單一量子位和多量子位Pauli度量
當您使用 Q#時，您會發現 Pauli度量 是常見的度量類型。 Pauli 度量會將計算基礎測量一般化，以納入其他基底和不同量子位之間的同位測量。 在這種情況下，通常會討論測量 Pauli 運算符，也就是 X、Y、Z 或 Z Z、X X\otimes、X\otimes Y$ 等運算符$。$\otimes $ 如需量子測量的基本概念，請參閱 量子位 和 多個量子位。
討論Pauli運算子的測量在量子誤差修正的子字段中很常見。
Q# 指南遵循類似的慣例;本文說明此測量的替代檢視。
提示
在 中 Q#，多量子位Pauli運算元通常以類型的 Pauli[]陣列表示。
例如，若要代表 $X \otimes Z \otimes Y$，您可以使用 陣列 [PauliX, PauliZ, PauliY]。
在深入探討如何思考Pauli測量的詳細數據之前，請考慮量子計算機內測量單一量子位對量子狀態有何作用。 想像一下 $n$ 量子位狀態;然後測量一個量子位會立即排除該狀態可能處於 2^n$ 可能性的$一半。 換句話說，測量會將量子狀態投影到兩個半空格的其中一個。 您可以將您思考測量的方式一般化，以反映這種直覺。
為了簡潔地識別這些子空間，人們需要一種語言來描述這些子空間。 描述這兩個子空間的其中一個方法是透過只有兩個唯一特徵值的矩陣來指定它們，而慣例 $為 \pm 1$。 如需以這種方式描述子空間的簡單範例，請考慮 $Z$：
$$\begin{\begin{align} Z & =\begin{bmatrix} 1 & 0 0 \\ & -1 \end{bmatrix}。 \end{align} $$
藉由讀取 Pauli-Z 矩陣的對角線元素，人們可以看到 $Z$ 有兩個特徵值，$\ket{0}$並使用$\ket{1}$對應的 eigenvalues $\pm 1$。$$
因此，如果量子位的測量會產生 Zero （對應至狀態$\ket{0}$），則已知量子位的狀態是 $Z$ 運算子的 $+1$ 特徵值。
同樣地，如果結果是 One，已知量子位的狀態是 $Z$ 的 $-1$ 特徵值。
此程式以Pauli度量&語言稱為quot;測量 Pauli $Z，quot$&;和 完全相當於執行計算基礎測量。
任何 $2 2\times$ 個矩陣都是 Z$ 的一元轉換$，也都符合此準則。 也就是說，您也可以使用矩陣 $A U^\dagger Z U$，其中 $$ U 是任何其他單一矩陣，以提供矩陣，以定義其 \pm 1$ 特徵函式中$度量的=兩個結果。 Pauli 度量的表示法會藉由將 X、Y、Z$ 度量識別$為可從量子位取得資訊的對等測量，來參考這個統一等量值。 為了方便起見，這裡會提供這些度量。
| Pauli 度量 | 單一轉換 |
|---|---|
| $Z$ | $\mathbf{1}$ |
| $X$ | $H$ |
| $Y$ | $房 協^{\dagger}$ |
也就是說，使用此語言， &引用;measure $Y$"相當於套 $用 HS^\dagger$ ，然後在計算基礎中測量，其中 S 是內部量子運算，有時稱為 "階段閘道、"和 可以使用單位矩陣模擬
$$\begin{\begin{align}S =1 amp; 0 0 \\ & i \end{bmatrix}.&\begin{bmatrix} \end{align} $$
它也相當於將 $HS^\dagger$ 套用至量子狀態向量，然後測量 $Z$，因此下列作業相當於 Measure([PauliY], [q])：
operation MeasureY(qubit : Qubit) : Result {
mutable result = Zero;
within {
Adjoint S(q);
H(q);
} apply {
set result = M(q);
}
return result;
}
然後，藉由轉換回計算基礎來找到正確的狀態，這相當於將SH套用$至量子狀態向量;在代碼段中，轉換回到計算基礎會自動處理，並搭配區塊使用within … apply。$
在 Q#中，結果---是，從與狀態互動中擷取的傳統資訊---is 會使用Result值 $j \in \{\texttt{Zero，One}}\texttt{\}$ 指出結果是否在$所測量 Pauli 運算符的 （-1）^j$ eigenspace 中。
多重量子位測量
多重量子位Pauli運算子的度量定義方式類似，如以下所示：
$$Z\otimes Z =\begin{bmatrix}1 &0 &0&0 0\\& amp;-1&0&0 0\\& amp;0&-1&0 0\\& amp;0&0&1\end{bmatrix}. $$
因此，兩個Pauli-Z$$運算子的張量乘積形成由 +1$ 和 $-1$特徵值組成的兩個空格組成的$矩陣。 如同單一量子位大小寫，兩者都構成一個半空間，這表示可存取向量空間的一半屬於 +1$ eigenspace，其餘一半則屬於 $$-1$ eigenspace。 一般而言，從 Tensor 產品的定義來看，保利-$Z$ 運算子的任何張量乘積和身份也遵守這一點很容易。 例如，
