A kvantum-számítástechnika lineáris algebrája

  • Cikk

A lineáris algebra a kvantum-számítástechnika nyelve. Bár nem kell ismernie a kvantumprogramok implementálásához vagy megírásához, széles körben használják qubitállapotok, kvantumműveletek leírására és a kvantumszámítógépek utasításainak megfelelően történő előrejelzésére.

Ahogy a kvantumfizika alapfogalmainak ismerete is segíthet megérteni a kvantum-számítástechnikát, úgy az alapvető lineáris algebra is segíthet megérteni a kvantumalgoritmusok működését. Legalább a vektorok és a mátrixszorzás fogalmával érdemes megismerkednie. Ha frissíteni szeretné tudását ezekkel az algebrai fogalmakkal kapcsolatban, az alábbi oktatóanyagok bemutatják az alapokat:

Vektorok és mátrixok a kvantum-számítástechnikában

A qubitek lehetnek 1 vagy 0 állapotban, vagy mindkettő szuperpozíciója. Lineáris algebra használatával a qubit állapotát vektorként írják le, és egy a b \end{bmatrix}$oszlopmátrix$\begin{bmatrix}\\ képviseli. Kvantumállapot-vektornak is nevezik, és meg kell felelnie a(z) ^2 + |b|^2 = 1$ követelményének$||.

A mátrix elemei annak valószínűségét jelzik, hogy a qubit az egyik vagy a másik módon összecsukható, a$||^2$ pedig a nullára való összecsukás valószínűsége, a $|b|^2$ pedig az egyikhez való összecsukás valószínűsége. Az alábbi mátrixok mind érvényes kvantumállapot-vektorokat jelölnek:

$$\begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix},{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}\frac{{1}{\sqrt{2}}\\\end{bmatrix}\frac{ ,\\\frac{{-1}{\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{\begin{bmatrix}\text{\end{bmatrix}{2}} és{2}}}\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{\frac{\\ -i.$$}{\sqrt{2}}\end{bmatrix} A kvantumműveleteket mátrix is ábrázolhatja. Ha egy kvantumműveletet egy qubitre alkalmaznak, az ezeket jelölő két mátrixot megszorozza a rendszer, és az eredmény a qubit művelet utáni új állapotának felel meg.

Alább látható két gyakori kvantumművelet, mátrixszorzással megjelenítve.

A X műveletet az X$ Pauli-mátrix $képviseli,

$$X =0 amp; 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix},&\begin{bmatrix}$$

és a segítségével egy qubit állapota átállítható 0-ról 1-re (vagy fordítva), például

$$\begin{bmatrix}0 & 11\\& 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}=0 \\ 1 .\end{bmatrix}$$

A H műveletet a Hadamard transzformáció $H$ képviseli,

$$H = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1 & 1\\ 1 &-1\end{bmatrix},$$

és a qubitet egy olyan szuperpozíciós állapotba helyezi, amelyben egyenlő eséllyel eshet egybe bármelyik értékkel, ahogy itt is látható:

$$\frac{{1}{\sqrt{{2}}\begin{bmatrix}1 & 1\\ 1 &-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}.$$

Figyelje meg, hogy $|a|(z) ^2 =|b|^2 =\frac{1}{2}$érték azt jelenti, hogy a nullára és egy állapotra való összecsukás valószínűsége megegyezik.

A kvantumműveletet jelölő mátrix egy követelménnyel rendelkezik – egységes mátrixnak kell lennie. A mátrix akkor egységes, ha a mátrix inverze megegyezik a mátrix konjugált transzponáltjával.

Kétqubites állapot jelölése

A fenti példákban egy qubit állapotát egy b oszlopmátrix $\begin{bmatrix}\\\end{bmatrix}$használatával ismertették, és a két mátrix megszorzásával egy műveletet alkalmaztak rá. A kvantumszámítógépek azonban egynél több qubitet használnak, tehát hogyan írható le két qubit kombinált állapota?

Megjegyzés

A kvantum-számítástechnika valódi ereje abból fakad, hogy több qubitet használ a számítások végrehajtásához. A témakör részletesebb megismeréséhez lásd: Műveletek több qubiten.

Ne feledje, hogy minden qubit egy vektortér, ezért nem lehet őket egyszerűen megszorozni. Ehelyett egy tenzorterméket használ, amely egy kapcsolódó művelet, amely új vektorteret hoz létre az egyes vektorterekből, és a $\otimes$ szimbólum jelöli. Két qubit tensor szorzata például a \\ b \end{bmatrix}$ és $\begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix}$ állapotot $\begin{bmatrix} számítja ki

$$\begin{bmatrix}a \\ b \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\otimesc \\ d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix}\\ b \begin{bmatrix}c \\ d \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\end{bmatrix}=ac \\ ad \\ bc \\ bd .\end{bmatrix} $$

Az eredmény egy négydimenziós mátrix, amelyben minden elem egy valószínűséget jelöl. Az ac$ például annak a valószínűsége, $hogy a két qubit 0-ra és 0-ra$, a hirdetés$ valószínűsége 0 és 1, és így tovább.

Ahogyan egyetlen qubitállapot $\begin{bmatrix}\\ esetén a b-nek \end{bmatrix}$ is meg kell felelnie annak a követelménynek, hogy $|a|(z) ^2 + |b|^2 = 1$ kvantumállapotot jelöljön, a két qubites ac $\begin{bmatrix}\\ ad \\ bc \\ bd \end{bmatrix}$ állapotnak meg kell felelnie az ac|^2 + |ad|^2 + |bc|^2+ |bd|^2 = 1$ követelménynek$|.

Összefoglalás

A lineáris algebra a kvantum-számítástechnika és a kvantumfizika leírásának szabványos nyelve. Annak ellenére, hogy a Microsoft Quantum Development Kit által tartalmazott standard kódtár segítségével fejlett kvantumalgoritmusokat futtathat anélkül, hogy belemerülhet az alapul szolgáló matematikai műveletekbe, az alapok megértése segít a gyors kezdésben, és szilárd alapot biztosít a buildeléshez.

Következő lépések