Konsep matriks tingkat lanjut dalam komputasi kuantum

  • Artikel

Artikel ini mengeksplorasi konsep eigenvalues, eigenvectors, dan eksponensial. Konsep-konsep ini membentuk seperangkat alat matriks mendasar yang digunakan untuk menggambarkan dan mengimplementasikan algoritma kuantum. Untuk dasar-dasar vektor dan matriks saat berlaku untuk komputasi kuantum, lihat Aljabar linier untuk komputasi kuantum dan Vektor dan matriks.

Eigenvalues dan eigenvectors

Biarkan $M$ menjadi matriks persegi dan $v$ menjadi vektor yang bukan vektor semua nol (misalnya, vektor dengan semua entri sama dengan $0$).

Vektor $v$ adalah eigenvector dari $M$ jika $Mv = cv$ untuk beberapa nomor $c$. Bilangan bulat $c$ adalah eigenvalue yang sesuai dengan eigenvector $v$. Secara umum, matriks $M$ dapat mengubah vektor menjadi vektor lainnya. Namun, eigenvector istimewa karena dibiarkan tidak berubah kecuali dikalikan dengan angka. Perhatikan bahwa, jika $v$ adalah eigenvector dengan eigenvalue $c$, maka $av$ juga merupakan eigenvector (untuk nonzero $a$) dengan eigenvalue yang sama.

Misalnya, untuk matriks identitas, setiap vektor $v$ adalah eigenvector dengan eigenvalue $1$.

Sebagai contoh lain, pertimbangkan matriks$diagonal D$, yang hanya memiliki entri bukan nol pada diagonal:

$$\begin{bmatrix}&d_1 amp; 0 & 0 \\ 0 & d_2 & 0 \\ 0 & 0 & d_3 \end{bmatrix}. $$

Vektor

$$\begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ 0\end{bmatrix}\text{dan}\begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix}$$

adalah eigenvectors dari matriks ini dengan eigenvalues $d_1$, $d_2$, dan $d_3$, masing-masing. Jika $d_1$, $d_2$, dan $d_3$ adalah bilangan yang berbeda, vektor-vektor ini (dan kelipatannya) adalah satu-satunya eigenvectors dari matriks $D$. Secara umum, untuk matriks diagonal mudah untuk membaca eigenvalues dan eigenvectors. Eigenvalues adalah semua angka yang muncul pada diagonal, dan eigenvectors masing-masing adalah vektor unit dengan satu entri yang sama dengan $1$ dan entri yang tersisa sama dengan $0$.

Perhatikan dalam contoh di atas bahwa eigenvectors $D$ membentuk basis untuk vektor $3$ dimensi. Basis adalah seperangkat vektor sedemikian rupa sehingga vektor apa pun dapat ditulis sebagai kombinasi linier dari mereka. Lebih eksplisit, $v_1$, $v_2$, dan $v_3$ membentuk basis jika ada vektor $v$ yang dapat ditulis sebagai $v=a_1 v_1 + a_2 v_2 + a_3 v_3$ untuk beberapa angka $a_1$, $a_2$, dan $a_3$.

Dalam komputasi kuantum, pada dasarnya hanya ada dua matriks yang Anda temui: Hermitian dan unitary. Ingat bahwa matriks Hermitian (juga disebut self-adjoint) adalah matriks persegi kompleks yang sama dengan transpose konjugasinya sendiri yang kompleks, sementara matriks unitari adalah matriks persegi kompleks yang inversnya sama dengan transpose konjugasinya yang kompleks.

Ada hasil umum yang dikenal sebagai teori spektral, yang menyiratkan hal berikut: untuk setiap Hermitian atau unitary matrix $M$, ada satuan $U$ sehingga $M=U^\dagger D U$ untuk beberapa matriks $diagonal D$. Selain itu, entri $diagonal D$ akan menjadi eigenvalues $M$, dan kolom $U^\dagger$ akan menjadi eigenvectors yang sesuai. Faktorisasi ini dikenal sebagai dekomosisi spektral atau eigendecomposition.