$$\begin{align}Z \otimes{1}\begin{bmatrix}=\mathbf{1 & 0 & &0 amp; 0 &\\ 0 amp; &&0 amp; 0 &\\ & 0 amp; -1 &\\ && 0 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 & -1 .\end{bmatrix} \end{align} $$
和之前一樣，這類矩陣的任何一元轉換也會描述標示 $為 \pm 1$ eigenvalues 的兩個半空格。 例如，X X H H（Z Z\otimes）H\otimes H$ 來自 Z=HXH$ 的$身分識別。\otimes =\otimes $ 與一量子位案例類似，所有雙量子位 Pauli 測量都可以以 U^ （Z\otimes 1） U $$ 撰寫 4 4$\times 個單位矩陣 $U。\dagger $$ 下表列舉轉換。
注意
在此資料表中，$\operatorname{SWAP 是用來指出矩陣\operatorname{$$\begin{align} SWAP}&}$ amp; =\left（\begin{矩陣} 1 & 0 & 0 &\\& 0 amp; 0 amp; &&0&&&\\\\&&& 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; 1 \end{matrix}\right） \end{align}$$ 用來模擬內建運算。SWAP
| Pauli 度量 | 單一轉換 |
|---|---|
| $Z\otimes\mathbf{1}$ | $\mathbf{1}\otimes \mathbf{1}$ |
| $X\otimes\mathbf{1}$ | $H\otimes\mathbf{1}$ |
| $Y\otimes\mathbf{1}$ | $房 協^\dagger\otimes\mathbf{1}$ |
| $\mathbf{1}\otimes Z$ | $\operatorname{交換}$ |
| $\mathbf{1}\otimes X$ | $（H\otimes\mathbf{1}）\operatorname{交換}$ |
| $\mathbf{1}\otimes Y$ | $（HS^\dagger\otimes\mathbf{1}）\operatorname{交換}$ |
| $Z\otimes Z$ | $\operatorname{CNOT}_{10}$ |
| $X\otimes Z$ | $\operatorname{CNOT}_{10}（H\otimes\mathbf{1}）$ |
| $Y\otimes Z$ | $\operatorname{CNOT}_{10}（HS^\dagger\otimes\mathbf{1}）$ |
| $Z\otimes X$ | $\operatorname{CNOT}_{10}（\mathbf{1}\otimes H）$ |
| $X\otimes X$ | $\operatorname{CNOT}_{10}（H\otimes H）$ |
| $Y\otimes X$ | $\operatorname{CNOT}_{10}（HS^\dagger\otimes H）$ |
| $Z\otimes Y$ | $\operatorname{CNOT}_{10}（\mathbf{1}\otimes HS^\dagger）$ |
| $X\otimes Y$ | $\operatorname{CNOT}_{10}（H\otimes HS^\dagger）$ |
| $Y\otimes Y$ | $\operatorname{CNOT}_{10}（HS^\dagger\otimes HS^\dagger）$ |
在這裡，作業 CNOT 會因為下列原因而出現。
每個不包含矩陣的 $\mathbf{1}$ Pauli度量，都相當於先前推理的一元對 $Z\otimes Z$ 。
Z Z\otimes$ 的 $eigenvalue 只取決於構成每個計算基礎向量的量子位同位，而受控制的未控制作業則用來計算此同位，並將其儲存在第一位。
然後，一旦測量第一個位，就可以復原結果半空間的識別，這相當於測量Pauli運算符。
此外，雖然假設測量 $Z Z 與循序測量 $Z\otimes$ 和 $\mathbb{1}\otimes Z{1}$\otimes\mathbb{$ 相同，但此假設是 false。 原因是測量 $Z Z 會\otimes$將量子狀態投影到$這些運算子的 +1$ 或 $-1$ 特徵。 測量 $Z，然後 $\mathbb{1}\otimes Z$\otimes\mathbb{1}$ 將量子狀態向量先投影到 Z\mathbb{{1}$\otimes 的$半空間，再投影到 Z$ 的$\mathbb{{1}\otimes半空間。 由於有四個計算基礎向量，執行這兩個度量會將狀態縮減為四分之一空間，因此會將它縮減為單一計算基礎向量。
