $\operatorname{CNOT}_{10}(H\otimes H)$
$Y\otimes X$ $\operatorname{CNOT}_{10}(HS^\dagger\otimes H)$
$Z\otimes Y$ $\operatorname{CNOT}_{10}(\mathbf{1}\otimes HS^\dagger)$
$X\otimes Y$ $\operatorname{CNOT}_{10}(H\otimes HS^\dagger)$
$Y\otimes Y$ $\operatorname{CNOT}_{10}(HS^\dagger\otimes HS^\dagger)$

在此，CNOT 作業會因為下列原因出現。 每個不包含矩陣的 $\mathbf{1}$ Pauli度量，都相當於先前的推斷，相當於單一至 $Z\otimes Z$ 。 $Z\otimes Z$ 的特徵值只取決於構成每個計算基礎向量的量子位元同位，且不受控制的作業用於計算這個同位，並將其儲存在第一個位元中。 接著，在測量第一個位元後，您就可以復原所產生半空間的身分識別，這相當於測量 Pauli 運算子。

此外，雖然可能很想要假設測量 $Z Z$ 與循序測量 $Z{1}$\otimes\otimes\mathbb{ 和 $\mathbb{1}\otimes Z$ 相同，但此假設會是 false。 原因是測量 $Z\otimes Z$ 會將量子狀態投射到這些運算子的 $+1$ 或 $-1$ 特徵狀態。 先測量 $Z\otimes\mathbb{1}$，再測量 $\mathbb{1}\otimes Z$ 會將量子狀態向量先投影到 $Z\otimes\mathbb{{1}$ 的一半空間，再投影到 $\mathbb{{1}\otimes Z$ 的一半空間。 由於有四個計算基礎向量，所以執行這兩個測量可將狀態減少到四分之一空間，因此會將其縮減為單一計算基礎向量。

量子位元之間的關聯性

另一個查看測量 Pauli 矩陣張量積 (例如 $X\otimes X$ 或 $Z\otimes Z$) 的方式，是這些測量可讓您查看儲存在兩個量子位元之間關聯性中的資訊。 測量 $X\otimes 1$ 可讓您查看儲存在第一個量子位本機的資訊。 雖然這兩種類型的測量在量子運算中同樣的重要，但前者突顯出量子運算的力量。 這顯示在量子運算中，您想要了解的資訊通常不會儲存在任何單一量子位元中，而是會一次儲存在所有量子位元中，因此唯有透過聯結測量來查看 (例如 $Z\otimes Z$) 才能看出這項資訊。

您也可以測量任意 Pauli 運算子，例如 $X\otimes Y \otimes Z \otimes\mathbf{1}$。 Pauli 運算子的所有這類張量積只有兩個特徵值 $\pm 1$，這兩個特徵空間構成整個向量空間的一半空間。 因此，它們會與稍早所述的需求一致。

在 Q# 中，如果測量在帶正負號 $(-1)^j$ 的特徵空間中產生結果，則此類測量會傳回 $j$。 在 中Q#將Pauli測量作為內建功能很有幫助，因為測量這類運算元需要長鏈的受控制-NOT閘道和基礎轉換，才能描述將作業表示為 Z$ 和 $1$ 的張量乘$積所需的對角$線 U$ 閘道。 能夠指定您想要執行上述其中一種預先定義的測量，您就不需要擔心如何轉換基礎，這讓計算基礎測量能提供必要的資訊。 Q# 會自動為您處理所有必要的基礎轉換。

不可複製定理

量子資訊非常強大， 它可讓您執行比最佳已知傳統演算法更快速的因數數位等令人讚歎的專案，或有效率地模擬傳統需要指數成本的相互關聯電子系統，以精確地模擬。 不過，量子運算的力量有一些限制。 這種限制來自於「不可複製定理」。

「不可複製定理」如其名， 不允許量子電腦複製一般量子狀態。 此定理的證明非常簡單。 雖然沒有複制定理的完整證明對於本文而言太過技術，但若沒有額外的輔助量子位，則證明在範圍內。

對於這類量子計算機，複製作業必須以單一矩陣描述。 不允許量子測量，因為會損毀要複製的量子狀態。 若要模擬複製作業，則使用的單一矩陣必須讓 $$ U \ket{\psi}\ket{{0}=\ket{\psi}\ket{\psi}$$ 的該屬性適用於任何狀態 $\ket{\psi}$。 之後矩陣乘法的線性屬性工作意味著，對於任何第二個量子狀態 $\ket{\phi}$ 而言，

$$\begin{\begin{align}U \left[ \frac{{2}}\left{1}{\sqrt{ (\ket{\phi}+\ket{\psi}\right) \right]{0}&\ket{ amp; =\frac{1}{\sqrt{2}}U\ket{\phi}\ket{ + U\ket{\psi}\ket{0}\\& =\frac{1}{\sqrt{2}}\left (\ket{\phi}\ket{\phi}+ \frac{1}{\sqrt{{2}}\right\ket{\psi}\ket{\psi}) &\\ amp;\left\ne ({1}{\sqrt{{2}}\left\frac{ (\ket{\phi}+\right\ket{\phi}\otimes\ket{\psi}{2}}\left\right\frac{1}{\sqrt{\left) ) ( (+\ket{\psi}\right) ) 。\right{0} \end{align} $$

如此一來就能直覺理解「不可複製定理」背後的原理：任何複製未知量子狀態的裝置，都必定會在其所複製的至少部分狀態下引發錯誤。 雖然可透過新增與測量輔助量子位元，來違反複製器在輸入狀態上會以線性方式動作的這個主要假設，但這類互動也會透過測量統計資料來洩漏系統的相關資訊，並會防止在這類情況下進行完全複製。

「不可複製定理」對於量子運算的定性理解很重要，因為如果您能夠以更經濟的方式複製量子狀態，就等同於獲得神奇的力量，可以從量子狀態學習。 事實上，您可能違反了 Heisenberg 的浮誇不確定性原則。 或者，您也可以使用最佳的複製器，從複雜的量子分布中取得一個範例，並只從一個範例中所學習到有關該分布的所有一切。 這就像您翻轉一個金幣並觀察頭部，然後在告訴朋友有回應 &商的結果時;Ah 該貨幣的分佈必須是 $p=0.512643\ldots$！"這類語句不區分大小寫，因為一個資訊 (頭結果) 直接無法提供編碼散發所需的許多資訊位，而不需要大量先前資訊。 同樣地，若先前沒有資訊，便無法完美複製量子狀態，就如同在不知道 $p$ 的情況下無法準備叢集。

在量子運算中，資訊不是免費的。 測量的每個量子位元都會提供一個位元的資訊，且根據「不可複製定理」，不可能利用任何後門程式，以在所取得的系統相關資訊以及叫用該資訊所造成的干擾之間，做出合理的取捨。

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