Eksponensial matriks

Eksponensial matriks juga dapat didefinisikan dalam analogi yang tepat untuk fungsi eksponensial. Eksponensial matriks dari matriks $A$ dapat dinyatakan sebagai

$$ e^A=\mathbf{1} + A + \frac{A^2}{2!}+\frac{A^3}{3!}+\cdots$$

Ini penting karena evolusi waktu mekanika kuantum dijelaskan oleh matriks kesatuan dari bentuk $e^{iB}$ untuk matriks Hermitian $B$. Untuk alasan ini, melakukan eksponensial matriks adalah bagian mendasar dari komputasi kuantum dan dengan demikian Q# menawarkan rutinitas intrinsik untuk menggambarkan operasi ini. Ada banyak cara dalam praktiknya untuk menghitung eksponensial matriks pada komputer klasik, dan secara umum secara numerik mendekati eksponensial seperti itu penuh dengan bahaya. Lihat Cleve Moler and Charles Van Loan. "Nineteen dubious ways to compute the exponential of a matrix." SIAM review 20.4 (1978): 801-836 untuk informasi lebih lanjut tentang tantangan yang dilibatkan.

Cara termudah untuk memahami cara menghitung eksponensial matriks adalah melalui eigenvalues dan eigenvectors dari matriks itu. Secara khusus, teorema spektral yang dibahas di atas mengatakan bahwa untuk setiap matriks Hermitian atau kesatuan $A$ ada matriks kesatuan $U$ dan matriks diagonal $D$ sehingga $A=U^\dagger D U$. Karena sifat-sifat unitaritas, $A^2 = U^\dagger D^2 U$ dan demikian pula untuk pangkat $p$$A^p = U^\dagger D^p U$. Jika ini diganti ke dalam definisi operator dari eksponensial operator:

$$ e^A= U^\dagger\left(\mathbf{1} +D +\frac{D^2}{2!}+\cdots\right)U= ^\dagger\begin{bmatrix}\exp(D_{{11}) & 0 &\cdots&Amp; 0\\ 0 & \exp(D_{22})&\cdots&Amp; 0\\ \vdots &\vdots &\ddots&\vdots\\ 0& 0&\cdots&\exp(D_{NN}) \end{bmatrix} U. $$

Dengan kata lain, jika Anda mengubah ke eigenbasis matriks $A$, maka komputasi eksponensial matriks setara dengan komputasi eksponensial biasa dari eigenvalues matriks. Karena banyak operasi dalam komputasi kuantum melibatkan melakukan eksponensial matriks, trik mengubah menjadi eigenbasis matriks untuk menyederhanakan performa eksponensial operator sering muncul. Ini adalah dasar di balik banyak algoritma kuantum seperti metode simulasi kuantum gaya Trotter-Suzuki yang dibahas kemudian dalam panduan ini.

Properti lain yang berguna untuk matriks involutory. Matriks involusi B$ adalah uniter dan Hermitian, yaitu B$=^B^{-1}=\dagger$.$ Kemudian, matriks involusi adalah matriks persegi yang sama dengan inversinya sendiri, $B^2=\mathbf{1}$. Dengan menerapkan properti ini ke perluasan eksponensial matriks di atas, mengelompokkan $dan istilah B$ bersama-sama, dan menerapkan teori Maclaurin ke fungsi kosinus dan sinus, identitas $\mathbf{1}$

$$e^{iBx}=\mathbf{1} \cos(x)+ iB\sin(x)$$

memegang untuk setiap nilai $nyata x$. Trik ini sangat berguna karena memungkinkan Anda untuk beralasan tentang tindakan yang dimiliki eksponensial matriks, bahkan jika dimensi $B$ secara eksponensial besar, untuk kasus khusus ketika $B$ adalah involutory.

Langkah berikutnya