量子位元之間的關聯性
另一種查看測量Pauli矩陣的張量產品，例如 $X\otimes X$ 或 $Z\otimes Z，$ 是這些測量可讓您查看儲存在兩個量子位之間相互關聯的資訊。 測量 $X\otimes 1$ 可讓您查看儲存在第一個量子位的本機資訊。 雖然這兩種類型的測量在量子運算中同樣有價值，但前者會照亮量子運算的力量。 它顯示，在量子運算中，您想要學習的資訊通常不會儲存在任何單一量子位中，而是一次儲存在所有量子位中，因此只有透過聯合測量來查看它（例如 $Z\otimes Z$）才會成為指令清單。
您也可以測量任意的Pauli運算元，例如 $X\otimes Y \otimes Z \otimes\mathbf{1}$ 。 Pauli 運算子的所有這類張量乘積只有兩個 eigenvalues $\pm 1$ ，而且兩個 eigenspaces 都構成整個向量空間的半空格。 因此，它們與稍早所述的要求相吻合。
在 中Q#，如果度量產生符號 $（-1）^j 的 eigenspace 結果，這類度量會傳回 $j$$。 在 中Q#將Pauli測量作為內建功能很有幫助，因為測量這類運算元需要長鏈的受控制-NOT閘和基礎轉換來描述將作業表示為 Z$ 和 $1$ 的張量乘積$所需的對角$化 U$ 閘道。 您可以指定您想要執行上述其中一個預先定義的度量，您不需要擔心如何轉換基礎，讓計算基礎測量提供必要的資訊。 Q# 會自動為您處理所有必要的基礎轉換。
無複制定理
量子信息很強大。 它可讓您執行驚人的工作，例如因數數字指數比已知的傳統演算法快，或有效率地模擬傳統需要指數成本的相互關聯電子系統，以準確地模擬。 不過，量子運算的威力有一個限制。 其中一項限制是由 No-Cloning Theorem 所賦予。
無複制定理被恰當地命名。 它不允許量子計算機複製泛型量子狀態。 定理的證據非常直接。 雖然沒有複制定理的完整證明對本文而言太技術性，但在範圍內沒有其他輔助量子位的情況下，證明是無效的。
對於這類量子計算機，複製作業必須以一元矩陣來描述。 不允許量子測量，因為它會損毀要複製的量子狀態。 若要模擬複製作業，使用的單位矩陣必須具有 $$ U\ket{\psi}\ket{=\ket{\psi}{0}\ket{\psi}$$ 針對任何狀態 $\ket{\psi}$的屬性。 矩陣乘法的線性屬性接著表示，針對任何第二個量子狀態 $\ket{\phi}$，
$$\begin{\begin{align}U \left[ \frac{{1}{\sqrt{{2}}\left（\ket{\phi}+\ket{\psi}\right） \right] \ket{{0}& =\frac{1}{\sqrt{2}}U\ket{\phi}\ket{{0} + \frac{1}{\sqrt{{2}} U\ket{\psi}\ket{0}\\& =\frac{1}{\sqrt{2}}\left（ \ket{\phi}\ket{\phi} + \ket{\psi}\ket{\psi}\right） \\& \ne\left\ket{\phi}（+\ket{\psi}\right） \frac{1}{\sqrt{{2}}\left\ket{\phi}\right\otimes\left） （\frac{{2}}\left{1}{\sqrt{+\ket{\psi}\right） 。 \right \end{align} $$
這提供「無複制定理」背後的基本直覺：任何複製未知量子狀態的裝置，至少必須在複製的某些狀態上引發錯誤。 雖然複製器在輸入狀態上以線性方式運作的主要假設，可以透過加法和測量輔助量子位來違反，但這類互動也會透過測量統計數據洩漏系統的相關信息，並防止這類情況下的精確複製。
No-Cloneing 定理對於量子運算的質化瞭解很重要，因為如果您能以廉價方式複製量子狀態，則您會獲得從量子狀態學習近乎神奇的能力。 事實上，你可以違反海森伯格的嘲弄不確定性原則。 或者，您可以使用最佳複製器，從複雜的量子分佈中取得單一樣本，並瞭解您可能只從一個樣本中瞭解該分佈的所有專案。 這就像你翻硬幣和觀察頭，然後告訴朋友結果讓他們回應 &商：啊， 硬幣的分佈必須是伯努利與 $p=0.512643\ldots$！"這類陳述是非意義的，因為一位資訊（頭結果）根本無法提供編碼分佈所需的許多位資訊，而不需要大量的事先資訊。 同樣地，如果沒有先前的信息，人們就無法完美地複製量子狀態，就像一個人在不知道 $p$ 的情況下無法準備這類硬幣的合奏一樣。
量子運算中的資訊並非免費。 測量的每個量子位都會提供單一位資訊，而 No-Cloning Theorem 顯示，沒有任何後門可以利用來繞過系統取得的資訊與叫用的干擾之間的基本取捨。